Функции комплексного переменного, понятие предела функции, непрерывность. Лекция 32

1. Лекция 32. Функции комплексного переменного, понятие предела функции, непрерывность. Производная функции комплексного

переменного. Условие КошиРимана, понятие аналитичности функции в
точке.
1

2.

§ 1. Теория комплексных чисел.
Определение (комплексных чисел):
Выражение вида z=a+bi, где а,b –
действительные числа, i – символ называется
комплексным числом, если для любого из
выражений z1 a1 b1 i , z2 a2 b2 i
выполняются следующие свойства:
1) z1 z2 тогда и только тогда, когда
a1 a2 , b1 b2
a1 0 i a1; 0 b1 i b1i ; 1 i i
2

3.

2) z1 z 2 a1 a2 b1 b2 i
Сумма (разность) комплексных чисел есть
комплексное число, вычисляемое по
соответствующей формуле.
def
3) z1 z2 a1 a2 b1 b2 a1b2 a2b1 i
def
z1 def a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 i
4)
2
2
z2
a2 b2
При этом на множестве комплексных чисел
выполняется закон коммуникативности:
z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1
3

4.

Ассоциативности:
z1 z2 z3 z1 z2 z3
z1 z2 z3 z1 z2 z3
Закон дистрибутивности:
z1 z2 z3 z1 z3 z2 z3
Смысл символа i
Рассмотрим число i 0 1 i
i 0 1 i 0 1 i 0 1 0 0 i 1
2
def
4

5.

Символ i – символ, квадрат которого = -1.
С комплексными числами нужно работать как
с обычными буквенными выражениями, помня
что i 2 1 .
Для того, чтобы удобно было работать с
комплексными
числами
введем
понятие
комплексно-сопряженного числа.
Число z =a-bi
называется
комплексносопряженным числу z=a+bi, то есть они
отличаются знаком, стоящим при символе i.
5

6.

Рассмотрим комплексное число z = x + yi.
x - действительный часть комплексного числа
x = Re Z
y - мнимая часть комплексного числа
y = Im Z
y
Z - комплексная
плоскость
y
x
x
6

7.

§ 2. Формы записи комплексного числа.
Геометрические интерпретации множеств
комплексных чисел.
На комплексной плоскости комплексное число
можно обозначить точкой или вектором.
По определению модулем комплексного числа
называется:
2
2
z x y ;
z 0
и является действительным числом.
Геометрический смысл модуля комплексного
числа – длина вектора, обозначающего
комплексное число.
7

8.

Определение. Аргументом комплексного
числа называется угол , обозначаемый
символом = arg z и отсчитываемый от оси
OX против часовой стрелки. Направление
отсчета против часовой стрелки принимается
за положительное, по часовой стрелке – за
отрицательное.
Числа z = x + iy и z = x – iy – комплексносопряженные. Пользуясь формулой для
умножения двух комплексных чисел, имеем:
z z = x2 + y2 = z 2.
8

9.

С учетом последнего выражения, формулу для
деления двух комплексных чисел можно
записать в виде:
z1 z1 z 2 z1 z 2
2
z2 z2 z2
z2
Чтобы разделить два комплексных числа,
достаточно числитель и знаменатель умножить
на число, комплексно сопряженное
знаменателю.
Пример.
1 i 1 i 1 2i 1 2i i 2 3i 1
1 3
i
1 2i
5
5
5
5 5
9

10.

Вспоминая связь между декартовой и
полярной системой координат, положение
комплексного числа можно задать углом ,
отсчитываемым от оси OX против часовой
стрелки и - длиной вектора.
x = cos
y = sin
где: > 0, - любое действительное число.
Учитывая эти формулы, комплексное число
можно записать в виде:
z = x + iy = cos + i sin = (cos + isin ).
Это тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
10

11.

Выясним смысл и .
def
x y z
2
2
Угол определяется из решения системы
уравнений:
x
cos
2
2
x y
y
sin
2
2
x y
11

12.

Если 0 – решение системы уравнений, то
= 0 + 2 k, k = 0, 1, 2, …
Угол определяется неоднозначно
= arg z.
На практике, для определения угла
используются следующие формулы.
Так как:
tg = y/x = arctg(y/x)
Но при этом оказались потерянными решения
cos = 0 = /2 + k.
Поэтому, окончательное выражение для
аргумента комплексного числа,
12

13.

запишем следующим образом, с учетом
расположения комплексного числа
относительно координатных осей:
arctg(y/x),
x > 0 (I, IV четверти)
+ arctg(y/x), x < 0, y > 0 (II четверть)
0 = - + arctg(y/x), x < 0, y < 0 (III четверть)
/2,
x = 0, y > 0
- /2,
x = 0, y < 0
= arg z = 0 + 2 k, k = 0, 1, 2, …
Для того, чтобы однозначно определять
значения аргумента комплексного числа вводят
понятие главного значения аргумента,
13

14.

за которое принимается значение угла 0,
находимого по формулам, записанным выше и
которое меняется в пределах:
- < 0
Таким образом, с учетом определения модуля
комплексного числа и аргумента, комплексное
число может быть записано в
тригонометрической форме записи:
z = z (cos + isin ).
Чтобы упростить работу с комплексными
числами, Эйлер предложил ввести
обозначение:
cos + isin = ei .
14

15.

Тогда получается показательная форма
записи комплексного числа:
z = z ei .
Если - , то z z = z e-i .
15

16.

Рассмотрим две формулы:
ei = cos + i sin + cos = (ei + e-i )/2.
e-i = cos + i sin – sin = (ei – e-i )/2i.
Дадим геометрическую интерпретацию
операциям сложения, вычитания, умножения,
деления комплексных чисел.
Рассмотрим два комплексных числа z1 и z2. Эти
комплексные числа на комплексной плоскости
могут быть изображены векторами. Сумма
z1 + z2 двух комплексных чисел может быть
найдена путем сложения z1 и z2 как векторов по
правилу параллелограмма. Разность z1 – z2
строится как сумма z1 и –z2.
16

17.

Расстояние между точками z1 и z2 равно:
z1 – z2 .
17

18.

-z соответствует z относительно начала
координат и т.д. Все симметрии понятны из
рисунка.
18

19.

Для умножения и деления комплексных чисел
нужно воспользоваться показательной формой
записи.
z1 = z1 ei 1, z2 = z2 ei 2.
1. Произведение: z1 z2 = z1 z2 ei( 1 + 2).
Доказательство.
z1 z2 = z1 z2 .
ei 1 ei 2 = (cos 1 + isin 1)(cos 2 + isin 2) =
(cos 1cos 2 - sin 1sin 2) + i(sin 1cos 2 +
cos 1sin 2) = cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2) =
= ei( 1 + 2).
Ч.т.д.
19

20.

2. Частное: z1 z1 ei ( 1 2 )
z2 z2
Доказательство. Самостоятельно.
3. Возведение в степень:
zn = z n ein .
n – натуральное.
Из свойства 1 следует,
что при умножении
комплексных чисел,
модули перемножаются,
а аргументы складываются:
z = z1 z2 ,
arg z = 1 + 2.
20

21.

При делении модули комплексных чисел
делятся, а аргументы вычитаются:
z1
z
, arg z = 1 + 2.
z2
Свойство 3 нужно для того, чтобы получить
формулу Муавра:
(cos + isin )n = cosn + isinn
Она связывает n-тую (cos + isin )n с cosn и
sinn .
21

22.

§ 3. Геометрическая интерпретация
множеств комплексных чисел.
1. Пусть множество комплексных чисел Z
удовлетворяет условию:
z a , a 0 , a - действительное число.
a x2 y2
x2 y2 a2
Это окружность.
22

23.

2. z a x y a
Это круг,
включая окружность.
2
2
2
3. z z0 r , z0 x0 iy0- фиксированная точка.
( x x0 ) ( y y0 ) r
2
2
2
Это вся комплексная плоскость, за исключением
круга и окружности.
23

24.

24

25. 4. Это кольцо. 5. Это множество точек представляет собой луч, выходящий из начала координат, расположенный под углом c к оси x.

4.
r z z0 a
r x x0 y y0 a
2
2
2
2
Это кольцо.
5.
y
arg z c arctg
x
y
tg c
y tg c x
x
Это множество точек представляет собой
луч, выходящий из начала координат,
расположенный под углом c к оси x.
25

26.

26

27.

§ 4. Извлечение корня из комплексного
числа.
Пусть дано комплексное число w u iv
Корнем n-той степени из комплексного числа
w , обозначаемый n w называется комплексное
n
число z такое, что z w .
n
z
Рассмотрим уравнение w . Пусть w –
i
i
комплексное число w e , a z re
Тогда z n r nein ei
Два комплексных числа равны тогда и только
тогда, когда:
r ; n 2 k , k 0, 1, 2,...
n
n 2 k , k 0, 1, 2,...
27

28.

Добавляем к 2 k , так как аргумент
однозначно не определяется.
z n
2 k
n n ,
k 0, 1, 2,...
Покажем, что среди полученного
бесконечного множества существует только n
различных чисел, которые принимаются за
значение корня n-той степени из комплексного
i
числа.
n
n
z0 e ,
z1 n e
2
i
n n
k 0.
, k 1.
28

29.

Модули всех комплексных чисел одинаковы и
равны n . Отличаться они будут только своими
аргументами.
2
2
2 k 2
n n
z n 1
имеет аргумент
zn n e
2
i n
n n
n e
2
n 1 n 1
n n
i 2
n
cos 2 i sin 2
n
n
n
cos i sin
n
n
n
i
n e n
z0
zn 1 z1
29

30.

Таким образом, если дано комплексное число w,
то корней n-той степени из комплексного числа
w, n и вычисляться они будут по следующей
формуле
2
zk n w e
i k
n n
,
k 0,1,2,...,n 1.
Все значения находятся в вершинах вписанного
в окружность n – угольника и могут быть
интерпретированы следующим образом:
30

31.

31

32.

§ 5. Функции комплексного переменного.
Пусть есть 2 множества: D комплексных чисел
z x iy и E комплексных чисел w u iv
Изобразим множества на комплексных
плоскостях:
32

33.

Если каждому комплексному числу множества z
по некоторому закону f поставлено в
соответствии хотя бы одно комплексное число,
W E
то говорят, что на множестве D задана
комплексная функция W f (z ) .
D – область определения. E – область
изменения.
33

34.

Так как W = u + iv, то задание комплексной
функции W = f(z) равносильно заданию
комплексной функции W = u(x,y) + iv(x,y) то есть
задание комплексной функции
равносильно заданию функции комплексного
переменного. Рассмотрим функцию
W z,
2
где z = x + iy
z ( x iy ) x 2ixy y x y i 2 xy
2
2
2
2
2
2
u
v
34

35.

Определение. (однозначной функции)
Если каждому числу z D по некоторому закону
f поставлено в соответствие одно и только одно
число W E , то говорят что задана однозначная
функция комплексного переменного W = f ( z )
Пример.
W z однозначная функция для области
2
определения, представляющей верхнюю половину
35

36.

полуплоскости.
W z - неоднозначная функция, так как ему
2
поставлено в соответствие два значения.
36

37.

§ 6. Предел функций
комплексного переменного.
Пусть задана функция комплексного переменного
f ( z ) определенная в окрестности точки z0 , кроме
может быть самой точки.
Определение. ( предела функции комплексного
переменного)
Число A ( комплексное) называется пределом
функции f ( z ) в точке z0 , если 0
37

38.

(действительного, сколь угодно малого)
0
(действительное), такое, что: для
любого z удовлетворяющего неравенству
0 | z z0 |
выполняется неравенство | f ( z ) A |
При этом пишут lim f ( z ) A
z z0
Разберем, что в определении означает запись:
z , удовлетворяющих
0 | z z0 |
Исходя из геометрического смысла, множество
38

39.

чисел, удовлетворяющих неравенству есть круг,
радиуса с выколотой точкой z0 . Когда z z0
это означает, что круг стягивается в точку, при этом
не важно, каким образом z z0 . Исходя из этого
предел функции комплексного переменного не
зависит от способа стремления z z0 .
39

40.

40

41.

Чтобы показать, что предел функции не
существует, пытаются найти предел при
различных способах стремления z z0 . Если
получившиеся числа различны, то говорят, что
предел в данном случае не существует.
Так как задание функции f ( z ) <=> заданию
выражения u ( x,y ) + iv( x,y ) то есть заданию
двух функций действительного переменного,
тогда:
41

42.

lim f ( z )
z z0
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
u ( x, y) i
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
v( x, y)
Теорема. (необходимое и достаточное условие
существования предела функции
комплексного переменного).
Для того, чтобы существовал предел ФКП
f( z ), при z z0 необходимо и достаточно, чтобы
одновременно существовали пределы функций
, u ( x, y ), v( x, y ) при парах ( x, y) ( x0 , y0 )
где u,v – функции действительного переменного:
42

43.

Для функций комплексного переменного
выполняются все теоремы о пределах, доказанные
для функций действительной переменной.
Если lim f ( z ) и lim ( z ),
z z 0
z z0
1. lim ( f ( z ) ( z )) lim f ( z ) lim ( z )
z z0
z z 0
z z 0
2. lim f lim f lim
z z 0
z z 0 z z 0
lim f
f z z 0
3. lim
, ( z0 ) 0
lim
z z 0
z z 0
43

44.

4. Теорема. (об асимптотическом разложении
функции, имеющей предел)
f ( z) A
Для того, чтобы существовал предел zlim
z0
необходимо и достаточно, чтобы в окрестности
точки z0 функция f ( z ) была представлена в виде:
f ( z ) A ( z z0 )
Замечание.
– бесконечно малая функция ФКП, то есть
lim 0
z z 0
z z0 ( x x0 ) ( y y0 )
2
2
расстояние между двумя точками комплексной
плоскости.
44

45.

Для ФКП вводится понятие бесконечно малой
(б.м.) и бесконечно большой (б.б.) ФКП. При
нахождении пределов ФКП можно пользоваться
понятием эквивалентных бесконечно малых.
§ 7. Понятие непрерывности ФКП.
Пусть функция f ( z ) определена в окрестности
точки z0 , и в самой точке.
45

46.

Определение. (непрерывности ФКП в точке)
Функция f ( z ) называется непрерывной в точке z0 ,
Если ε 0 (действительных) δε 0 (действительное)
такое, что для любых Z удовлетворяет неравенству
z z0
выполняется неравенство
этом пишут:
f ( z ) f ( z0 ) при
lim f ( z ) f ( z0 )
z z0
Так как задались ФКП соответствует заданию двух
функций действительного переменного, то понятие
46

47.

непрерывности ФКП в точке соответствует
непрерывности двух функций действительного
переменного в этой точке.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие
непрерывности ФКП в точке)
Для того, чтобы ФКП f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) была
непрерывна в точке z0 x0 iy 0 необходимо и
достаточно, чтобы функции u ( x, y ), v( x, y ) были
непрерывны в точке x0 , y0 .
47

48.

Для ФКП выполняются все теоремы, доказанные
ранее для функций действительного переменного.
Если f ( z ), ( z ) непрерывны в точке z0 , то:
Сложная функция f ( ( z )) непрерывна в точке z0 .
48

49.

§ 8. Дифференцируемость ФКП в точке.
Пусть ФКП f ( z ) определена в окрестности точки
z0 и самой точке. Рассмотрим значение ФКП в
точке z0 и точке ( z0 z ), z - произвольное
комплексное число.
Предполагается, что все значения существуют.
W f ( z0 z ) f ( z0 )
Рассмотрим
,z 0
z
z
Это отношение представляет собой некоторое
комплексное число.
49

50.

Определение. (производной ФКП в точке)
Если существует конечный предел
f ( z0 z ) f ( z0 )
lim
z 0
z
то он называется производной функции в точке и
f ( z0 z ) f ( z0 )
обозначается f ' ( z0 ) lim
z 0
z
Функция f ( z ) называется дифференцируемой в
точке z0 .
50

51.

Замечание.
Производная в точке z0 не зависит от способа
стремления z 0 . Это следует из того, что
производная есть предел отношения приращения
функции к приращению аргумента.
Пример:
f ( z) z ;
2
f ( z z ) ( z z ) z 2 z z z
2
2
2
W z 2 z z z z 2 z z z
2
2
2
2
51

52.

W
z ( 2 z z )
( z )' lim
lim
z 0 z
z 0
z
2
z 0
lim (2 z z ) 2 z 0 2 z
z 0
Рассмотрим функцию:
f ( z ) x iy
z = x + i y
52

53.

W f ( z z ) f ( z ) x x i ( y y ) x iy
x i y
W
x i y
lim
lim
z 0 z
x 0 x i y
y 0
y 0
x i y
Íî x 0 lim
1 èëè
x 0 x i y
x 0
y 0
x 0
x i y
Íî y 0 lim
1
x 0 x i y
y 0
y 0
53

54.

Предел зависит от способа стремления, это значит
не существует ( x iy )' не существует ( z )'
§ 9. Геометрический смысл ФКП.
Пусть дана функция
W
W f ( z ) è f ' ( z0 ) lim
z 0 z
По теореме об асимптотическом разложении
функции, имеющей предел:
W
f ' ( z0 ) (| z |), z 0
z
54

55.

W f ' ( z0 ) z (| z |) z, z 0
С точностью до бесконечно малой второго
порядка относительно z можем записать
W f ' ( z0 ) z
Каждое из комплексных чисел входящих в
формулу запишем в показательной форме записи.
W | W | e
i
, arg W
i 1
f ' ( z0 ) | f ' ( z0 ) | e ; 1 arg f ' ( z0 )
i 2
z | z | e ; 2 arg z
55

56.

i
| W | e | f ' ( z0 ) || z | e
i ( 2 1 )
| W | | f ' ( z0 ) || z |
1 2
Производная показывает во сколько раз надо
увеличить z , чтобы получить
W.
Аргумент производной показывает насколько надо
увеличить угол z, чтобы получить W.
56

57.

Таким образом геометрический смысл ФКП
состоит в следующем:
1. Модуль производной ФКП показывает, во
сколько раз нужно уменьшить или увеличить
модуль приращения аргумента, чтобы получить
модуль приращения функции.
2. Аргумент производной показывает, на какой
угол относительно аргумента z нужно повернуть
луч , дающий направление комплексного числа,
57

58.

соответствующего приращению функции W.
Теорема. (необходимое и достаточное условие
дифференцируемости ФКП в точке)
Для того, чтобы ФКП f ( z ) u iv была
дифференцируемой в точке z0 x0 iy 0
необходимо и достаточно, чтобы:
1.Функции u ( x, y ), v( x, y ) были дифференцируемы
в точках x0 , y0
58

59.

2. В точке x0 выполнялись условия Коши-Римана:
u v u
v
;
x y y
x
u v
v u
i |( x0 , y0 ) i |( x0 , y0 )
При этом f ' ( z0 )
x x
y y
Доказательство.
Необходимость:
Пусть f ( z ) - дифференцируема в точке z0 ,
f ( z )
lim
f ' ( z0 )
z 0
z
59

60.

Обозначим f ' ( z0 ) A iB; z x i y
Используя теорему об асимптотическом
разложении f ( z ) f ' ( z0 ) z (| z |) z
или с учетом принятых выше обозначений:
f ( z ) u i v ( A iB )( x i y )
( 1 (| z |) i 2 (| z |)) ( x i y )
Перемножая выражения, стоящие в скобках,
имеем:
u i v A x iB x iA y B y
60

61.

1 (| z |) x i 2 (| z |) x i 1 (| z |) y
2 (| z |) y
| z | ( x) ( y ) , 0
2
2
когда x 0, y 0
Комплексные выражения равны тогда, когда равны
действительные и мнимые части.
u A x B y 1 ( ) x 2 ( ) y
v B x A y 2 ( ) x 1 ( ) y
(I)
61

62.

Эти записи означают, что функции u,v
дифференцируемы в точке ( x0 , y0 ) по определению
u
u
A;
B
x
y
v
v
A;
B
y
x
Сравнивая выражения, получаем условие КошиРимана.
62

63.

Достаточность:
Пусть функции u ( x, y ), v( x, y ) дифференцируемы
в точке (x, y) и пусть выполняются условия:
u v u
v
;
x y y
x
Тогда справедливы равенства (I), и, умножая
второе уравнения равенства (I) на i, и складывая
63

64.

с (I) получаем:
u i v A x B y i ( B x A y ) 1 ( ) x
2 ( ) y i 2 ( ) x i 1 ( ) y
f ( z ) ( A iB )( x i y ) 1 ( ) x 2 ( ) y
i 2 ( ) x i 1 ( ) y
f ( z ) ( A iB ) z 1 ( ) x 2 ( ) y i 2 ( ) x
i 1 ( ) y
64

65.

§ 10. Основные свойства производной.
Если
f1 ( z ) и f 2 ( z ) дифференцируемы в точке z0 ,
то:
1. Сумма и разность функций дифференцируема в
точке z0 f1 f 2 , причем ( f1 f 2 )' f1 ' f 2 '
2. f1 f 2 дифференцируема в точке z0 , причем
( f1 f 2 )' f1 ' f 2 f1 f 2 '
65

66.

f1
3.
при f 2 0 , дифференцируема в точке z0 и
f2
f1
f1 ' f 2 f1 f 2 '
2
f2
f2
4. Если функция f ( W ) дифференцируема в точке
W0 ( z0 ) а функция (z )
дифференцируема в
точке z0 , то сложная функция f ( ( z )) будет
дифференцируема в точке z0 , причем
[ f ( ( z ))]' f ' (W ) ' ( z )
66

67.

§ 11. Понятие аналитичности ФКП.
Пусть дана функция w = f ( z ) определенная на
некоторой открытой области D. Функция w = f ( z )
аналитична на открытой области D, если она
z D
дифференцируема в любой точке
.
Если функция аналитична на области, то у
функции существуют все производные любого
порядка на этой области.
67

68.

Замечание.
Если говорят, что функция f ( z ) аналитична в
точке z0 , то это равносильно утверждению, что
она дифференцируема в точке z0 и некоторой ее
окрестности.
Из аналитичности следует дифференцируемость в
точке. Из дифференцируемости не обязательно
следует аналитичность функции в точке.
68

69.

Свойства аналитичных функций:
если
f1 и f 2
аналитичны в области D, то:
1. f1 f 2 - аналитична в области D .
2. f1 f 2 - аналитична в области D .
f1
3. при условии, что f 2 0 аналитична в
f2
области D.
Аналитичные функции называют регулярными
функциями.
69

70.

§ 12. Элементарные функции комплексного
переменного.
Функция w
z , n N - степенная функция. Эта
n
функция определена на всей комплексной
плоскости z. Эта функция однозначна на всей
комплексной плоскости z, она аналитична на всей
комплексной области z, так как в любой точке
z D ( z n )' n z n 1
70

71.

Доказательство:
( z z ) z
( z )' lim
z 0
z
n(n 1) n 2
n 1
2
n
nz z
z z ... z
n 1
2
lim
nz
z 0
z
n
n
n
1
m
w m z или z , m N
Считаем, что функция:
1. Определена на части комплексной плоскости с
71

72.

вырезом по отрицательной части вещественной
оси, то есть : D{ arg z }
Вырез делается для того, чтобы существовал
арифметический корень.
2. Эта функция многозначная.
У функции можно выделить m-однозначных
ветвей, путей фиксирования k, в формуле
arg z 2
w z | z |e (
k ), k 0, 1 ... m 1
m
m
m
m
i
72

73.

Можно определить комплексную функцию
1
m n
w z (z )
m
n
как суперпозицию степенных
функций.
Эта функция будет определена на комплексной
плоскости с вырезом, многозначной на этой
плоскости с вырезом, у нее можно выделить
однозначную ветвь при фиксированном k. На
области с вырезом, все степенные функции
аналитичны, причем их производные находятся
73

74.

n
m
по формуле: ( z )' n z
n
1
m
m
Показательная функция
Показательная функция комплексного
переменного, для z x iy определяется
следующим образом: e e (cos y i sin y )
z
x
z
x
e
e
1. При z x i0 x имеем, что
z2
z2
z1 z 2
e
e
e
2.
74

75.

Доказательство:
z1 x1 iy1
z2 x2 iy 2
e e (cos y1 i sin y1 )
z1
=>
Перемножим e e
z1
x1
e e (cos y2 i sin y2 )
z2
x2
z2
e e e e (cos y1 i sin y1 )(cos y2 i sin y2 )
z1
e
z2
x1 x2
x1
x2
(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 )
i (sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )
e
x1 x2
def
(cos(y1 y2 ) i sin( y1 y2 )) e
z1 z2
75

76.

3. Функция аналитична во всей комплексной
плоскости, причем (e )' e
z
z
Доказательство:
e e (cos y i sin y ) e cos y ie sin y для
z
x
z x iy
x
x
u
v
Найдем частные производные
u
u
x
e cos y
e x sin y
x
y
v
x
e cos y
y
v
x
e sin y
x
76

77.

x
e cos y - непрерывна для x,y.
Частные производные непрерывны для x,y , как
произведение непрерывных функций. Значит
функции u и v – дифференцируемы:
u v u
v
;
x y y
x
То есть выполняются условия Коши-Римана. Тогда
функция f ( z ) дифференцируема в любой точке z в
силу теоремы «необходимое и достаточное
77

78.

условие дифференцируемости».
Следовательно, функция аналитична на всей
комплексной плоскости.
Покажем, что (e )' e
u v
z
x
x
Так как e f ' ( z )
e cos y ie sin y
x x
x
z
e (cos y i sin y ) e
4. В отличие от функции действительного
z
z
переменного, показательная функция комплексного
переменного – периодическая функция, с
78

79.

наименьшим периодом 2 i .
e
z 2 ik
(по свойству 2 ) e e
z
2 ik
e z ei 2 k e z (cos 2 k i sin 2 k ) e z
k 0 1 2
Показательная функция является однозначной.
Логарифмическая функция
Пусть дано к.ч. z x iy . Логарифмом к.ч.
называется к.ч. w u iv : e z .
w
Если каждому к.ч z x iy поставлено в
79

80.

соответствие к.ч. w u iv таким образом, что
e z , то говорят, что задана логарифмическая
w
функция w Lnz .
Логарифмическая функция w ln z определена в
комплексной области с вырезом по вещественной
оси.
1. D – область определенная ( arg z )
2. Найдем выражение для логарифмической
функции
80

81.

Так как w u iv e e (cos v i sin v) ,
w
u
тогда e z e (cos v i sin v)
w
u
| z | (cos(arg z ) i sin(arg z ))
Два к.ч. равны, когда e | z | (1), а аргументы
u
отличаются на 2 k : v arg 2 k ; k 0 1
Логарифмируя (1) имеем:
u ln | z |
v arg z 2 k , k 0 1
C учетом этого:
81

82.

w Lnz ln | z | i arg z 2 ik , k 0 1
Из формулы видно, что логарифмическая функция
неоднозначна, из нее можно выделить
однозначную ветвь фиксируя k.
Ветвь, полученная при k = 0 называется главным
значением логарифма.
ln z ln | z | i arg z; arg z
Ветвей у логарифмической функции бесчисленное
множество.
82

83.

Любая однозначная ветвь логарифмической
функции аналитична на области с вырезом.
Тригонометрические ФКП
По определению:
e e
cos z
2
iz
iz
e e
sin z
2i
iz
iz
1. Тригонометрические функции определены при
любом комплексном z.
2. При z = x, y = 0 они совпадают с обычными
83

84.

функциями действительного переменного.
cos z cos x; sin z sin x
3. Эти функции аналитичны во всей комплексной
плоскости, причем (cos z )' sin z ; (sin z )' cos z
Доказательство
e e
(sin z )'
2i
iz
iz
iz
(eiz )' (e iz )'
2i
e i e ( i ) e e
2i
2
iz
iz
iz
cos z
84

85.

sin z и cos z - 2 периодичны.
(cos z 2 k )
e
iz 2 ik
e
2
e
i ( z 2 k )
iz 2 ik
e
2
i ( z 2 k )
В силу 2 i – периодичности показательной
функции
e e
2
iz
iz
cos z
5. Функции комплексного переменного sin z, cos z
85

86.

обращаются в ноль только на действительной оси.
e e
cos z
2
iz
iz
Решим уравнение
eiz e iz
iz
iz
cos z 0
0 e e 0
2
iz
Все выражение умножим на e 0
e 2iz 1 0 e 2iz 1
Прологарифмируем полученное выражение
2iz ln( 1) ln( 1) i arg( 1) 2 ik
86

87.

Раскрывая получим
2iz i ( 2 k ), k 0 1 2
z
2
k , k 0 1
То есть косинус обращается в ноль только в точках
действительной оси.
Синус тоже обращается в ноль в точках
действительной оси.
6. Функции sin, cos действительного переменного
<1.
87

88.

Для ФКП это не так. | cos z |, | sin z | могут быть >1.
В комплексной области sin z и cos z могут
превышать 1.
iz
i ( x iy )
i ( x iy )
e e
e
e
cos z
2
2
eix e y e ix e y (cos x i sin x)e y (cos x i sin x)e y
2
2
cos x ch y sin x sh y
i
2
v
iz
88

89.

| cos z | cos x ch y sin x sh y
2
2
2
2
cos x, sin x - не могут быть >1.
ch y, sh y – могут быть >1, поэтому | cos z | 1
sin z может быть >1.
Для тригонометрической ФКП выполняются
следующие тригонометрические тождества
cos 2 z sin 2 z 1 ( по определению)
2 sin z cos z sin 2 z
cos 2 z sin 2 z cos 2 z
89

90.

cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
Тригонометрические функции являются
однозначными.
Общепоказательные и общестепенные
функции.
Определение.
Для любого комплексного числа a и переменной z,
комплексная функция, определенная как a e
z
zLna
называется общепоказательной функцией.
90

91.

z e
a
aLnz
- общестепенная функция.
Эти функции определены на комплексной
плоскости с вырезом по отрицательной части
действительной оси, являются многозначными
функциями. Значения их находятся по
приведенным выше формулам.
91

92.

Можно определить:
z
sin z
e e
tg z
ch z
cos z
2
z
z
cos z
e e
ctg z
sh z
sin z
2
z
Обратные тригонометрические функции.
Если каждому комплексному числу z поставлено в
соответствие комплексное число w:
cos w z (sin w z )
то комплексное число w называется
92

93.

arccos z (arcsin z ) и обозначается
w Arc cos z (w Arc sin z )
Определение. (обратных тригонометрических
функций)
Функции Arc cos z и Arc sin z определяются как
обратные функции cos z и sin z соответственно,
то есть : w Arc cos z , если z cos w
w Arc sin z , если z sin w
Пусть w Arc cos z , тогда по определению
93

94.

e e
z cos w, то z
2
iw
iw
Или умножая обе части равенства на 2e
iw
и, перенося все слагаемые в левую часть,
получаем:
e
2iw
e
2iw
1 0
e z z 1
iw
2
1
2
2
w Ln ( z z 1) iLn ( z z 1)
i
94

95.

Из формулы следует, что Arc cos z - функция
бесконечнозначная.
95