Математика Лекция 7 Аналитика в пространстве-24-25

1. Математика

Лекция 7

2.

.
Уравнения плоскости в пространстве
Уравнение поверхности в пространстве: F(x, y, z)=0 (*).
Уравнению (*) удовлетворяют координаты (x, y, z) каждой
точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют
координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Простейшей поверхностью является плоскость.
Рассмотрим различные способы задания плоскости в
пространстве.

3.

1. Уравнение плоскости (α), проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору.
Пусть M0(x0, y0, z0) α, n { A, B, C} .
Вектор n называется нормальным вектором плоскости.
Произвольная точка M(x, y, z) α М 0 М n.
n
Следовательно, M 0 M n 0,
или, в координатной форме,
A x x0 B y y0 C z z0 0. (1)
Раскроем скобки в уравнении плоскости:
A x B y C z A x0 – B y0 C z0 0.
D
M0
M
α

4.

Получим A x B y C z D 0 уравнение первой степени
относительно x, y, z, которое называется общим уравнением
плоскости.
Теорема. В прямоугольной системе координат Oxyz каждая
плоскость определяется уравнением первой степени и
каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

5.

2. Уравнение плоскости (α), проходящей через данную
точку параллельно двум неколлинеарным векторам.
Пусть M0(x0, y0, z0) α, a {a1 , a2 , a3} , b {b1 , b2 , b3} (a b ).
Произвольная точка M(x, y, z) α
M 0 M , a , b компланарны.
b
Следовательно, M 0 M a b 0,
M
M
a
или, в координатной форме,
α
x x0 y y0 z z0
a1
a2
a3 0. (2)
b1
b2
b3
Векторы a , b называются направляющими векторами
плоскости α.
0

6.

Замечание 1. При вычислении определителя (2) получаем
уравнение вида A x B y C z D 0, т.е. общее уравнение
плоскости.
Замечание 2. a b n { A, B, C} нормальный вектор
плоскости. Векторное произведение направляющих
векторов определяет переход от условий (2) к условиям (1).

7.

3. Уравнение плоскости (α), проходящей через три
заданные точки.
Пусть M1(x1, y1, z1) α, M2(x2, y2, z2) α, M3(x3, y3, z3) α
(M1, M2, M3 – не лежат на одной прямой).
Тогда M 1M 2 , M 1M 3 направляющие вектора
плоскости α.
По предыдущему случаю, M 1M , M 1M 2 , M 1M 3
компланарны (M(x, y, z) - произвольная точка α).
Следовательно,
x x1
x2 x1
x3 x1
y y1
y2 y1
y3 y1
z z1
z2 z1 0. (3)
z3 z1

8.

4. Уравнение плоскости в отрезках.
Рассмотрим общее уравнение плоскости A x B y C z D 0.
Если коэффициенты уравнения плоскости удовлетворяют
условию A B C D 0, то уравнение можно привести к виду:
x
y
z
1.
D / A D / B D / C
Обозначим, a D A , b D B , c D C , получим
x y z
1 (4)
a b c
- уравнение плоскости в отрезках.
Эта плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки, равные
a, b и с соответственно.

9.

Уравнения прямой в пространстве
В пространстве линия рассматривается как пересечение
двух поверхностей и определяется заданием двух
уравнений
F1 ( x, y, z ) 0,
l :
F2 ( x, y, z ) 0.
Рассмотрим различные способы задания прямой (простейшей
линии) в пространстве.

10.

1. Общие уравнения прямой.
Прямая в общем виде определяется как линия пересечения
двух непараллельных плоскостей, т.е. системой уравнений
A 1 x B1 y C1 z D1 0,
l:
(1)
A 2 x B2 y C2 z D2 0.
Рассмотрим нормальные вектора плоскостей,
определяющих данную прямую:
n1 { A1 , B1 , C1} l , n2 { A2 , B2 , C2 } l.
Тогда l n1 n2 , l l направляющий вектор прямой.
Замечание. СЛУ (1) имеет бесконечно много решений (если
плоскости не параллельны). Любое частное решение
системы (1) определяет точку М, лежащую на прямой l.

11.

2. Канонические уравнения прямой.
Пусть M0(x0, y0, z0) l, l {m, n, p} l.
Произвольная точка M(x, y, z) l М 0 М l ,
или, в координатной форме,
x x0 y y0 z z0
(2)
m
n
p
канонические уравнения прямой.
l
l
М
М0

12.

3. Параметрические уравнения прямой.
Пусть прямая задана каноническими уравнениями.
Обозначим коэффициент пропорциональности в
соотношении (2) через t:
x x0 y y0 z z0
t.
m
n
p
Тогда получим параметрические уравнения прямой:
x x0 mt ,
y y0 nt , (3)
z z pt.
0

13.

Замечание. По уравнениям прямой (общим, каноническим
или параметрическим) всегда можно найти координаты
направляющего вектора этой прямой и координаты какойлибо точки, лежащей на этой прямой.

14.

4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через
две точки.
Пусть M1(x1, y1, z1) l, M2(x2, y2, z2) l.
В качестве направляющего вектора прямой можно взять
вектор l M 1M 2 .
Произвольная точка M(x, y, z) l М 1М М 1М 2 ,
или, в координатной форме,
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
(4).

15.

Основные задачи на уравнения плоскости и прямой в
пространстве
Задача 1. Угол между плоскостями.
Пусть : A 1 x B1 y C1 z D1 0,
: A 2 x B2 y C2 z D2 0.
Угол между плоскостями φ – один (наименьший) из двугранных
углов, образованных этими плоскостями.
Из уравнений плоскостей имеем n { A1 , B1 , C1}, n { A 2 , B2 , C2 }.
Тогда
cos cos(n , n )
| n n |
| n | | n |
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A B C A B C
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
(1)

16.

Следствия (условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей)
A1 B1 C1 D1
.
(2)
1. α || n n
A2
B2
C2
D2
A1 B1 C1 D1
.
A2 B2 C2 D2
2. α n n n n 0 A1 A2 B1B2 C1C2 0. (3)

17.

Задача 2. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть : A x B y C z D 0, M 0 ( x0 , y0 , z0 ) .
d ( M 0 , )
Ax0 By0 Cz0 D
A B C
2
2
2
. (4)
Вывод формулы такой же, как вывод формулы расстояния
от точки до прямой на плоскости.

18.

Задача 3. Угол между прямыми в пространстве.
Пусть l1 : x x1 y y1 z z1 ; l1 {m1 , n1 , p1};
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
l2 :
; l2 {m2 , n2 , p2 }.
m2
n2
p2
Тогда
| l1 l2 |
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
cos cos(l1 , l2 )
.
2
2
2
2
2
2
| l1 | | l2 |
m1 n1 p1 m2 n2 p2
(5)