НОД и НОК (задачи)

1.

М А Т Е М А Т И К А
·
6
К Л А С С
НОД и НОК
Задачи с решениями и пояснениями
Наибольший общий делитель · Наименьшее общее кратное
ПРАКТИКУМ

2.

01 · ТЕОРИЯ
02 / 16
Что такое НОД и НОК?
НОД
НОК
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Самое большое число, на которое делятся оба (или
несколько) чисел без остатка.
Самое маленькое число, которое делится на оба (или
несколько) чисел без остатка.
Пример: НОД(12, 18) = 6
Пример: НОК(4, 6) = 12
Используется, когда нужно разделить предметы на
одинаковые группы максимально большого размера.
Используется, когда нужно найти, через сколько времени
события совпадут снова.
НОД И НОК
НАПОМИНАНИЕ

3.

06 · ШПАРГАЛКА
15 / 16
Когда что применять?
НОД
НОК
• Разделить предметы на одинаковые максимальные
группы
• Когда события повторяются с разной периодичностью
• Составить одинаковые наборы / упаковки
• Найти наибольший размер группы
Ключевые слова: «одинаковые», «наибольшее количество
групп/наборов», «без остатка»
НОД И НОК
• Найти момент следующего совпадения
• Наименьшее общее расстояние / время
Ключевые слова: «через сколько», «снова встретятся»,
«совпадут», «наименьшее»
ПОМНИ

4.

02 · ЗАДАЧИ НА НОД
03 / 16
Задачи на наибольший общий делитель
Задача 1. Подарки Деда Мороза
У Деда Мороза 525 мандаринов и 735 конфет. Нужно составить из них одинаковые наборы, чтобы раздать их наибольшему
количеству детей. Сколько мандаринов и сколько конфет должно быть в наборе? Сколько детей получат подарки?
Задача 2. Фасовка подарков
Для новогоднего праздника купили 96 шоколадок, 72 апельсина и 84 банана. Какое максимальное количество одинаковых
подарков получится собрать, чтобы использовать все сладости без остатка?
НОД И НОК
ЗАДАЧИ

5.

04 · РЕШЕНИЯ
09 / 16
Решения задач на НОД
Задача 1. Подарки Деда Мороза
Чтобы наборы были одинаковыми и их было как можно больше, нужно найти НОД(525, 735).
НОД(525, 735) = 105.
В каждом наборе: 525 ÷ 105 = 5 мандаринов и 735 ÷ 105 = 7 конфет.
Количество детей = 105.
Задача 2. Фасовка подарков
Нужно найти наибольшее число одинаковых подарков — это НОД(96, 72, 84).
НОД(96, 72) = 24, НОД(24, 84) = 12.
Ответ: 12 подарков.
НОД И НОК
РЕШЕНИЯ · НОД

6.

02 · ЗАДАЧИ НА НОД
04 / 16
Задачи на наибольший общий делитель
Задача 3. Спортивные соревнования
В спортивных соревнованиях приняли участие 108 мальчиков и 144 девочки. И мальчиков, и девочек разбили на группы с
одинаковым количеством человек в каждой группе. Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой группе?
Сколько получилось групп мальчиков и групп девочек?
Задача 4. Помидоры и огурцы
В магазине помидоры и огурцы расфасовали в одинаковые упаковки, сделав ассорти.
а) Какое наибольшее число таких упаковок получилось из 84 помидоров и 112 огурцов?
б) Сколько помидоров и сколько огурцов было в каждой упаковке?
НОД И НОК
ЗАДАЧИ

7.

04 · РЕШЕНИЯ
10 / 16
Решения задач на НОД
Задача 3. Спортивные соревнования
Наибольшее число человек в группе — это НОД(108, 144).
НОД(108, 144) = 36.
Групп мальчиков: 108 ÷ 36 = 3.
Групп девочек: 144 ÷ 36 = 4.
Задача 4. Помидоры и огурцы
а) Наибольшее число упаковок = НОД(84, 112) = 28.
б) В каждой упаковке: 84 ÷ 28 = 3 помидора и 112 ÷ 28 = 4 огурца.
НОД И НОК
РЕШЕНИЯ · НОД

8.

03 · ЗАДАЧИ НА НОК
05 / 16
Задачи на наименьшее общее кратное
Задача 5. Шаги Вани, Тани и папы
Длина шага Вани равна 75 см, Тани — 60 см, а их папы — 1 м 05 см. Гуляя, все трое сделали целое число шагов. Какое
наименьшее расстояние они могли пройти?
Задача 6. Робинзон Крузо
Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый
день ходит на охоту. Первого января у него наступил тяжёлый день: он должен сделать все три дела. Какого числа наступит
следующий тяжёлый день?
НОД И НОК
ЗАДАЧИ

9.

05 · РЕШЕНИЯ
11 / 16
Решения задач на НОК
Задача 5. Шаги Вани, Тани и папы
Нужно найти наименьшее расстояние, кратное всем длинам шагов — НОК(75, 60, 105).
НОК(75, 60) = 300, НОК(300, 105) = 2100.
2100 см = 21 метр.
Ответ: 21 м.
Задача 6. Робинзон Крузо
Следующий тяжёлый день наступит через НОК(2, 3, 5) дней.
НОК(2, 3, 5) = 30.
1 января + 30 дней = 31 января.
НОД И НОК
РЕШЕНИЯ · НОК

10.

03 · ЗАДАЧИ НА НОК
06 / 16
Задачи на наименьшее общее кратное
Задача 7. Встреча в порту
Задача 8. Миша и Лена
Из порта одновременно отплыли два теплохода. Первый
возвращается каждые 6 дней, второй — каждые 8 дней. Через
какое наименьшее количество дней оба судна снова встретятся
в порту?
Миша и Лена встретились на школьном стадионе. Миша бегает
раз в 3 дня, а Лена — раз в 4 дня. Через сколько дней ребята
снова встретятся на стадионе?
Задача 9. Замена масла и ремня
Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые 60 тыс. км — приводной ремень. Через сколько тысяч
километров совпадут замены масла и приводного ремня?
НОД И НОК
ЗАДАЧИ

11.

05 · РЕШЕНИЯ
12 / 16
Решения задач на НОК
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Встреча в порту
Миша и Лена
Масло и ремень
НОК(6, 8) = 24.
Через 24 дня оба теплохода снова будут в
порту одновременно.
НОД И НОК
НОК(3, 4) = 12.
Ребята снова встретятся через 12 дней.
НОК(15, 60) = 60.
Замены совпадут через 60 тысяч
километров.
РЕШЕНИЯ · НОК

12.

03 · ЗАДАЧИ НА НОК
07 / 16
Задачи на наименьшее общее кратное
Задача 10. Спутники Юпитера
Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто обращаются вокруг Юпитера за 42, 85, 172 и 400 часов соответственно. За какое
наименьшее время они все вместе повторяют своё положение на орбите?
Задача 11. Товары в магазине
В магазин раз в два дня привозят хлебобулочные изделия, раз в три дня — кисломолочную продукцию и каждые десять дней —
кондитерские изделия. Первого декабря привезли все три вида. Когда в следующий раз эти товары привезут в один день?
НОД И НОК
ЗАДАЧИ

13.

05 · РЕШЕНИЯ
13 / 16
Решения задач на НОК
Задача 10. Спутники Юпитера
Нужно найти НОК(42, 85, 172, 400).
Разложим на простые множители и возьмём наибольшие степени:
42 = 2 × 3 × 7
85 = 5 × 17
172 = 2² × 43
400 = 2⁴ × 5²
НОК = 2⁴ × 3 × 5² × 7 × 17 × 43 = 6 140 400 часов.
Задача 11. Товары в магазине
НОК(2, 3, 10) = 30.
Через 30 дней, то есть 31 декабря, все три вида товаров снова привезут в один день.
НОД И НОК
РЕШЕНИЯ · НОК

14.

03 · ЗАДАЧИ НА НОК
08 / 16
Задача 12. Найдите наименьшее общее кратное
а)
28 и 35
НОК = ?
в)
НОК = ?
НОД И НОК
б)
120 и 150
НОК = ?
45 и 95
г)
200 и 300
НОК = ?
ЗАДАЧИ

15.

05 · РЕШЕНИЯ
14 / 16
Решение задачи 12. НОК пар чисел
а) 28 и 35
б) 120 и 150
НОК = 140
НОК = 600
28 = 2² × 7
35 = 5 × 7
НОК = 2² × 5 × 7 = 140
120 = 2³ × 3 × 5
150 = 2 × 3 × 5²
НОК = 2³ × 3 × 5² = 600
в) 45 и 95
г) 200 и 300
НОК = 855
НОК = 600
45 = 3² × 5
95 = 5 × 19
НОК = 3² × 5 × 19 = 855
200 = 2³ × 5²
300 = 2² × 3 × 5²
НОК = 2³ × 3 × 5² = 600
НОД И НОК
РЕШЕНИЯ · НОК