3-Sposob_pryamougolnogo_treugolnika

1. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Автор: доцент Нестерова Т.В.

Лекция 3. Способ прямоугольного треугольника

2. Следы прямой. Повтор

Точки пересечения прямой линии с плоскостями
проекции называются следами прямой
Точка пересечения прямой с горизонтальной
плоскостью проекций называется горизонтальным
следом прямой
Точка пересечения прямой с фронтальной
плоскостью проекций называется фронтальным
следом прямой
2

3. Следы прямой

N N2
B2
B
Nфронтальный
след прямой АВ
A2
M2
N 12
B1
A
A1
M M1
3
Мгоризонтальный
след прямой АВ

4. Следы прямой

N2
B2
N - фронтальный
след прямой АВ
A2
x
M2
B1
N1
A1
M1
4
М - горизонтальный
след прямой АВ

5. Способы задания прямой

1. По координатам точек концов отрезка прямой
(проекциям отрезка прямой)
2. Параметрами отрезка прямой линии:
- натуральной величиной отрезка (НВ)
- углами наклона к плоскостям проекций - (П₁) и (П₂)
- угол между линией отрезка и горизонтальной
плоскостью (П₁)
- угол между линией отрезка и фронтальной
плоскостью (П₂)
5

6. Способ прямоугольного треугольника

Натуральная величина отрезка прямой общего
положения равна гипотенузе прямоугольного
треугольника, одним катетом которого является
проекция отрезка на любую плоскость проекций,
другим – разность расстояний концов отрезка до той
же плоскости проекций
6

7. Способ прямоугольного треугольника

B
АВ - разность
расстояний до плоскости
точек А и В
M
7
A
B
A
A
B
AB

8. Способ прямоугольного треугольника

HB AB
B
AB
AB
D
A1 B 1
M
8
zАВ - разность
A
D
A1
B1
расстояний до
плоскости П1
точек А и В

9. Прямая задача: определить натуральную величину отрезка АВ

HB AB
B2
Дано: А₁В₁ и А₂В₂
ZAB
Определить: НВАВ и
углы наклона
отрезка АВ к П₁ - ,
к П₂ -
YAB
A2 A2
x
YAB
B1
A1
A1
HB AB
9
ZAB

10. Обратная задача: построить проекции отрезка

y
zz
10
Дано:
АВ=50
А(40,55,5)
φ=30º
ψ=45º
xA>xB
yA>yB
zA<zB

11. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые. Определение участков видимости линий

m2
n2
22
(32)
52
12
k2
mи nскрещивающиеся
прямые
1 и 2, 3 и 4 - взаимно
конкурирующие точки
m1
n1
31
1 11 )
(1
k1
41
51
11
kи mпересекающиеся
прямые
Точка 5 - точка
пересечения

12. ВЫВОДЫ

Способ прямоугольного треугольника позволяет
решать метрические и позиционные задачи в
отношении отрезков прямой общего положения
12

13. ВЫВОДЫ

Прямые частного положения и их отрезки на
соответствующих проекциях дают натуральные
величины и углы расположения относительно
плоскостей проекций
Плоскости частного положения позволяют получить
натуральную величину или угол наклона к плоскости
проекций
13

14. Контрольные вопросы

1.
2.
14
Как по заданным проекциям отрезка определить его
натуральную величину?
Как по заданным проекциям отрезка определить
углы наклона его к плоскостям проекций?

15. Контрольные вопросы

3.
4.
5.
15
Какое положение прямой дает проекцию
отрезка этой прямой, равную натуральной
величине?
Что такое «след прямой»?
Как его построить?

16. Плоскость

17. Плоскость

Плоскость представляется множеством точек, но любые три
точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость
Плоскость безгранична
Плоскость делит пространство на две части
Положение плоскости в пространстве определяется
положениями задающих её элементов – точек, прямых,
плоских фигур
17

18. Плоскость. Способы изображения на чертеже

Три точки не принадлежащие одной прямой
Прямая и точка вне её
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые
Любая плоская фигура (треугольник, многоугольник,
окружность и др.)
Следы плоскости
18

19. Следы плоскости

Следы плоскости – прямые линии пересечения плоскости с
плоскостями проекций
19

20. Следы плоскости

z
п - фронтальный след
плоскости
2
z
x
x
y
п - профильный след
плоскости
3
y
п - горизонтальный след плоскости
1
x, y и z - точки схода плоскости
20

21. Следы плоскости

z
2
x
z
2
3
x
x
y
1
y
1
y
21

22. Плоскости общего положения

Плоскости общего положения - это плоскости,
неперпендикулярные и непараллельные плоскостям
проекций
Плоскости общего положения не проецируются в
натуральную величину
22

23. Плоскости частного положения

• Плоскости параллельные плоскостям
проекций – плоскости уровня
• Плоскости перпендикулярные
плоскостям проекций - проецирующие
23

24. Плоскость уровня

A
B
C
A1
C1
Плоскость ( АВС)
параллельна
горизонтальной плоскости
проекций П1
Проекция А1В1С1 равна его
натуральной величине
B1
24

25. Плоскость уровня

А2
x
В2
С2
Плоскость АВС горизонтальная
Z = соnst плоскость параллельна П1
В1
А1
НВ ABC
С1
25

26. Плоскость уровня

B2
HB ABC
A2
Плоскость АВС -фронтальная
плоскость - параллельна П2
C2
x
y = const
A1
B1
C1
26

27. Плоскость уровня

x=const
B2
A2
C2
B3
AA33
HB ABC
Плоскость АВС профильная плоскость
проекций - параллельна
C3 П3
A1
B1
C1
27

28. Проецирующая плоскость

Плоскость ( АВС)
перпендикулярна
горизонтальной плоскости
проекций П1
B
C
A
B1
C1
Плоскость - горизонтальнопроецирующая плоскость
A1
28

29. Проецирующая плоскость

2
C2
A2
Плоскость АВС - горизонтальнопроецирующая плоскость перпендикулярна П1
B2
A1
B1
C1
1
29

30. Проецирующая плоскость

C2
Плоскость АВС - фронтальнопроецирующая плоскость перпендикулярна П2
B2
A2
x
C1
A1
B1
30

31. Проецирующая плоскость

z
A3
A2
B3
B2
C3
C2
y
x
A1
Плоскость АВС - профильнопроецирующая плоскость перпендикулярна П3
B1
C1
y
31

32. Прямые линии и точки плоскости

Выбрать точку в плоскости, т.е. указать чертеж точки,
принадлежащей данной плоскости, произвольно, не связывая
её с другими элементами плоскости, невозможно
Для построения на чертеже точки, принадлежащей заданной
плоскости, предварительно строят прямую в этой плоскости.
На этой прямой берут точку
32

33. Прямая плоскости

Построение на чертеже прямой линии в заданной плоскости
основано на двух положениях, известных из геометрии:
1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две
точки, принадлежащие данной плоскости
2. Прямая принадлежит плоскости, если она:
1)
2)
проходит через точку, принадлежащую плоскости и
параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости
33

34. Пример. Прямая плоскости, заданной следами

Дано: ( п1, п2),
А2В2
C2
A2
B2
x
D2
C1
A1
B1
Построить А1В1
D1
34

35. Пример. Прямая плоскости, заданной треугольником

B2
A2
m2
22
12
C2
11
Определить, принадлежит
ли прямая плоскости
треугольника
C1
A1
m1
Дано: АВС и
прямая m
B1
21
35

36. Пример. Прямые плоскости

n2
B2
22
m2
12
3 2 C2
42
A2
x
21
21
1111
A1
41
Дано: А2В2С2
принадлежит плоскости
(m // n)
Построить горизонтальную
проекцию треугольника
B1
3 1 C1
31
n1
m1
36

37. Точка плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой
этой плоскости
37

38. Пример. Относительное положение точки и плоскости

Дано: АВС и точка К
B2
K2
D2
A2
A1
C2
K2
C1
D1
B1
Определить, принадлежит ли К АВС?
38

39. Особые линии плоскости

Плоскости общего положения могут принадлежать прямые
общего положения и прямые, занимающие особое
положение по отношению к плоскостям проекций
39

40. Особые линии плоскости. Горизонталь плоскости

Горизонталь плоскости - прямая принадлежащая заданной
плоскости и параллельная горизонтальной плоскости
проекций
Если плоскость задана следами, то горизонтальный след
плоскости - нулевая горизонталь этой плоскости
40

41. Особые линии плоскости. Горизонталь плоскости

B2
D2
C2
A2
x
A1
B1
D1
AD принадлежит
плоскости АВС
AD параллельна П1
AD - горизонталь АВС
C1
41

42. Особые линии плоскости. Фронталь плоскости

Фронталь плоскости - прямая принадлежащая плоскости и
параллельная фронтальной плоскости проекций
Если плоскость задана следами, то фронтальный след
плоскости - нулевая фронталь этой плоскости
42

43. Особые линии плоскости. Фронталь плоскости

B2
A2
CD принадлежит АВС
D2
C2
x
A1
CD параллельна П2
C1
D1
CD - фронталь АВС
B1
43

44. Особые линии плоскости. Нулевые горизонталь и фронталь плоскости

Нулевая
фронталь
n2
n - фронталь плоскости
m2
m - горизонталь плоскости
x
n1
m1
Нулевая
горизонталь
44

45. Особые линии плоскости. Линии наибольшего наклона плоскости

1.
2.
Линии наибольшего наклона заданной плоскости к плоскости
проекций - линии принадлежащие плоскости и
перпендикулярные горизонтали и фронтали плоскости :
Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной
плоскости проекций называется линией ската
Линия наибольшего наклона плоскости к фронтальной
плоскости проекций не имеет другого названия
45

46. Особые линии плоскости. Линия ската

N2
M2
x
N1
MN принадлежит
MN перпендикулярна
нулевой горизонтали 1
M1
MN - линия ската
Из чего можно утверждать, что MN принадлежит ?
46

47. Линия наибольшего наклона плоскости

B2
AD - фронталь АВС
D2
E2
A2
C2
x
ВЕ перпендикулярна
фронтали АВС
C1
A1
E1
B1
D1
ВЕ - линия наибольшего
наклона плоскости к
фронтальной плоскости
проекций
47

48. Особые линии плоскости. Нормаль

Нормаль - прямая перпендикулярная плоскости.
Не принадлежит плоскости, имеет с ней одну общую
точку
Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
этой плоскости
За эти две прямые, лежащие в одной плоскости,
принимают горизонталь и фронталь плоскости, т.к. к
ним можно провести линию под прямым углом
48

49. Нормаль

B2
Дано:
АВС
Построить n перпендикулярно АВС
B2
AD - фронталь АВС
D2
E2
C2
C2C2
AA2 2
xx
C1 C1
AA1 1
E1
D1
B1
B1
n - нормаль АВС
ЕС - горизонталь АВС
n2
n1
n перпендикулярна
пересекающимся
фронтали и
горизонтали АВС
n перпендикулярна АВС
49

50. Нормаль

n перпендикулярна
n2
A2
пересекающимся нулевым
фронтали и горизонтали
плоскости
x
A1
n перпендикулярна
плоскости
n1
n - нормаль плоскости
50

51. Пример. Построение по особым линиям плоскости

Дано: АВС и
точка D
Построить
плоскость
параллельную
АВС. Задать
горизонталью и
линией ската
A22
A
32
12
2
BB
2
22
CC2 2
CC1 1
31
A
A11
11
2 1 B1
B1
m2
D2
n2
m1
D1
m1
51

52. Пример. Построение по особым линиям плоскости

Дано: АВС
принадлежит
Угол АВС =90º
C2
x(310,0,0)
A2
12
zB-1
Угол между следом 1
и осью Х - 30º
B2
C1
x
11
HBBC
A1
AB=60мм
ВС=65мм
Угол между следом 2
и осью Х - 25º
А(210,20,30)
B1
B1
zB-1
C*
А1В1=60
АВ принадлежит
горизонтали
52

53. Пример. Построение по особым линиям плоскости

YO-2
x
12
Дано: ( 1, 2)
углы между
следами и осью х
22 M2K2 D2
2*
M2
A2
B2
O2
C2
N22
zO-1 О(x,y,z) - центр
N
1
1
E2
21 M1
окружности
K1
A1
1*
D1 1*
D1
C1
O1
Диаметр
R
B1
E1
окружности
N1
53

54. ВЫВОДЫ

Особые линии плоскости позволяют решать
позиционные задачи для заданной плоскости
Особые линии плоскости, принадлежащие ей:
горизонталь
фронталь
линия ската
линии наибольшего наклона плоскости
Особая линия плоскости, не принадлежащая ей нормаль плоскости
54

55. Контрольные вопросы

1.
2.
3.
4.
5.
Какими свойствами обладает горизонталь плоскости?
Как построить линию ската?
Чем отличается линия ската от линии наибольшего наклона
плоскости?
Как построить нормаль плоскости, заданной следами?
Как построить нормаль плоскости геометрической фигуры?
55

56. Плоскость. Позиционные и метрические задачи

Прямая может
• принадлежать плоскости
• пересекать плоскость под некоторым углом
• пересекать плоскость под прямым углом (быть перпендикулярна
плоскости)
• быть параллельна плоскости
56

57. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью

Любая фигура, принадлежащая проецирующей плоскости,
имеет одну из своих проекций на соответствующем следе
этой плоскости
Эта особенность используется при решении задач на
определение точек пересечения прямых линий с
проецирующими плоскостями и линий пересечения с ними
плоскостей произвольного положения
57

58. Пересечение прямой с горизонтально-проецирующей плоскостью

Пересечение прямой с горизонтальнопроецирующей плоскостью
Дано: α АВ. Построить точку пересечения – К, определить
видимость участков прямой
1) К принадлежит АВ и α,
поэтому К1 находим на αп1
2) К2 определяется как
недостающая проекция точки
К, принадлежащей прямой
АВ
3) Для определения видимости
АВ на П2 посмотрим в
направлении стрелки на П1
58

59. Пересечение прямой с горизонтально-проецирующей плоскостью

Дано: α m, α(∆АВС). Построить точку пересечения – D,
определить видимость участков прямой
1) D принадлежит m и α,
поэтому D1 находим на αп1
(А1В1С1)
2) D2 определяется как
недостающая проекция точки
D, принадлежащей прямой m
3) Для определения видимости
m на П2 посмотрим в
направлении стрелки на П1
59

60. Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Среди позиционных задач НГ важнейшей является задача на
определение точки пересечения прямой линии с плоскостью
произвольного положения
Схема решения такой задачи используется и
• для задач на определение точек пересечения прямых с
поверхностью
• линий пересечения плоскости с поверхностью
• линий пересечения любых поверхностей с линейчатыми
поверхностями и др.
60

61. Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться
между собой
• под прямым углом
• под некоторым углом
61

62. Пересечение плоскостей

Если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения –
прямая линия и она принадлежит обеим плоскостям
Если одна из плоскостей – проецирующая, то одна из
проекций линии пересечения располагается на
соответствующем следе этой плоскости
62

63. Схема решения задачи на определение точки пересечения прямой линии с плоскостью

1. Через прямую проводим одну из проецирующих
плоскостей
2. Определяем линию пересечения заданной плоскости
с вспомогательной проецирующей плоскостью
3. Определяем точку пересечения данной прямой с
построенной линией пересечения – эта точка, общая
для заданных прямой и плоскости, является искомой
точкой пересечения
4. Определяем видимые и невидимые (относительно
плоскостей проекций) отрезки прямой линии,
применяя способ «конкурирующих точек»
63

64. Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Дано: α m, α(∆АВС). Построить точку пересечения – К,
определить видимость участков прямой
1.
Провести вспомогательную
плоскость α
2. Построить линию пересечения α и
∆АВС. Это линия 1-2
3. Определить точку пересечения
линии 1-2 и m. К – точка пересечения α
иm
L
Xm
X АВ X ВС
Xm
L
Видимость участков прямой m
определить с помощью
конкурирующих точек 1 и 3, 4 и 5
64

65. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально-проецирующей плоскостью

Дано:α(απ1,απ2)
пересекает β(βπ1,βπ2)
АВ принадлежит
плоскостям α и β
Построить линию
пресечения АВ
А1В1 принадлежит βп1,
т.к. Β – горизонтальнопроецирующая плоскость
В≡ В2 (точка пересечения
фронтальных следов)
А≡А1, т.к. А - точка
пересечения горизонтальных
следов, поэтому А2
принадлежит оси x
65

66. Взаимная параллельность плоскостей, прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости
имеется прямая, параллельная ей
Две плоскости взаимно параллельны, если две
пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости
Две плоскости параллельны, если они заданы
следами и два пересекающихся между собой следа
одной плоскости параллельны одноименным с ними
следам другой плоскости
66

67. Параллельные плоскости

B2
n2
D2
A2
E2
m2
K2
C2
x
A1
Построить плоскость
(m n)
параллельную АВС
C1
E1
B1
Дано: АВС и
точка D
K1
D1
Задать
m1 горизонталью (m)
и линией ската (n)
n1
67

68. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит
через прямую линию перпендикулярную другой плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой
плоскости
68

69. Перпендикулярные плоскости

B22
D22
C22
A22
C22
A22
Дано: АВС и точка D
f2
B22
Построить плоскость α(f m) ⊥ ∆АВС
m2
D22
f1
m1
69

70. ВЫВОДЫ

1.
2.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой
плоскости. За эти пересекающиеся прямые плоскости
принимают обычно фронталь и горизонталь, т. к. к ним можно
провести линию под прямым углом
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна
прямой этой плоскости
70

71. ВЫВОДЫ

3.
4.
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся
прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся
прямым другой
Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит
через прямую перпендикулярную другой плоскости
71