Решение простейших тригонометрических неравенств (10 класс)

1.

ëčí č˙ tg
3
y
3
1
2
3
3
4
3
3
2 0
3
3
3
2
3
4
1
2
2
1
2
5
6
1
3
2
1
2
1
2
2
2
7
6
5
4
1
2
4
3
3
2
3
2
1
2
2
5
3
ëčí č˙ ctg
6
3
2
2
2
0
3
1
7
4
3
3
x
0
1 2
11
6
3
3
1
Решение простейших тригонометрических
неравенств.
Алгебра и начала анализа, 10 класс.
Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2.

Под простейшими тригонометрическими неравенствами понимают неравенства
вида:
sin t Ј a
cos t Ј a
,где t –
выражение с
переменной,
a .
tgt Ј a
Под знаком “ ” следует понимать любой
из четырёх знаков неравенств: <, >, , .
ctgt Ј a

3. Для решения тригонометрических неравенств необходимо уметь работать с тригонометрическим кругом:

2
sint
y
1
t
0
0
sint - ордината точки поворота
t Ґ ;+Ґ
cost
x
1
cost - абсцисса точки поворота
(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной
тригонометрической окружности, полученной при повороте на t радиан от
начала отсчета»)

4.

Неравенство sint>a, при a 1
не имеет решений.
2
1
На
окружности
не
существует точек поворота,
ординаты которых больше
единицы.
0
–1
Аналогично, неравенство
sint<a , при a –1 также не
имеет решений.
y
a 1
1
0
–1
3
2
a –1
x
2
На
окружности
не
существует точек поворота,
ординаты которых меньше
минус единицы.

5.

Если знак неравенства нестрогий, то
неравенство sint a, при a 1
выполняется, при t 2 n, n
2
2
y
a 1
1
0
–1
x
0
1
–1
Аналогично,
3
2
a –1
2
неравенство
sint a , при a –1 будет
верное, если
t
2
2 k , k

6.

Если a (–1;1), то неравенство sint a выполняется либо на дуге
либо на дуге
ADC (<, ).
B
2
A
y
1
a
t= –arcsina
–1
0
D
–1
CBA (>, ),
3
2
2
C
t=arcsina
0 x
1 2
Выбор скобок в
записи
ответа
зависит от знака
неравенства
Дугу CBA можно записать в виде промежутка [(arcsina+2 n; –arcsina+2 n)], n ,
а дугу ADC – в виде промежутка [( –arcsina+2 k; arcsina+2 +2 k)], k ,

7.

Пример. Решите неравенство sin(2x–3)>–0,5.
Решение. Выполняем рисунок:
y
2
1
0
–1
0
2 x 3
6
2 n
7
2 n
6
7
2 x 2 n 3
2 n 3
6
6
7 3
3
x n
n , n
12 2
12 2
1
7
6
x
1
2
–1
3
2
2
или
7 3
3
x
n
n
Ответ:
, n .
12 2
12 2
6
7
2 n 2 x 3
2 n
6
6
7
2 n 3 2 x
2 n 3
6
6
3
7 3
n x
n, n
12 2
12 2

8.

Для неравенство cost>a, при a 1 и cost<a, при a –1 проведите рассуждения
самостоятельно (под руководством учителя).
y
2
1
0
–1
1
0
a –1
–1
3
2
2
t Ø
x
a 1

9.

Если знак неравенства нестрогий, то
неравенство cost a, при a 1
выполняется, при t 2 n, n
2
a –1
y
1
0
–1
x
0
1
–1
Аналогично,
3
2
2
a 1
неравенство
cost a , при a –1 будет
верное, если
t 2 k , k

10.

Если a (–1;1), то неравенство cost a выполняется либо на дуге
либо на дуге
CDA (<, ).
2
ABC (>, ),
y
1
C
t=arccosa
B
0 x
1 2
a
–1
0
t=–arccosa
A
D
3
2
2
t arccos a 2 n arccos a 2 n , n
t arccos a 2 k 2 arccos a 2 k , k
В первом случае
Во втором,
–1
Выбор скобок в
записи
ответа
зависит от знака
неравенства

11.

x 1
Пример. Решите неравенство cos „ .
4 2 2
Решение. Выполняем рисунок:
y
3
2
1
0
–1
5
x
2 n
2 n
3
4 2 3
x
5
2 n
2 n
2 4 3
4 3
0
3
2
2
или
17
x
4 n 4 n , n
6
6
Ответ:
1
1
2
–1
17
x
4 n 4 n , n .
6
6
x
3
x 5
2 n „ „
2 n
3
4 2 3
x 5
2 n „ - „
2 n
3
4
2 3
4
17
4 n „ x „ - 4 n, n
6
6

12.

Так как E(tg)= , то неравенство tgt a всегда имеет решение.
линия
тангенсов
Значению tgt=a соответствуют числа t (величины углов
поворота в радианной мере), попадающие в две точки
тригонометрического круга.
a
y
2
1
Для неравенств tgt>a или tgt a
получаем две дуги.
Обе они могут быть записаны в виде
промежутка:
t arctga n n , n
2
Для неравенств tgt<a или tgt a
получаем две дуги.
Обе они могут быть записаны в виде
промежутка:
t k arctga k , k
2
t=arctga
0
–1
t=arctga+π
1 0
0
–1
2
Выбор скобок в записи
ответа зависит от знака
неравенства
x

13.

Так как E(tg)= , то неравенство сtgt a
всегда имеет решение.
y
0
a
2
линия
котангенсов
1
t=arcctga
0
–1
0
x
1
t=arcctga+π
–1
2
Проследите за ходом решения и выведите общие формулы для неравенств:
ctgt>a
t n arcctga n , n
ctgt a
t n arcctga n , n
ctgt<a
t arcctga n n , n
ctgt a
t arcctga n n , n

14.

Пример. Решите неравенство
tg 2 x tg 3
3
… .
1 tg 2 x tg 3
3
Решение. Применив к левой части неравенства
формулу
тангенса
разности,
получим
равносильное неравенство:
линия
тангенсов
y
3
tg 2 x 3 … .
3
2
1
Выполняем рисунок.
1
2
Получаем:
6
6
n „ 22 x 3
n 3 „ 22 x
6
2
2
3
3
0
n
n 3
–1
1 0
0
7
6
3 n
3 n
„ 2x
, n .
12 2 2
4 2 2
3 n 3 n
Ответ: x
12 2 2 4 2 2 , n .
–1
2
x