Функция. Основные понятия. Понятие функции

1. Функция. Основные понятия

Понятие функции
Основные характеристики функции
Основные элементарные функции
Сложная функция
Элементарные функции
Алгебраические и трансцендентные функции
Обратная функция

2. Понятие функции

При изучении различных явлений природы и решении технических
задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать
изменение одной величины в зависимости от изменения другой.
Так, например, известно, что площадь круга выражается через
радиус формулой S = πr2.
Если радиус r принимает различные числовые значения, то
площадь S также принимает различные числовые значения, т.е.
изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x, принадлежащему
некоторой области, соответствует одно определенное значение
другой переменной y, то y есть функция от х.
y = f(x)
зависимая переменная
или функция
независимая переменная
или аргумент

3. Понятие функции

Совокупность значений x, для которых определяются значения
y в силу правила f(x) называется областью определения
(областью существования) функции: D(f)
Совокупность значений y называется множеством значений
функции: Е(f)
Способы задания функции:
1) Табличный.
При этом способе выписываются в определенном
порядке значения аргумента и соответствующие
им значения функции.
x
x1
x2
…
xn
у
y1
y2
…
yn

4. Понятие функции

2) Графический.
y
y
0
М (х; у )
х
х
Совокупность точек
плоскости XOY,
абсциссы которых
являются значениями
независимой
переменной, а ординаты
– соответствующими
значениями функции,
называется графиком
функции
y = f(x).
3) Аналитический:
Функция y = f(x) задана аналитически, если f - обозначает
действия, выполняемые над переменной, например:
y x2 5

5. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
четной, если для любого x, принадлежащего D, выполняются
условия: -x также принадлежит D и f(-x ) = f(x).
x D
x D :
f ( x ) f ( x )
x D
f ( x ) f ( x )
Функция y = f(x), определенная на
множестве D, называется нечетной, если: x D :
График четной функции симметричен относительно оси OY
График нечетной функции симметричен относительно точки O(0; 0)
y
y
2
y x 3 Если функция не является
y x
ни четной, ни нечетной, то
говорят, что она общего
0
х
вида
0
х

6. Основные характеристики функции

Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть
D1 D
Если x1 , x2 D1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
y
то функция называется возрастающей.
Если x1 , x2 D1 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f(x12 )
то функция называется убывающей.
Если
f(x 12 )
x1 , x2 D1 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
0
x1 xx22
х
то функция называется неубывающей.
Если x1 , x2 D1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие
функции называются монотонными на множестве D1, интервал, на
котором функция монотонна называется интервалом
монотонности.

7. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
ограниченной сверху, если M 0 : x D f ( x) M
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
ограниченной снизу, если M 0 : x D f ( x) M
Функция называется ограниченной, если она ограничена и
сверху, и снизу
График ограниченной функции лежит между прямыми:
y = - M и y = M.
y
М
0
-М
х

8. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) называется инъективной, если
x1 , x2 D
x1 x2 f x1 f x2
(такая функция разные числа переводит в разные).
Функция f : D
E называется сюръективной, если
y E
x D :
f x y
Если f является инъективной и сюръективной, то она называется
биективной.

9. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
периодической, если
x T D
T 0 : x D
f ( x T ) f ( x )
Число Т называется периодом
функции.
Если Т – период функции, то ее
периодами будут также числа
2Т, 3Т и так далее.
Наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее условию:
f(x +T) = f(x), называется основным
периодом
y
Т
х
0
2Т

10. Основные элементарные функции

1) Линейная функция: y kx b
y
2) Степенная функция:
y x
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
1
21 1 2
3) Показательная функция:
x
2 2 k tg
y a
a 0; a 1
1
-1 0
-1
1
1
х
4) Логарифмическая функция:
b2
-1 -1
222
2
y log x a 0; a 1; x 0
n
a
5) Тригонометрические функции:
y tg x
y sin x
0 a 1
y cos x
y ctg x
6) Обратные тригонометрические функции:
y arcsin x y arccos x y arctg x
y arcctg x

11. Сложная функция

(x
y f (u
) ) u (x )
Пример:
y cos u
y cos x
u x
Сложная функция
Областью определения функции y f (x) является или вся
область определения функции u(x) или та ее часть, в которой
определяются значения u, не выходящие из области определения
функции f(u).
Пример:
y log2 x
x 0
x 0
x 1
log2 x 0 x 1

12. Элементарные функции

Элементарной функцией называется функция, которая может
быть задана одной формулой вида y = f(x), где справа стоящее
выражение составлено из основных элементарных функций и
постоянных при помощи конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
lg x 4 cos x 5
y
10 x x
2
Пример:

13. Элементарные функции

В приложениях часто встречаются гиперболические
функции, которые относятся к числу элементарных
e x e x
- гиперболический синус
shx
2
e x e x
chx
- гиперболический косинус
2
shx e x e x
thx
x
- гиперболический тангенс
x
chx e e
chx e x e x
- гиперболический котангенс
cthx
x
x
shx e e

14. Алгебраические и трансцендентные функции

К числу алгебраических функций относятся элементарные
функции следующего вида:
1) Целая рациональная функция или многочлен:
y a0 x n a1x n 1 an
2) Дробная рациональная функция – отношение многочленов:
Целое неотрицательное
n
n 1
aКоэффициенты
x
a
x
aчисло
0
1
n
– степень
y многочлена
–
m
m 1
bпостоянные
x
b
x
bm многочлена
0
1
числа
3) Иррациональная функция:
Если в формуле y = f(x) в правой части производятся операции
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
степень с рациональными нецелыми показателями, то функция
y = f(x) называется иррациональной
Пример: y
x 5 3 x4 2
Функция, не являющейся алгебраической, называется трансцендентной:
y = cos x; y = ln x и так далее.

15. Обратная функция

Пусть f : D
E, f биективна. В этих условиях существует
обратная функция
f 1 : E D,
причем
f 1 y x
f x y.
Для обратной функции независимая переменная обозначена y, а
значение функции – х. Конечно, важны не используемые буквы, а
область определения и правило вычисления значений функции.
Пример
Для функции f(x) = 2x обратной является функция
f 1 x
1
x,
2
x R.

16. Обратная функция

Теорема
Графики прямой и обратной функций симметричны друг другу
относительно прямой y = x .
Доказательство
По определению
Г f a, b b f a a, b
Поэтому
a, b Г f
a f 1 b ,
b, a Г f 1.
Г f 1 b, a
a f 1 b .