Методы решения систем линейных уравнений

1.

(Это вы уже написали на лекции)
Обратная матрица.
ОПР. Обратной к матрице A называется
обозначаемая A-1, такая, что A·A-1=A-1 · A=E.
матрица,
СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
1) Если матрица A имеет обратную, то A и A-1 – квадратные
одного порядка.
2) Если A-1 существует, то она единственная.
3) Если матрица A имеет обратную, то определитель
матрицы A отличен от нуля.
пропустить 10 клеточек

2.

Теорема (Построение А-1).
(Это вы уже написали на лекции)
Пусть A – квадратная матрица и |A|≠0. Тогда
1
A −1 =
ST
A
где SТ – союзная матрица для матрицы A. Строится из
алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е.
A11 A21
A
A22
12
T
S =
A1n A2 n
пропустить 20 клеточек
An1
An 2
Ann
Нахождение решения с помощью обратных матриц называют
матричным методом решения системы.
пропустить 1.5 страницы

3. Метод Крамера

(Это новенькое)
Метод Крамера
ТЕОРЕМА (Крамера).
Если в системе линейных уравнений число уравнений m и
число неизвестных n совпадает и |A| 0, то система
совместна и имеет единственное решение, которое может
быть найдено по формулам
Di
xi =
(i = 1, 2, n)
(2)
D
где D=|A|, а Di– определитель, получаемый из определителя
D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов.
Формулы (2) называются формулами Крамера.
пропустить 1 страницу

4. Ранг матрицы

(Это уже новое. Продолжайте писать)
a11 a12
a
a22
21
Пусть A = (aij) – матрица размера m×n.
A=
Выпишем все миноры матрицы A
am1 am 2
первого порядка
M 1(1) , M 1( 2) , M 1(3) , ...
Ранг матрицы
a1n
a2 n
amn
M 2(1) , M 2( 2) , M 2(3) , ...
...............................
t-го порядка (где t = min{m,n}): M t(1) , M t( 2) , M t(3) , ...
второго порядка
ОПР. Минор
Mk
матрицы
A
называется ее
базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры
матрицы A более высокого порядка k+1, k+2,…, t равны нулю.
Метод окаймляющих миноров.
пропустить 15 клеточек
ОПР. Рангом матрицы A называется порядок ее базисного минора.
Обозначают: r(A) или rang(A).

5. Метод нахождения ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров.
Метод элементарных преобразований.
Элементарные
преобразования
матрицы
–
это
преобразования следующего вида:
1) умножение строки (столбца) на число 0;
2) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца),
умноженной на число 0;
3) перестановка i-й и k-й строки (столбца).
Матрица B называется эквивалентной матрице A , если она
может быть получена из A элементарными преобразованиями.
Обозначают: A ~ B.
ТЕОРЕМА 2. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.
пропустить 20 клеточек

6. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

Уравнение называется линейным, если оно содержит
неизвестные только в первой степени и не содержит
произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b ,
где ai,b – числа.
ai - коэффициенты уравнения, b - свободный член.
Если b = 0, то уравнение называется однородным.
Если b ≠ 0 уравнение называется неоднородным.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными,
т.е. систему вида
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ,
a x + a x + + a x = b ,
21 1
22 2
2n n
2
(1)
am1x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm .

7.

Обозначим через A и A* следующие матрицы:
a11
a21
A=
a
m1
a12 a1n
a22 a2 n
am 2 amn
a11
a21
*
A =
a
m1
a12 a1n
a22 a2 n
am 2 amn
b1
b2
bm
Матрицу A называют основной матрицей системы (1),
матрицу A* – расширенной матрицей системы (1).
Обозначим X – матрица-столбец неизвестных, B – матрицастолбец свободных членов, т.е.
b1
x1
b
x2
2
B
=
X=
b
x
m
n
Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения
AX=B.
Его называют матричной формой системы (1).
пропустить 8 клеточек

8.

ОПР. Решением системы (1) называется упорядоченный набор
чисел c1,c2,…,cn если он обращает в верное равенство каждое
уравнение системы.
Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение,
то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не
имеющая решений, называется несовместной. пропустить 8 клет.
Система, имеющая единственное решение, называется
определенной. Система, имеющая множество решений,
называется неопределенной.
ТЕОРЕМА 1 (Кронекера – Капелли). Система линейных
уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг
основной матрицы системы равен рангу ее расширенной
матрицы, т.е.
r(A) = r(A*). пропустить 1 страницу
СЛЕДСТВИЕ.
1. r(А) ≤ n. Ранг всегда меньше или равен числу неизвестных.
2. Если r(A)=r(A*) = n, то ∃ единственное решение системы.
Если r(A)=r(A*) < n , то ∃ бесконечное множество решений,
зависящих от n - r свободных переменных.

9. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Две системы называются эквивалентными (равносильными)
если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно
перейти с помощью элементарных преобразований системы.
Элементарными преобразованиями системы линейных
уравнений называются преобразования следующего вида:
1) умножение обеих частей уравнения на число α 0;
2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на
число α 0;
3) перестановка двух уравнений;
На практике вместо уравнений системы работают с матрицей,
составленной из коэффициентов – расширенной матрицей

10.

a11 x1 + a12 x2
n
a x + a x
21 1
aij x j = bi , i = 1, m 22 2
j =1
am1 x1 + am 2 x2
+
+
+
+
a1n xn
a2 n xn
=
=
+
+
amn xn
= bm .
a11 a12 a1n b1 a11 a12
0 d
a
a
a
b
22
21
22
2
n
2
~
0
am1 am 2 amn bm 0
Тогда r ( A) = r ( A*) = n
a1n
d2n
b1
c2
cm
d mn
b1 ,
b 2 , (1)
Прямой
ход
Гаусса
Система совместна и имеет единственное решение
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ,
d 22 x2 + + d 2 n xn = c 2 ,
d mn xn = cm .
пропустить 30 клеточек
(3)
x1 = k1
Обратный ...
ход
Гаусса
xn−1 = kn−1
xn = kn

11.

Второй возможный случай
11 x1
+
12 x2
22 x2
+ + 1r xr
+ + 2 r xr
rr xr
+
+
+
+
+
1n xn
2 n xn
=
=
1 ,
2 ,
+
rn xn
=
r .
(4)
Тогда r ( A) = r ( A*) n
где А и А*– основная и расширенная матрицы системы (4)
Следовательно, сист. (4), а значит и исходная сист. (1) совместна и
имеет множество решений.
Находим решение:
Шаг 1. Выбираем в А базисный минор
Шаг 2. Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный
минор, назовем зависимыми. Остальные переменные назовем
независимыми (или свободными).
Пусть, например, x1,x2, …, xr – зависимые,
xr+1,xr+2, …, xn – свободные.
Шаг 3. Выражаем зависимые переменные через свободные,
записываем общее решение
Шаг 4. Придавая свободным переменным в общем решении конкретные значения, мы
можем записать бесконечно много решений системы. Их называют частные решения