Предел и непрерывность функции двух переменных

1.

Число А называется пределом функции
z=f(x,y) при x x0 и y y0
если для любого,даже сколь угодно
малого числа ε>0, найдется такое
положительное число δ, что для всех
точек (х,у), отстоящих от точки
(х0,у0) на расстояние ρ>δ, выполняется
неравенство:

2.

f ( x, y) A
lim f ( x, y) A
x x0
y y0

3.

Вычислить предел функции,
когда оба аргумента
стремятся к нулю.
f ( x, y )
ln( 1 x 2 y 2 )
x2 y2

4.

x y
2
ln( 1 x y )
2
lim
x 0
y 0
lim
0
x y
2
2
2
ln( 1 2 )
при
2
x 0 y 0
0
1
0
lim
2 0
2
0 0 1

5.

Вычисление пределов функции одной
переменной является менее сложной
задачей, чем вычисление пределов
функции двух переменных.
Это происходит потому, что на
прямой всего два направления, по
которым
аргумент
может
стремиться к предельной точке
(справа и слева), а на плоскости
таких
направлений
бесконечно
много и пределы функций по
разным направлениям могут не
совпадать.

6.

Функция z=f(x,y) называется непрерывной
в точке (х0,у0), если она
1
Определена в точке (х0,у0)
2
Имеет конечный предел при
3
Этот предел равен значению
функции в точке (х0,у0)
x x0
и
y y0

7.

lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
x x0
y y0