Функции комплексного переменного. СРСП 8

1.

СРСП 8. Функции комплексного
переменного
Мустафина Ляззат Мухамеджановна
Доцент кафедры Высшая математика

2.

На данном занятии мы познакомимся с понятием функции комплексного
числа, рассмотрим основные функции комплексного переменного и изучим их
свойства. А также научимся выполнять действия с функциями комплексного
переменного и рассмотрим формулы, связывающие различные функции.
Следует отметить, что многие свойства функций комплексной переменной
отличаются от свойств функций действительной переменной, но некоторая
аналогия прослеживается.

3.

1. Определение функции комплексного переменного
Рассмотрим два множества D и E, элементами которых являются
комплексные числа. Числа z x iy множества D будем изображать точками
комплексной плоскости z, а числа w u iv множества E – точками плоскости
w.
Определение. Говорят, что на множестве D определена функция
комплексного переменного w f z , если каждому точке z D поставлено в
соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная
функция) значений w E .

4.

Таким образом функция w f z осуществляет отображение множества
D плоскости z на множество E плоскости w.
Множество D называется областью определения функции w f z ;
множество E1 всех значений w, которые f z принимает на E, называется
областью значений этой функции (если же каждая точка множества E является
значением функции, то E – область значений функции; в этом случае функция
f отображает D на E).
Областью комплексной плоскости называется множество точек
плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

5.

Функцию w f z можно записать в виде u iv f x iy , т.е.
f x iy u x; y iv x; y ,
где
u u x; y Re f z ,
v v x;y Imf z ,
x;y D .
Функцию u x; y при этом называют действительной частью функции
f z , а v x; y - мнимой.
Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно
заданию двух функций двух действительных переменных.

6.

2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Пусть
однозначная
функция
w f z
определена
в
некоторой
окрестности точки z 0 , исключая, может быть, саму точку z 0 . Под окрестностью точки z 0 комплексной плоскости понимают внутренность
круга радиуса с центром в точке z 0 .
Число w0 называется пределом функции w f z в точке z 0 (или при
z z 0 ), если для любого положительного найдется такое положительное
число , что для всех z z 0 , удовлетворяющих неравенству z z0 ,
выполняется неравенство f z w0 . Записывают: lim f z w0 .
z z0

7.

Это определение коротко можно записать так:
0 0 z : 0 z z f z w lim f z w .
0
0
z z0
0
Из определения следует, что если предел w0 существует, то существуют
и пределы lim u x; y u 0 и lim v x; y v0 .
x x0
y y0
x x0
y y0
Верно и обратное утверждение.
Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного
(или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и
для функции комплексного переменного.

8.

Так, если функции f1 z и f 2 z имеют пределы в точке z 0 D , то
lim c f z c f z c lim f z c lim f z , где c ,c - постоянные;
z z0
1 1
2
2
1
z z0
1
2
z z0
2
1
2
lim f z f z lim f z lim f z
z z0
1
2
z z0
1
2
z z0
f z
lim
f z
, если lim f z 0 .
lim f z
lim f z
1
z z0
2
z z0
z z0
1
2
z z0
2

9.

Определение. Пусть функция w f z определена в точке z z 0 и в
некоторой ее окрестности. Функция w f z называется непрерывной в точке
z 0 , если выполняется равенство lim f z f z 0 .
z z0
Определение непрерывности можно сформулировать и так: функция
f z непрерывна в точке z 0 , если бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение функции: lim f z 0 .
z 0
Функция f z непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой
точке этой области.

10.

3. Основные элементарные функции комплексного переменного
Рассмотрим
основные
переменного z x iy .
элементарные
функции
комплексного
1) Показательная функция
Показательная функция w e определяется формулой
z
w e z e x cos y i sin y
(1)
Положив в этом равенстве y 0 , устанавливаем, что для действительных
z
e
значений z x показательная функция
совпадает с показательной
функцией действительного переменного: e z e x .

11.

z
w
e
Показательная функция
обладает известным свойством:
e z1 e z2 e z1 z2 .
Действительно, по правилу умножения комплексных чисел, имеем:
e z1 e z2 e x1 e x2 cos y1 y 2 i sin y1 y 2
e x1 x2 cos y1 y 2 i sin y1 y 2
e x1 x2 i y1 y2 e z1 z2
Аналогично можно показать справедливость свойства:
e :e e
z1
z2
z1 z2
,
e e n .
z n
nz

12.

Показательная функция e z нигде в нуль не обращается, т.е. e z 0 , так
z
x
как e e , а e x 0 .
Положив в равенстве (1) x 0, y , получим классическую формулу
Эйлера
e i cos i sin .
С
помощью
этой
формулы,
частности, можно представить
тригонометрическую форму комплексного числа z r cos i sin в более
компактной форме
z r ei
в
z z e ,
i arg z
называемой показательной формой комплексного числа.

13.

Показательная функция комплексного переменного обладает особым
свойством:
e z является периодической функцией с периодом 2 i .
Действительно,
e z 2 i e z e 2 i e z cos 2 i sin 2 e z ,
z 2 i
z
e
e
то есть
.
z
e
Однако можно отметить, что
e i 1 0 .
не всегда больше нуля. Например,

14.

2) Логарифмическая функция
Логарифмическая функция определяется как функция, обратная
показательной.
Определение. Число w называется логарифмом числа z 0 , если
e w z , обозначается w Lnz .
w
Так как значения показательной функции e z всегда отличны от
нуля, то логарифмическая функция w Lnz определена на всей плоскости z,
кроме точки z=0 (например, имеет смысл и выражение Ln 4 ).

15.

Положив
z r e i ,
w u iv ,
получим, согласно определению логарифмической функции,
e u iv r e i , или
e u e iv r e i .
Отсюда имеем:
e u r , v 2k , т.е. u ln r, v 2k k 0, 1, 2,... .
Следовательно,
w Lnz u iv ln r i 2k ln z i arg z 2k ,
(2)
То есть Lnz ln z i arg z 2k или, Lnz ln z iArgz , где Argz argz 2k .

16.

Формула (2) показывает, что логарифмическая функция комплексного
переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е. w Lnz многозначная функция.
Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в
формулу (2) определенное значение k.
Положив k=0, получим однозначную функцию, которую называют
главным значением логарифма Ln z и обозначают символом ln z:
ln z ln z i arg z , где arg z .

17.

Если z – действительное положительное число, то arg z = 0 и ln z ln z ,
то есть главное значение логарифма действительного положительного числа
совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.
Формулу (2) можно переписать так: Lnz ln z 2k i .
Из формулы (2) следует, что логарифмическая функция w Lnz обладает
известными свойствами логарифма действительного переменного:
Ln z1 z2 Lnz1 Lnz2
Lnz n Lnz
n
z1
Ln Lnz1 Lnz2
z2
Ln n z
1
Lnz
n
Докажем, например, первое свойство:
Ln z1 z 2 ln z1 z 2 iArg z1 z 2 ln z1 z 2 i Argz1 Argz 2
ln z1 iArgz 1 ln z 2 iArgz 2 Lnz1 Lnz 2 .

18.

Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение функции комплексного переменного
2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
3. Показательная функция, определение и основные свойства
4. Логарифмическая функция, определение и основные свойства

19.

n
3) Степенная функция w z
Если n – натуральное число, то степенная функция определяется
равенством
w z n r n cos n i sin n .
Функция w z n - однозначная. Если n
w z
1
m
z
m
m
1
m , то в этом случае
m
arg z 2k
arg z 2k
z cos
i sin
, где k=0,1,2,…m-1.
m
m
1
m
Здесь функция w z
есть многозначная (m-значная) функция.
Однозначную ветвь этой функции можно получить, полагая k равным
определенному значению, например k=0.

20.

Если n
p
, где p, q , то степенная функция определяется равенством
q
p
1q
p arg z 2k
p arg z 2k
p
q
.
w z z
z cos
i sin
q
q
p
q
Функция w z
p
q
- многозначная. Степенная функция w z a с произвольным
комплексным показателем a i определяется равенством w z a e aLnz .
Функция w z a определена для всех z 0 , является многозначной функцией.
Пример. Найти i i
Решение: i i e iLni e
i i 2 k
2
При k=0 имеем: i i e 2 .
e
2 k
2
, где k 0, 1, 2,... .

21.

4) Тригонометрические функции
Тригонометрические функции
определяются равенствами
e iz e iz
sin z
,
2i
e iz e iz
cos z
,
2i
комплексного
tgz
sin z
,
cos z
аргумента
ctgz
z=x+iy
cos z
.
sin z
При действительных z эти определения приводят к тригонометрическим
функциям действительного переменного.
Так, при z=x (y=0)
e ix e ix 1
1
sin z
cos x i sin x cos x i sin x 2i sin x sin x.
2i
2i
2i

22.

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют
многие свойства тригонометрических функций действительного переменного.
В частности,
sin 2 z cos 2 z 1, sin2z 2sinzcosz,
cos z1 z 2 cosz1cosz 2 sinz 1 sinz 2 , sin z 2π sinz,
cos z cosz, sin z sinz, tg z π tgz,
π
z kπ k 0, 1, 2,... ,
cosz 0 при
2
2tgz
z π cosz, sin z 3π cosz.
sin
,
tg2z
2
2
2
1 tg z

23.

Докажем, например, первое свойство:
2
2
e iz e iz e iz e iz
e 2iz 2 e 2iz e 2iz 2 e 2iz
2
2
sin z cos z
2
i
2
4
4
e 2iz 2 e 2iz e 2iz 2 e 2iz 4
1.
4
4
Заметим, что в отличие от тригонометрических функций
действительного переменного тригонометрические функции sin z и cos z в
комплексной плоскости z неограниченны:
lim sinz ,
Imz
e e 1
1,54 1,
Например, cos i
2
lim cosz .
Imz
e 3 e 3
cos 3i
10.
2

24.

5) Гиперболические функции
Эти функции определяются равенствами
e z e z
shz
,
2
e z e z
chz
,
2
shz
thz
,
chz
chz
cthz
shz
Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими
функциями. Заменяя в указанных функциях z на iz, получим:
shiz= i·sinz, sinz=-i·shiz,
chiz=cosz
thiz=i·tgz, cthiz=-i·ctgz.
Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул,
связывающих гиперболические функции.

25.

Заменяя в формуле sin 2 z cos 2 z 1 тригонометрические функции
гиперболическими, получим
ishiz 2 chiz 2 1 , или sh 2 iz ch 2 iz 1 .
Так как здесь z – любое комплексное число, то iz можно заменить на z; получим
формулу
ch 2 z sh 2 z 1 .
Несложно получить следующие формулы:
ch z chz ,
ch2 z ch 2 z sh 2 z ,
sh z shz ,
sh 2 z 2shzchz ,
ch z1 z 2 chz1chz 2 shz1 shz 2 ,
shz chz e z
Из определения гиперболических функций следует, что функции shz и
chz периодические с периодом 2 i ; функции thz и cthz имеют период i .

26.

6) Обратные тригонометрические и гиперболические функции
Определение. Число w называется арксинусом числа z, если sinw=z, и
обозначается w=Arcsinz.
Используя определение синуса, имеем
e iw e iw
z sin w
, или e 2iw 2ize iw 1 0 .
2i
Отсюда, решая квадратное уравнение, получим
e iw iz
iz 2 1 , т.е. e iz 1 z
iw
(перед корнем можно не писать знак , так как
2
1 z 2 имеет два значения).

27.

Тогда
1
i
iw Ln iz 1 z 2 или w Ln iz 1 z 2 .
Таким образом,
w Arc sin z iLn iz 1 z 2 .
Функция w=Arcsinz многозначна (бесконечнозначна). Аналогично
определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно
показать, что
Arc cos z iLn z z 2 1 ,
i
i z
z i ,
Arctgz Ln
2 i z
i
z i
z i .
Arcctgz Ln
2
z i

28.

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно
w=Arshz (ареасинус), w=Arсhz (ареакосинус), w=Arthz (ареатангенс), w=Arcthz
(ареакотангенс).
Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:
Arshz Ln z z 2 1 ,
1 1 z
,
Arthz Ln
2 1 z
Все эти функции бесконечнозначны.
Archz Ln z z 2 1 ,
z 1
1
Arcthz Ln
z 1
2

29.

Задания для самостоятельной работы
Пример 1. Выделить действительную и мнимую части у следующих
функций:
а) w= 2z-1; б) w z z 2 ;
в) w z 1 ; г) w e z ;
д) w shz
Пример 2. Найти значение модуля и главное значение аргумента данных
функций в указанных точках:
a) w cos z z1 i ln 2 z 2 i ln 2
2
б) w shz
z0 1 i
2
в) w ze z
Пример 3. Найти логарифмы чисел: а)-i
б)ii
z0 i

30.

Решение примера 1:
Так как z x iy получим
а) w 2z 1 2 x iy 1 2x 1 2iy u x; y 2x 1, v x; y 2 y
б) w z z 2 x iy x iy x iy x 2 2ixy y 2 x x 2 y 2 i y 2 xy
2
u x; y x x 2 y 2 , v x; y y 2 xy
в) w z 1 1 1
z
x iy
x iy
x iy
x
y
u x; y 2
, v x; y 2
x iy x iy x 2 y 2
x y2
x y2
г) w e z
e z e x iy e x e iy e x cos y i sin y u x; y e x cos y v x; y e x sin y
д) w shz
shz sh x iy i sin i x iy i sin ix y i sin ix cos y sin y cos ix
shx cos y i sin ychx u x; y shx cos y, v x; y sin ychx

31.

Решение примера 2:
а) w cos z z1
2
i ln 2 z 2 i ln 2
cos z cos x iy cos x cos iy sin x sin iy cos xchy i sin xshy
cos 2 xch2 y sin 2 xsh 2 y cos 2 xch2 y 1 cos 2 x sh 2 y cos 2 x sh 2 y
получим
e
2
2
cos z1 cos i ln 2 cos
sh ln 2 sh ln 2
2
2
ln 2
e ln 2
2
1
2 3
2
4
2

32.

arg w arg cos xchy i sin xshy
arg w1 arg cos ch ln 2 i sin sh ln 2 arg ish ln 2
2
2
2
cos z 2 cos i ln 2 cos 2 sh 2 ln 2 1 sh 2 ln 2 ch ln 2
arg w1 arg cos ch ln 2 i sin sh ln 2 arg ch ln 2
e
ln 2
e
2
ln 2
1
2 5
2
4
2

33.

б) w shz z 0 1 i
2
w shz sh x iy shx cos y ichx sin y sh 2 x cos 2 y ch 2 x sin 2 y
sh 2 x cos 2 y ch 2 x 1 cos 2 y ch 2 x cos 2 y
2
2
w0 sh 1 i ch 1 cos
ch1
2
2
arg w0 arg sh1cos ich1sin arg ich1
2
2
2

34.

в) w ze z z 0 i
w ze z x iy e x iy e x x cos y y sin y i x sin y y cos y
e x x 2 cos 2 y 2 xy sin y cos y y 2 sin 2 y x 2 sin 2 y 2 xy sin y cos y y 2 cos 2 y
ex x2 y2
w0 z 0 e z0 e 0 0 2
arg w0 arg ie
i
arg i cos i sin arg i 2

35.

Решение примера 3:
а) Ln i ln i i arg i 2 ki ln 1 i 2 ki i 2 ki,
2
2
2
2
б) Ln i i i ln i i arg i 2 ki i ln 1 i 2 ki
2 k ,
k 0, 1, 2,...
k 0, 1, 2,...