Функция. Основные понятия

1. Функция. Основные понятия.

Понятие функции
Основные характеристики функции
Основные элементарные функции
Сложная функция
Элементарные функции
Алгебраические и трансцендентные функции
Предел переменной величины

2. Понятие функции

При изучении различных явлений природы и решении технических
задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать
изменение одной величины в зависимости от изменения другой.
Так, например, известно, что площадь круга выражается через
радиус формулой S = πr2.
Если радиус r принимает различные числовые значения, то
площадь S также принимает различные числовые значения, т.е.
изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x, принадлежащему
некоторой области, соответствует одно определенное значение
другой переменной y, то y есть функция от х.
y = f(x)
зависимая переменная
или функция
независимая переменная
или аргумент

3. Понятие функции

Совокупность значений x, для которых определяются значения
y в силу правила f(x) называется областью определения
(областью существования) функции: D(f)
Совокупность значений y называется множеством значений
функции: Е(f)
Способы задания функции:
1) Табличный.
При этом способе выписываются в определенном
порядке значения аргумента и соответствующие
им значения функции.
x
x1
x2
…
xn
у
y1
y2
…
yn

4. Понятие функции

2) Графический.
y
y
0
М (х; у )
х
х
Совокупность точек
плоскости XOY,
абсциссы которых
являются значениями
независимой
переменной, а ординаты
– соответствующими
значениями функции,
называется графиком
функции
y = f(x).
3) Аналитический:
Функция y = f(x) задана аналитически , если f - обозначает
действия, выполняемые над переменной, например:
y x2 5

5. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
четной, если для любого x, принадлежащего D выполняются
условия: -x также принадлежит D и f(-x ) = f(x).
x D
x D :
f ( x ) f ( x )
Функция y = f(x) определенная на
множестве D, называется нечетной, если:
x D
x D :
f ( x ) f ( x )
График четной функции симметричен относительно оси OY
График нечетной функции симметричен относительно точки O(0; 0)
y
y
3
y x
y x2
0
0
х
х

6. Основные характеристики функции

Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть
D1 D (множество D1 является подмножеством множества D)
Если
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
y
то функция называется возрастающей.
Если x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f(x12 )
f(x 12 )
то функция называется убывающей. Из неравенства
x1 < x2
Если x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) следует
f ( x2f(x
) неравенство
0
x1 xx22
1) < f(x2)
то функция называется неубывающей.
Если
х
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие
функции называются монотонными на множестве D1, интервал, на
котором функция монотонна называется интервалом
монотонности.

7. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
ограниченной, если
M 0 : x D f ( x ) M
Существует такое число М
График ограниченной функции лежит между прямыми:
y = - M и y = M.
y
М
0
-М
х

8. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
периодической, если
x T D
T 0 : x D
f ( x T ) f ( x )
Число Т называется периодом
функции.
Если Т – период функции, то ее
периодами будут также числа
2Т, 3Т и так далее.
Наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее условию:
f(x +T) = f(x), называется основным
периодом
y
Т
х
0
2Т

9. Основные элементарные функции

1) Линейная функция:
y kx b
y
2) Степенная функция:
y x
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
1
21 1 2
3) Показательная функция:
x
2 2 k tg
y a
a 0; a 1
1
-1 0
-1
1
1
х
4) Логарифмическая функция:
b2
-1 -1
2
2
2
2
y log x a 0; a 1; x 0
n
a
5) Тригонометрические функции:
y tg x
y sin x
0 a 1
y cos x
y ctg x
6) Обратные тригонометрические функции:
y arcsin x y arccos x y arctg x
y arcctg x

10. Сложная функция

Если y является функцией от u, а u в свою очередь зависит от
переменной x, то y также зависит от x.
y F (u
)(x ) u (x )
Сложная функция
Пример:
y cos u
y cos x
u x
Областью определения функции y F (x )
является или вся
область определения функции u(x) или та ее часть, в которой
определяются значения u, не выходящие из области определения
функции F(u).
Пример:
y log2 x
x 0
x 0
x 1
log2 x 0 x 1

11. Элементарные функции

Элементарной функцией называется функция, которая может
быть задана одной формулой вида y = f(x), где справа стоящее
выражение составлено из основных элементарных функций и
постоянных при помощи конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
lg x 4 cos x 5
y
10 x x
2
Пример:

12. Алгебраические и трансцендентные функции

К числу алгебраических функций относятся элементарные
функции следующего вида:
1) Целая рациональная функция или многочлен:
y a0 x n a1x n 1 an
2) Дробная рациональная функция – отношение многочленов:
Целое неотрицательное
n
n 1
aКоэффициенты
x
a
x
aчисло
0
1
n
– степень
y многочлена
–
m
m 1
bпостоянные
x
b
x
bm многочлена
0
1
числа
3) Иррациональная функция:
Если в формуле y = f(x) в правой части производятся операции
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
степень с рациональными нецелыми показателями, то функция
y = f(x) называется иррациональной
y x 5 x 2
Пример:
Функция, не являющейся алгебраической, называется
трансцендентной: y = cos x; y = ln x и так далее.
3
4

13. Предел переменной величины

Постоянное число а называется пределом переменной величины х,
если 0 можно указать такое значение переменной х, что все
последующие значения переменной будут удовлетворять
неравенству:
x a
х1
х3
х5 х6 х4
a а a
х2
окрестность точки а
x a;
lim x a
Пример: Пусть переменная величина изменяется по закону:
1
x n 1
Тогда:
n
1
x 3 1 1.33
3
1
x1 1 2
1
1
x 4 1 1.25
4
1
x 2 1 1.5
2
1
x5 1 1.2
5

14. Предел переменной величины

Очевидно, что переменная величина имеет предел, равный
единице, то есть а = 1.
1
1 1
xn 1 1 1
n
n n
Для любого все последующие значения переменной, начиная с
номера n, где:
1
1
n
попадают в окрестность точки а.
n
1
n 5
Пусть, например 0.2 n
0 .2
Таким образом, начиная с х6 все значения переменной
величины находятся в окрестности точки а.
1,16
0,8
1
1,25
1,2 1,33
1,5
2