Жанмолдин Лекция 9

1.

ЛЕКЦИЯ №9 · MATLAB
Точные методы
решения
систем линейных
уравнений
Программные средства инженерных расчетов

2.

01 · МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ
СЛУ переводит
инженерную
задачу в
матричную
форму
Все уравнения должны
выполняться одновременно.
Состав системы
Правая часть
Определение: система
состоит из m линейных
уравнений с n
неизвестными x₁, x₂, …,
xₙ.
Вектор b: столбец
правых частей.
Матрица A: таблица
коэффициентов при
неизвестных, размер m ×
n.
Вектор x: столбец
искомых неизвестных.
Расширенная матрица
(A|b): полученная
присоединением
столбца b к матрице A.
Тип системы:
однородная, если все bᵢ =
0; неоднородная — если
хотя бы один bᵢ ≠ 0.
Инженерный смысл. СЛАУ используются при расчёте
электрических цепей, нагрузок в строительных
фермах, теплопроводности и аэродинамики.
02

3.

02 · СОГЛАСОВАННОСТЬ УСЛОВИЙ
Количество решений определяется
согласованностью условий
1
2
3
Нет решений
Одно решение
Бесконечно много
Несовместная система. В
инженерной модели это может
указывать на противоречивые
исходные данные.
Совместная определённая.
Имеет ровно одно решение.
Совместная неопределённая.
Совокупность решений
образует общее решение.
Точные методы находят решение за конечное
число арифметических шагов.
Итерационные методы строят
последовательность приближений и
останавливаются после достижения заданной
точности ε.
Выбор метода зависит от размерности системы, структуры матрицы и требуемой точности результата.
03

4.

03 · ПРЯМОЙ ХОД
Прямой ход метода Гаусса обнуляет элементы под диагональю
1. Записать систему в виде расширенной матрицы (A|b).
2. Для каждой нижней строки вычислить множитель M = aᵢ₁/a₁₁; вычесть из строки i ведущую
строку, умноженную на M.
3. Повторять процесс для следующих столбцов, пока матрица не станет треугольной или
ступенчатой.
ДО · ВЕДУЩИЙ ЭЛЕМЕНТ: a₁₁
ПОСЛЕ · M = aᵢ₁/a₁₁
Строка i − M × ведущая строка
Результат: все элементы ниже главной диагонали становятся нулевыми, а система упрощается до
последовательности уравнений.
04

5.

03 · ПРЯМОЙ ХОД
Выбор ведущего элемента и перестановка строк
1. На каждом шаге выбрать ведущий элемент в текущем столбце.
2. Если ведущий элемент равен нулю, выполнить перестановку строк и выбрать ненулевой
элемент.
3. Выбирать максимальный по модулю опорный элемент среди кандидатов в столбце.
4. Защита от деления на ноль: множитель M = aᵢ₁/a₁₁ делит на ведущий элемент, поэтому нулевой
элемент никогда не используется как делитель; перестановка строк это исключает.
05

6.

04 · ОБРАТНЫЙ ХОД
Обратный ход восстанавливает неизвестные снизу
вверх
После прямого хода последняя строка
содержит только одну неизвестную:
если aₙₙ ≠ 0
ОБЩАЯ ФОРМУЛА
xₙ → x₁
1. Найти xₙ из последнего уравнения
2. Подставить найденное значение в
предпоследнее уравнение и вычислить xₙ₋₁
3. Продолжать движение снизу вверх до
нахождения x₁
Особые случаи: aₙₙ = 0 и bₙ = 0 дают
бесконечное множество решений; aₙₙ = 0 и bₙ ≠
0 означают отсутствие решений.
06

7.

05 · ВЫБОР МЕТОДА
Как точные методы соотносятся с итерационными
Точный метод
Итерационный метод
Метод Гаусса
Метод простой итерации
Последовательное исключение неизвестных и
получение решения за конечное число операций.
Удобен для систем умеренной размерности.
ПРАКТИЧЕСКИЙ ВЫБОР
Для больших и разреженных матриц часто
применяются итерационные методы.
Итерации продолжаются до достижения заданной
точности ε.
Итерационный подход позволяет работать с
большими задачами, если процесс сходится.
07

8.

Контрольные вопросы и ответы по лекции
1
Какие существуют точные методы
решения СЛАУ?
2
Главный метод — метод Гаусса, или
последовательное исключение неизвестных,
который находит решение за конечное число
арифметических операций.
3
Что такое прямой ход?
Приведение расширенной матрицы к
треугольному виду с обнулением элементов
ниже главной диагонали.
5
Какие существуют итерационные
методы?
Для больших и разреженных матриц
используют, например, метод простой итерации,
также известный как метод Якоби.
4
Что такое обратный ход?
Последовательное вычисление неизвестных от
xₙ к x₁ снизу вверх.
В чём суть метода итераций?
Система приводится к виду x = αx + β, после чего приближённые решения вычисляются по формуле x⁽ᵏ⁺¹⁾ =
αx⁽ᵏ⁾ + β до достижения точности ε.
08