Предел и непрерывность функции

1. Предел и непрерывность функции.

2. Замечательные пределы.

I. Первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0
x
Доказательство:
Обозначим
M
x
B
2
C
1
0
MOB x, 0 x
A
S MOA Sсектора MOA S COA

3.

S MOA Sсектора MOA S COA
M
C
1
x
0
B
A
S MOA
1
1
1
OA MB 1 sin x sin x
2
2
2
S сектора MOA
S COA
1
1
1
OA AM 1 x x
2
2
2
1
1
1
OA AC 1 tan x tan x
2
2
2

4.

S MOA Sсектора MOA S COA
M
C
1
x
0
B
A
1
1
1
sin x x tan x
2
2
2
sin x x tan x
x
1
1
sin x cos x
sin x
1
cos x
x
: sin x
2

5.

1
M
C
1
x
0
B
sin x
cos x
x
A
lim cos x 1,
x 0
lim 1 1
x 0
sin x
На основании теоремы о пределах (7) lim
1
x 0
x

6. Вычисление пределов функций

sin x
lim
1
x 0
x
tan x
1) Вычислить lim
x 0
x
tan x
1
1 sin x
lim
lim tan x lim
x 0
x 0 x
x 0 x cos x
x
sin x
1
lim
lim
1 1 1
x 0
x x 0 cos x

7. Вычисление пределов функций

2) Вычислить
sin x
lim
1
x 0
x
5x
lim
x 0 sin 4 x
5x
x
4 x
lim
5 lim
5 lim
x 0 sin 4 x
x 0 sin 4 x
x 0 4 sin 4 x
5
4x
5
1
5
1
5 1 5
lim
lim
sin 4 x 4 1 4
4 x 0 sin 4 x 4 x 0 sin 4 x 4
lim
x 0
4x
4x

8.

x
II. Второй замечательный предел
1
lim 1 e
x
x
• Теорема 1.
1
Переменная величина 1
n
n
при n→∞
имеет предел, заключенный между 2 и 3.
n
1
2 1 3
n

9.

• Определение.
n
1
Предел переменной величины 1 при
n
n→∞ называется числом е:
1
e lim 1
n
n
Из теоремы 1 и определения следует, что
n
2 e 3
Число е- иррациональное : е=2,7182818284…

10.

• Теорема 2.
Функция
1
1
x
равный числу е.
x
при х→∞ имеет предел,
x
1
lim 1 e
x
x

11. Доказательство:

x
1
lim 1 e
x
x
Доказательство:
• 1) пусть х→+∞
n x n 1
1 1
1
n x n 1
1
1
1
1 1 1
n
x
n 1
1
1
n
n 1
x
1
1
1 1
x
n 1
n

12. Если х→∞ , то и n→∞.

1
lim 1
n
n
n 1
1
lim 1
n
n
n
1
1
n
n
1
1
lim 1 lim 1 e 1 e
n
n n n
n 1
1
1
n
1
n 1
lim 1
nlim
n
1
n 1
1
n 1
n 1
1
lim 1
n
e
n 1
e
1
1
lim 1
n
n 1

13. На основании теоремы о пределах (7):

x
1
На основании теоремы о пределах (7): lim 1 e
x
x
2) пусть х→-∞.
Введем
t x 1 x t 1
При t→+∞ ,будет х→-∞.
x
1
1
lim 1 lim 1
x
t
x
t 1
t 1
lim
t
t
t 1
1
lim 1
t
t
t 1
t 1
t
lim
t t 1
t
t 1
1 1
lim 1 1 e 1 e
t
t t

14. Теорема доказана.

y
1
y 1
x
e
1
-1
0
x
x

15.

x
1
lim 1 e
x
x
• Если
Тогда
1
, то при х→∞ имеем α→0 .
x
lim 1 e
1
0

16. Вычисление пределов функций

1) Вычислить
1
lim 1
x
x
3x
1
lim 1
x
x
1
lim 1
x
x
x
x
1
lim 1 e
x
x
3x
3
1
lim 1
x x
x
3
e3

17. Вычисление пределов функций

2) Вычислить lim 1
x
2
x
x
1
lim 1 e
x
x
x
пусть х=2t, тогда
1
2
1
lim 1 lim 1 lim 1
x
t
t
x
t
t
x
2t
t
2
e2

18. Экспонента (exponential function)

y e
механика (теория колебаний)
электротехника
радиотехника
радиохимия и т.д.
x

19. Непрерывность функции.

x, x 3
y f ( x)
x 2, x 3
Пример 1.
y
6
5
если х→1, то f(x)→f(1)=1
3
1
0
1
3 4
x
если х→4, то f(x)→f(4)=6
если х→3?
если х→3-, то f(x)→3
если х→3+, то f(x)→5
Функция в точке х=3 претерпевает разрыв.

20.

y f ( x) x
Пример 2.
2
y
9
если х→3-, то f(x)→f(3)=9
если х→3+, то f(x)→f(3)=9
0
3
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 9 f (3)
x 3
x 3
Функция f(x) в точке х=3 непрерывна.
x 3

21. Определение 1.

• Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0, если lim f ( x) f ( x0 )
x x0
(функция непрерывна в точке х0, если предел
функции при х→х0 равен значению функции от
предела аргумента).
Если равенство не выполняется, то говорят,
что функция f(x) в точке х=х0 имеет разрыв.

22. Исследовать данную функцию на непрерывность

Для х1=0:
1 x 1
x 0
x 0
lim f ( x) lim 0 0
x 0
x 0
lim f ( x) lim
1 x, x 0
f ( x) 0, 0 x 2
x 2, x 2
lim f ( x) lim f ( x)
x 0
x 0
lim f ( x) не существует
x 0
Функция f(x) в точке х1=0 имеет разрыв.

23. т.е.

1 x, x 0
f ( x) 0, 0 x 2
x 2, x 2
Для х2=2:
lim f ( x) lim 0 0
lim f ( x) lim x 2 0
x 2
x 2
x 2-
x 2
f ( x0 ) f (2) 0
т.е.
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 0
x 2
x 2
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
Функция f(x) в точке х2=2 непрерывна.
x 2

24.

1 x, x 0
f ( x) 0, 0 x 2
x 2, x 2
y
1
0
2
x

25.

lim f ( x) f ( x0 )
x x0
так как
то
x0 lim x ,
x x0
lim f ( x) f ( lim x)
x x0
x x0
Если
функция непрерывна, то при отыскании её
предела можно вместо аргумента подставить его
предельное значение.

26. Вычислить предел функции:

lim f ( x) f ( lim x)
x x0
Вычислить предел функции:
x x0
ln 1 x
lim
x 0
x
1
x
ln 1 x
1
lim
lim ln 1 x lim ln 1 x
x 0
x 0 x
x 0
x
1
x
ln lim 1 x
x 0
ln e 1

27. Определение 2.

• Функция f(x) называется непрерывной, если
бесконечно
малому
приращению
аргумента
отвечает бесконечно малое же приращение функции
lim y 0
y
x 0
y=f(x)
f(x)=f(x0+Δx)
Δy
x x x0
приращение аргумента
f(x0)
0
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
Δx
x0
x=x0+Δx x
приращение функции

28. Сравнение бесконечно малых.

Пусть при х→х0 функции α(х)→0 и β(х)→0.
Тогда:
1) если
( x)
lim
0
x x ( x)
, то α(х) называется
0
бесконечно
чем β(х).
малой более высокого порядка,
(α(х) имеет более высокий порядок малости,
чем β(х))

29. пример.

Пусть
( x) x n , ( x) x, n 1, x 0
( x)
x
lim
lim
lim x n 1 0
x 0 ( x)
x 0 x
x 0
n
α(х) есть бесконечно
порядка,
чем β(х).
малая более высокого

30.

( x)
2) если lim
a 0
x x ( x)
a R
, то α(х) и β(х)
0
называются бесконечно малыми одного порядка .
Пример.
Функции sin3x и sinx являются при х→0
бесконечно малыми одного порядка, т.к.
sin 3x
3x sin 3x
sin 3x
x
lim
lim
3 lim
lim
3
x 0 sin x
x 0 3 x sin x
x 0
3x x 0 sin x

31.

3) если
( x)
lim
1 , то α(х) и β(х) называются
x x ( x)
0
эквивалентными бесконечно малыми. (α(х)∽ β(х))
Пример.
Функции sinx
и x являются при х→0
эквивалентными бесконечно малыми (sinx∽x) ,
т.к.
sin x
lim
1
x 0
x

32.

Пример.
Функции ln(1+x) и x являются при х→0
эквивалентными
бесконечно
малыми
(ln(1+x)∽x) , т.к.
1
x
ln 1 x
1
lim
lim ln 1 x lim ln 1 x
x 0
x 0 x
x 0
x
1
x
ln lim 1 x
x 0
ln e 1

33.

4) если
( x)
lim
a 0
x x n ( x)
, то α(х) называется
0
бесконечно малой n-го порядка относительно β(х)
Пример.
Функция 1-cosx является при х→0 бесконечно
малой второго порядка малости по отношению
к бесконечно малой x , т.к.
2
x
x
2 sin
sin
1 cos x
1
1
2
2
lim
lim
lim
2
2
x 0
x 0
2 x 0 x
2
x
x
2
2

34.

Для бесконечно больших функций имеют
место аналогичные правила сравнения.
Пример.
Функция ( x) x 2 4
является при х→∞
бесконечно большой более низкого порядка, чем
, т.к.
( x) x 3 2
4
2
( x)
x2 4
1
x
lim
lim 3
lim
lim 0
x ( x )
x x 2
x
x x
2
x 2
x
1

35.

Примеры эквивалентных бесконечно
малых функций:.
sin x ~ x
ln(1+x) ~ x
tan x ~ x
e x-1 ~ x
arcsin x ~ x
a x-1 ~ x lna
arctan x ~ x
1-cos x ~ x2/2

36. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции:

ln 1 x
1) lim
ln 1 x
x 0
x
x
x lim lim 1 1
x 0 x
x 0
x
e 1 x
e 1
2x
2 2
2) lim
lim
lim
x 0 arctan 3x
x 0 3x
x 0 3
3
arctan
x
x
2x