М.анализ 2-3 предн 2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. Теорема (о разности между функцией и ее пределом)

lim f ( x) = b
x→a
1. Прямая теорема:
–
(необходимость)
f ( x) − b = ( x)
где (x) - бесконечно малая
при x → a
lim f ( x) = b
x→a
2. Обратная теорема:
(достаточность)
f ( x) − b = ( x)
f ( x) − b = ( x) где (x) - бесконечно малая
при x → a
где (x) - бесконечно малая
при x → a
lim f ( x) = b
x→a

12.

Доказательство прямой теоремы.
lim f ( x) = b 0 = ( ) 0 :
x→a
x : 0 x − a f ( x) − b
обозначим: ( x) = f ( x) − b
( x) lim ( x) = 0
x→a
Доказательство обратной теоремы.
f ( x) − b = ( x)
где (x) - бесконечно малая
при x → a
0 = ( ) 0 :
x : 0 x − a ( x)
f ( x) − b lim f ( x) = b
x→a

13. Основные свойства бесконечно малых величин.

Пусть (x) и (x) - бесконечно малые
при x → x
0
x → x0
Тогда при
– 1. ( x) ( x) - бесконечно малая
величина.
– 2. ( x) ( x) -бесконечно малая
величина.
3. ( x) f ( x) - бесконечно малая
f (x) ограниченная
величина, если
функция.
Доказательство 1 свойства (для суммы).
1.Обозначим
2.Возьмем число ,где
2
положительное число.
произвольное
3.Из определения бесконечно малых величин
следует:
( x) = ( x) + ( x)
2
2
0 1 0 : x : 0 х − х0 1 ( х)
0 2 0 : x : 0 х − х0 2 ( х)
2
2
Тогда
0 = min( 1 , 2 ) 0 : x : 0 х − х 0
( х) + ( x) ( x) + ( x)

14. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ.

Пусть существуют
lim f ( x) = a; lim g ( x) = b
x→xo
x→ xo
• Тогда:
• 1. lim ( f ( x) g ( x)) =
x→ xo
lim f ( x) lim g ( x) = a b
x→ xo
x→ xo
lim f ( x) g ( x) =
x→ xo
Доказательство 1 свойства.
1. f ( x) = a + ( x),
где (x) и (x)- бесконечно малые при x → x0
2.
• 2. lim f ( x) lim g ( x) = ab
x→ xo
• 3. Если
число
lim g ( x) = b 0
lim f ( x)
f
(
x
)
a
x→ xo
то lim
=
=
x→ xo g ( x )
lim g ( x) b
x→ xo
f ( x) g ( x) =
(a b) + ( ( x) ( x))
x→ xo
x→xo
g ( x) = b + ( x),
бесконечно малая
Следовательно
lim ( f ( x) g ( x)) = a b
x→ xo

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Теорема 2.
1
=
x→ xo ( x)
lim ( x) = 0 lim
x→ xo
Доказательство.
1. Возьмем произвольное M 0
и обозначим =
2. Так как
1
M
lim ( x) = 0 ,то
x→ xo
1
0 = ( ) 0 :
M
x : 0 x − xo ( x)
для =
1
1
=M
( x)
Следовательно
1
=
x→ xo ( x )
lim
Если (x) - бесконечно малая величина при
то
1
- бесконечно большая величина.
( x)
x → xo

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28. Таблица эквивалентных бесконечно малых

• При
x →0
• 1.
• 2.
sin x ~ x
(следует из 1 замечательного
предела)
x→
0
tg x ~ x
tg x
sin x
sin x
1
= lim
= lim
lim
=1
x →0 x
x → 0 x cos x
x →0
x x → 0 cos x
lim
• 3.
arctg x ~ x
• Сделаем замену y = arctg x, при x → 0, y → 0
arctg x
y
= lim
=1
x →0
y → 0 tg y
x
lim
тогда

29. Продолжение таблицы эквивалентных бесконечно малых

• 4. arcsin x ~ x
• 5. ln (1 + x) ~ x
• 6.
log a (1 + x) ~
• так как
x
ln a
log a (1 + x) =
ln( 1 + x )
ln a

30. Продолжение таблицы эквивалентных бесконечно малых

Аналогично докажем
7. e x − 1 ~ x
Замена
8. a x − 1 ~ x ln a
9. (1 + x ) m − 1 ~ mx
Частный случай
y = e x − 1, при x → 0, y → 0 , тогда
1+ x −1 ~
x
2
ex − 1
y
lim
= lim
=1
x →0
y → 0 ln( 1 + y)
x

31.

32. Сравнение бесконечно малых.

Пусть ( x) и ( x) − бесконечно малые при x → x0
Свойства эквивалентных бесконечно малых.
– 1.
– 2.
– 3.
~ ~
~ , ~ ~
o
= lim 1 = 1 = 1
x→ x
x→ x
lim
x→ x
lim
o
~ 1 , ~ 1
1
)
lim
= lim 1 (если xlim
x
x→ x
x→ x
1
1
o
.
Доказательство свойства 1:
o
o
o

33.

34. Практический вывод

0
0
• При раскрытии неопределенности типа
бесконечно
малые сомножители можно заменять на эквивалентные.
• Бесконечно малые слагаемые можно отбрасывать.

35.

36.

37.

38. Второй замечательный предел.

n
1
Lim 1 + = e
n →
n
–
1.
1
an = (1 + ) n
n
или
1
9
1
64
a1 = (1 + 1)1 = 2, a2 = (1 + ) 2 = , a3 = (1 + )3 =
,
2
4
3
27
–
2. Утверждения:
a1 a2 a3 an
n : an 3
–
3. По второму признаку существования предела:
1
lim a n = Lim 1 +
n →
n →
n
n
=e
e 2.71828

39.

40.

41.

42.

43.

44. Определение 1 на языке

−
• Y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 ,
если она определена в этой точке и
некоторой ее окрестности и 0 = ( )
такое, что x : | x - x 0 | | f (x) − f (x 0 |

45.

46.

47.

Рисунок ко второму определению непрерывности

48.

49. Оба определения непрерывности функции в точке эквивалентны.

Доказательство. Из 1 2
f (x) = f (x 0 ) , тогда по теореме о разности между
Пусть xlim
→x
функцией и ее пределом будет:
f (x ) − f ( x 0 ) = (x ) , где ( x ) - бесконечно малая при
0
x → x 0 , т.е. x → 0
Но (x) = f (x) − f (x 0 ) = y, т.е. y - является бесконечно
малой при x → 0 .

50. Непрерывность основных элементарных функций в точках области определения

Основные элементарные функции непрерывны в каждой
точке, в которой они определены.
y = sin x
Доказательство для
x
x
x
x
lim y = lim [sin( x + x ) − sin x ] = lim 2 sin
cos( x + ) = lim 2 cos( x + ) =
x
→
0
x
→
0
x → 0
2
2
2
2
x → 0
x
= lim x cos(x +
)=0
x → 0
2
Использовано:
x x
sin
~
при x → 0
2
2

51.

52.

53. Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций

x0
f ( x ) и ( x )
( x 0 ) 0
f ( x ) ( x )
f (x)
( x )
x0

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60. Пример

| x|
y=
x
x = 0 - точка разрыва 1рода
| x|
−x
lim
= lim
= −1
x→0− x
x→0− x

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69. ТТ

• Если функция непрерывна на замкнутом
интервале, то она достигает на нем
своего наибольшего и наименьшего
значений.
f ( xm ) = yнаим. ; f ( xM ) = yнаиб.

70.

71.

• Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то
она принимает на нем любое значение, заключенное
между ее наибольшим и наименьшим значениями на
этом интервале.
A C B c [a,b] ,такое что f(c)=C