Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Теоремы о пределе функции, замечательные пределы

1. Лекция 6. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Теоремы о пределе функции, замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке.
Свойства непрерывных функций в
точке, на отрезке. Точки разрыва
функции.

2.

Бесконечно малые функции
Определение.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой в т. х0 (при х х0), если xlim
x
0
f(х)=0.
При этом очевидна равносильность записей
lim f(x)=0 0 0: x из 0 x-x0 f(x) , х х0,
x x
0
т.е. бесконечно малая функция может быть при х х0 сделана меньше
любого, наперед заданного малого числа .
Определение.
Назовем классом бесконечно малых функций при х х0 все множество
функций, пределы которых равны 0 при х х0. Обозначим это множество
функций о(1), при х х0 (читается о- малое от 1 при х х0).
Свойства бесконечно малых функций.
Если f(x) о (1), х х0 и g(x) о(1), х х0 то
1) f(x) g(x) о(1), х х0
2) f(x) g(x) о(1), х х0
3) k f(x) о(1), х х0 k- некоторая константа.
Справедлива следующая теорема.

3.

Теорема. (Критерий существования предела)
Для существования предела функции в точке х0 xlim
f(x)=A необходимо и
x
0
достаточно, чтобы в окрестности т. х0 (при х х0) функция была представима
в виде f(x)=A+о(1), х х0.
Необходимость.
Пусть xlim
f(x)=A 0 0: x из 0 х х0
x
0
f(x)-A f(х)-A=о(1), при х х0, т.е. f(x)-A- бесконечно малая функция
по определению, а значит f(x)=A+о(1), х х0.
Достаточность.
Пусть f(x)=A+о(1), х х0 f(x)-A=о(1), х х0
0 0: x из 0 х х0 f(x)-A xlim
f(x)= A0.
x
0

4.

9.3. Свойства функций, имеющих пределы
1)
Если xlim
f(x), то он единственный,
x
0
Предел константы равен самой константе.
Действительно, если f(x)=k, х х0, то f(x)-k=0=о(1), х х0 откуда по
критерию xlim
k=k.
x
2)
0
3)
Если xlim
f(x)=А (конечный), xlim
g(x)=B (конечный), то:
x
x
0
0
- предел суммы (разности) этих функций х х0 существует и равен сумме
(разности) пределов
lim (f(x) g(x))= lim f(x) lim g(x);
x x
x x
x x
0
0
0
- предел произведения существует и равен произведению пределов
lim [f(x) g(x)]= lim f(x) lim g(x);
x x
x x
x x
0
0
0
- предел частного функций существует и равен частному пределов
lim f ( x )
lim f
x x0 g
x x0
lim g( x )
x x0
, В 0.

5.

Доказательство.
Так как xlim
f(x)=A f(x)=A+о(1), х х0, xlim
g(x)=B g(x)=B+о(1), х х0,
x
x
0
0
то f(x)+g(x)=A+B+о(1)+о(1)=A+B+о(1), х х0
(сумма б.м.ф. есть вновь б.м.ф. при х х0).
Но тогда по критерию существования предела
lim (f(x)+g(x))= A+B= lim g(x)+ lim f(x).
x x
x x
x x
0
0
0
Что и требовалось доказать. Аналогично доказываются и другие свойства.
При использовании предельного перехода в неравенствах полезно помнить
следующие теоремы.
Теорема.
Если xlim
f(x)=A и xlim
g(x)=B, при этом хотя бы в проколотой окрестности
x
x
0
0
точки х0 выполняется неравенство f(x) g(x), то xlim
f(x) xlim
g(x)
x
x
0
0
Теорема. О пределе промежуточной функции.
Если xlim
f(x)=A и xlim
(x)=A, при этом f(x) g(x) (x) при х х0, то xlim
x
x
x
0
g(x)=A.
0
0

6.

9.4. Ограниченные и бесконечно большие функции
Пусть функция y=f(x) определена хотя бы в проколотой окрестности
точки х0.
Определение.
Функция y=f(x) называется ограниченной в т. х0, если k 0 и 0 такие, что
из неравенства 0 х-х0 f(x) k.
Все множество ограниченных при х х0 функций называют классом
ограниченных функций и обозначают О(1), х х0 (О- большое от единицы).
Справедлива следующая теорема.
Теорема.
Если существует предел f(x) при х х0,то f(x)-ограничена в т. х0
(f(x) О(1), х х0)
Доказательство.
Из lim f x A по критерию существования предела, что f(x)=A+о(1), x x0.
x x0
Тогда, т.к. о(1) 0, х х0, то о(1) 1, значит f = A+о(1) A +1=K
Значит по определению f(x) O(1), x x0.

7.

Ограниченные функции обладают следующими свойствами:
1) Сумма ограниченных при x x0 функций, есть функция ограниченная.
2) Произведение ограниченных при x x0 функций есть функция
ограниченная.
3) Если f(x) о(1), x x0, то f(x) О(1), x x0, т.е. ограничена.
Если функция y=f(x) при x x0 может быть сделана больше любого
наперед заданного числа М, какое бы большое оно не было, то эту функцию
называют бесконечной большой в т. x0 и пишут lim f x .
x
Можно выделить три типа бесконечно больших функций:
y
1/x
y
1/x 2
y
0
0
x
0
x
-1/x 2
x
которые приводят к формулировке следующих определений.

8.

Определение.
Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x x0, если для
М 0 (какого угодно большого) найдется число М 0 такое, что для х из
неравенства 0 х-х0 М f(x) M.
При этом пишут lim f x .
x x0
Определение.
Функция y=f(x) называется положительной (отрицательной) б.б.ф., если
М 0 М 0 : х из 0 х-х0 М f(x) M (f(x) -M) при этом пишут
lim f x ( lim f x )
x x0
x x0
Бесконечно большие функции обладают следующими важными
свойствами.
1) Если f(x) и (x), при x x0 - бесконечно большие и одного знака, то их
сумма бесконечно большая функция.
2) Если f(x) и (x), при x x0- бесконечно большие функции, то произведение
f(x) (x)- бесконечно большая функция.
3) Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию
есть бесконечно большая функция.
Полезно знать о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций,
даваемой следующей теоремой.

9.

Теорема.
Если y=f(x), при x x0 бесконечно малая функция, то [1/f(x)] при x x0бесконечно большая функция, а если (х)- бесконечно большая функция при
x x0, то [1/ (x)]- бесконечно малая функция при x x0.
Доказательство.
Если f(x) о(1), x x0
но тогда
М
1
0
0 : x
из 0 x-x0 f ,
1
1 1
-велико, значит
. Если 0 - мало, то
f
: х из
lim 1f ( x) .
x x 0
0 x - x 0
1 ,
f
что равносильно по определению

10.

ЗАМЕЧАНИЕ: При нахождении пределов нельзя
рассмотренными ранее теоремами и свойствами, если:
1) f(x) 0, (x) 0, при x x0 и ищется предел вида lim f( x)
x x0
случае говорят о наличии неопределенности вида
0 .
0
2) f(x) 0, (x) , при x x0, то о пределе вида
пользоваться
0
.
( x)
0
В этом
lim f ( x) ( x) 0 ,
x x 0
говорят как об имеющем неопределенность {0 }.
3) f(x) + , (x) + , при x x0, то говорят, что lim f(x) (x)
x x0
имеет неопределенность вида .
4) f(x) , (x) , при x x0, то говорят, что xlim
x
0
f( x )
имеет
( x )
неопределенность бесконечность делить на бесконечность.
При нахождении пределов в этих случаях нужно вначале избавиться от
неопределенности и лишь после этого применять теоремы и свойства
пределов.

11.

Непрерывность функции в точке
Определение. Непрерывности функции в точке.
Функция f(x)- называется непрерывной в т. х0, если
lim f ( x) f ( x 0 ) .
x x0
Определение. (на - - языке).
Функция f(x)- называется непрерывной в т. х0, если для
>0 (сколь угодно малого) >0: x из неравенства x-x0 <
выполнение неравенства f(x)-f(x0) < .
Примечание.
В случае непрерывности функции в точке, функция должна быть
определена в окрестности и в самой точке x0.
Назовем разность x-x0= x - приращением аргумента, разность f(x)f(x0)= y - приращением функции.
Определение.
Функция f(x)- непрерывна в т. x0, если >0 >0: x из неравенства xx0 < т.е. х < y < , что lim y 0 .
x 0

12.

Теорема. О сохранении знака непрерывной функции.
Если f(x)- непрерывна в т. x0 и в этой точке f(x0)>0 (или f(x0)<0), тогда
U(x0): x U(x0) f(x)>0 (или f(x)<0).
Доказательство.
def
Пусть f(x0)>0. Т.к. f(x)- непрерывна >0 >0 : для x из x-x0|<
f(x)-f(x0) < . Возьмем = f ( x0 ) 0 , тогда для этого : x из x-x0 <
2
f ( x0 )
f ( x0 )
f f (x0)
2
2
f ( x0 )
f ( x0 )
f f ( x0 )
2
2
.
Таким образом
= f ( x 0 ) , >0 : x U(x0, ) 0<f(x). Здесь U(x0, )- окрестность, где
2
функция f(x) сохраняет тот же знак, что и в точке х0.
Для случая f(x0)<0 доказательство аналогично ( f ( x0 ) ) .
2

13.

Свойства непрерывных в точке функций.
Теорема. Об арифметических действиях над непрерывными
функциями.
Если функция f(x)- непрерывна в т. x0, (x) непрерывна в т. x0, тогда:
1) f(x) (x) - непрерывная функция в т. x0,
2) f - непрерывная функция в т. x0,
3) f/ , (x0) 0 - непрерывно в т. x0.
Теорема. О пределе под знаком непрерывной функции.
( x ) A , а f( )- непрерывна в т. 0=А тогда имеет смысл
Если xlim
x
0
формула:
lim f ( ( x )) f ( lim ( x )) .
x x0
x x0
Теорема. О непрерывности сложной функции.
Если (х) - непрерывна в т. х0, y-f( ) - непрерывна в т. 0= (х0), тогда
сложная функция (суперпозиция функций) y=f( (x)) - непрерывна в т. х0.

14.

Элементарные функции. Показательно-степенная функция
Известно, что основные элементарные функции x ; ax; logax; sinx; cosx;
tgx; arcsinx; arccosx, ctgx, arctgx, arcctg x, непрерывны на области их
определения.
Элементарные функции, получающиеся из основных элементарных
функций путем операций сложения, вычитания, умножения, деления и
суперпозиции, также непрерывны на их областях определения, т.е. значения
предела функции в точке можно находить как значение функции в точке.
Показательно-степенная функция.
Пусть функция U(x)>0 в некоторой окрестности т. х0, а функция V(x)
определена в окрестности т. х0.
Функцию вида y=UV=U(x)V(x)- называют показательно-степенной
функцией.
Пример: y=(x2)cos x

15.

Теорема. (о пределе показательно-степенной функции).
Если lim U ( x ) A 0, и lim V ( x ) B, то существует
x x0
x x0
показательно-степенной функции, причем lim U ( lim U )
V
x x0
x x0
lim V
x x0
предел
AB .
Доказательство.
Представим функцию UV пользуясь основным логарифмическим
тождеством.
V
U e
ln U V
e V ln U lim UV lim e V ln U = ,
x x 0
x x 0
так как экспонента и логарифм непрерывны, как элементарные функции,
тогда имеем продолжение равенства
lim ( V ln U)
= e x x 0
e
lim V ln (lim U)
x x 0
x x 0
e B ln A e ln A
B
lim V
x x 0
Значит lim U V A B lim U
.
x x 0
x x 0
AB .

16.

Мы рассмотрели случаи, когда пределы основания и показателяконечны. Но существуют частные случаи:
1) 0<A<1; lim V , lim U V 0.
x x0
2) A>1;
x x0
lim V ,
x x0
lim U V .
x x0
V , lim U V .
3) 0<A<1, xlim
x
x x0
0
V , lim U V 0.
4) A>1, xlim
x
x x0
0
Если же U 1, V , при x x0, то говорят о неопределенности вида {1 }:
lim U 1, lim V , lim U V {1 } неопределенность.
x x0
x x0
Примеры:
2 x 1
lim
x 2 3x 2
cos x
2x 1
lim
x 2 3 x 2
5
4
cos 2
-
1
( x 2) 2
0
5/4
1
2 x 1 ( x 2 ) 2
lim
x 2 3x 2
2 x 1
lim
x 2 3x 2
1
( x 2)2
3/8
0
+
x x 0

17.

Сравнение функций
Пусть f(x) и (х) - определены в некоторой U~( x0 ) , проколотой
окрестности т. х0.
Определение. Функций ограниченных в сравнении
Если c>0 и >0 : для х из 0< x-x0 < f(x) c (x) , то говорят,
что функция f ограничена в окрестности т. х0 по сравнению с функцией и
пишут f ( x ) О( ( x )), х х0.
Определение. Функций одного порядка
Если lim f К K 1, K 0 то говорят, что функции f и - одного порядка,
x x0
х х0 и пишут f , х х0.
Определение. Функций эквивалентных
Если xlim
x
0
f
1, то говорят, что функции f и - эквивалентны при х х0 и
обозначают f , х х0.
Определение. Функций бесконечно малых в сравнении
Если xlim
x
0
f
0, то говорят, что функция f является бесконечно малой по
отношению к функции при х х0 и пишут
f о( ),
х х0.

18.

Примечание.
Точка х0 может быть и бесконечно удаленной.
Примеры:
x2
lim
0. x 2 о( x ), x 0
x 0 x
x
lim 2 0 x о( x 2 ), x
x x
2 x2 3 2
lim
2 x2 3
3 x 2 2, x
2
3
x 3 x 2
sin x
lim
1 x sin x, x 0
x 0 x
Пусть рассматриваемые функции бесконечно малые при х х0
( x) о(1), ( x) о(1), 1( x) о(1), 1( x) о(1), х х0.
Теоремы о замене эквивалентных бесконечно малых функций при
нахождении пределов.
Теорема. О пределе частного.
Если
1 ,
х х0,
Доказательство.
1 ,
х х0, и xlim
x
0
1
, тогда
1
1 1
1
1 1
lim lim
lim
.
1 1
x x 0
x x 0 1 1
x x 0 1
lim
x x0
lim 1 .
x x 1
0

19.

Теорема. Об эквивалентности.
Если f g , х х0, g , х х0, то
Пример.
f ,
х х0.
sin x x, x 0
x sin x tgx, x 0 .
tgx x, x 0
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
def
sin
lim
1
0
tg
lim
1
0
arcsin
lim
1
0
sin , 0.
tg , 0.
arcsin , 0.
arctg 0 t = arctg
t
,
lim
1
=
tg
t
0
t
0
0
tg
t
lim
arctg , 0.
1
ln(lim(1 ) ) ln e = 1. Тогда
0
lim
0
1
(ln(1 ) ) 1;
ln(1 )
1
0
lim
ln(1 ),
0

20.

ln(1 ) ln a
(log € (1 )) ln a
lim
1
0
0
ln a
lim
ln a log € (1 ) , 0 .
ln(1 ) ln(1 ) t, (1 ) e t
t
lim
.
lim
1
t
t
0
t
0
e
1
e 1, 0, t 0
e t 1 t , t 0.
a 1 a 1 t, t 0
t ln a
lim
lim
ln a.
0
loga (1 t ) t 0 (loga (1 t ) ln a
a 1
Значит, lim
1
0 ln a
a 1
, 0.
ln a
(1 ) m 1
Полезно помнить, что
, 0.
m