Конформные отображения

1.

Пусть в плоскости z дана точка z0, через
которую проведены кривые γ1 и γ2.
Функция w=f(z) - аналитична в некоторой
области, и отображает точку z0 в точку w0
на плоскости w, где w0=f(z0).
Линии γ1 и γ2 отображаются в линии Г1 и Г2,
проходящие через точку w0.

2.

f (z )
v
y
0
z0 z
z0
1
1
2
0
2
x
Ф1
Г1
Ф2
Г2
u

3.

Выберем на кривой γ1 точку z0+Δz, которая
отображается в точку w0+Δw на кривой Г1.
Комплексное
число
Δz
изображается
вектором
z0 , z0 z
а число Δw - вектором
0 , 0
Т.к. функция w=f(z) - аналитична в точке z0,
то
f ( z ) lim
z 0 z

4.

Пусть
z 0 так, чтобы точка z0+Δz
оставалась на кривой γ1, тогда 0
так, что точка w0+Δw будет перемещаться
по кривой Г1.
Если существует
lim
f ( z )
z 0 z
то будут существовать и пределы
lim
f ( z )
z 0 z
lim Arg
Argf ( z )
z 0
z

5.

Arg
Arg Arg z
z
где
-
Arg z, Arg
углы,
образованные
векторами,
изображающими числа Δz, Δw с осью х.
Пределы величин ArgΔz и ArgΔw равны,
соответственно, углам φ1 и Ф1.

6.

Argf ( z0 ) Ф1 1
Аналогично, если точка z0+Δz стремится к
точке z0 по кривой γ2, то
Argf ( z0 ) Ф2 2
Тогда
Ф1 1 Ф2 2
Ф2 Ф1 2 1

7.

2 1
- угол между касательными к кривым γ1 и
γ2 в точке z0.
Ф2 Ф1
- угол между касательными к кривым Г1 и
Г2 в точке w0.

8.

Угол между двумя кривыми, пересекающимися
в точке, в которой производная
отображающей функции отлична от нуля,
сохраняется по величине и направлению.

9.

Если совместить плоскости z и w так, чтобы
совпали точки z0 и w0, а ось х совпала с осью u,
то, чтобы касательная к кривой γ1 совпала с
касательной к Г1, эту конфигурацию надо
повернуть на угол Argf ( z0 )

10.

Выясним геометрический смысл модуля
производной.
z - расстояние от точки z0 до точки
Δz+z0.
- расстояние от точки w0 до точки
Δw+w0.
Следовательно, величина
z
указывает, в каком отношении в результате
отображения
меняется
величина
расстояния между точками.

11.

Величина
f ( z0 )
являющаяся пределом отношения
z
z 0
при
называется коэффициентом растяжения
в точке z0.
Если f ( z0 ) 1
то в окрестности точки z0 расстояние
между точками увеличивается, и
наоборот.

12.

В силу аналитичности функции f(z) величина
f ( z0 )
не зависит от закона стремления z0 z z0
поэтому коэффициент растяжения в данной
точке постоянен.

13.

Отображение, обладающее свойством
постоянства углов и свойством
постоянства коэффициента растяжения
в каждой точке, называется конформным
отображением 1 рода.

14.

Отображение, осуществляемое
аналитической функцией, является
конформным во всех точках, в которых
производная этой функции отлична от нуля.
Верно и обратное утверждение:
Если отображение, осуществляемое
функцией, конформно в
некоторой области, то эта функция
является аналитической в данной области.

15.

Отображение, отличающееся от
конформного тем, что углы сохраняются
только по абсолютной величине,
но меняют направление
отсчета на противоположное, называется
конформным отображением 2 рода.