Ряд Фурье

1.

Для
тригонометрического
ряда,
как
и
для
степенного ряда, можно
установить
условия
разложения функций.

2.

Если
функция
y=f(x)
интегрируема
на
отрезке
[-П,П]
и
разлагается
в
a0
f ( x) (an cos nx bn sin nx)
тригонометрически
2
й ряд n 1
который
можно
интегрировать
почленно
при
умножении
его
на
ограниченную
3

3.

Для
определения
коэффициентов
разложения
будем
использовать
ортогональность
системы
тригонометрических
функций.
Проинтегрируем
(3)
на
отрезке [-П,П].
Все
интегралы,
кроме

4.

a0
(an cos nx bn sin nx) dx
f ( x)dx 2
n 1
a0
dx (an cos nx bn sin nx)dx
2
n 1
0
1
1
a0 dx a0 x a0
2
2
a0
1
f ( x)dx

5.

Для
определения
коэффициентов
an
и
bn
последовательно
умножим обе части (3) на
сначала на cos(nx), а потом
на sin(nx) и проинтегрируем
на отрезке [-П,П].
Все интегралы в правой
части, кроме содержащих
квадраты этих функций,
равны нулю.
Полученные
формулы
будут
определять
единственным
образом

6.

f ( x) cos nxdx a cos
n
2
nxdx an
an
1
f ( x) cos nxdx
f ( x) sin nxdx bn sin 2 nxdx bn
bn
1
f ( x) sin nxdx

7.

ункции f(x), интегрируемой на отр
[-П,П] числа a0, an, bn называются
эффициентами ряда Фурье, а ряд
тими коэффициентами называет
рядом Фурье функции f(x).

8.

Для
определения
сходимости ряда Фурье
вводится
понятие
периодического
продолжения
функции,
заданной
на отрезке
ия F(x),
определенная
на всей чис
[-Т,Т].
ериодическая
с периодом Т, явл
одическим продолжением функц
если F(x)=f(x) на отрезке [-П,П].

9.

и ряд Фурье сходится к функции
резке [-П,П], то он сходится на вс
словой прямой к ее периодическ
продолжению.

10.

Пусть
функция
y=f(x)
непрерывна
вместе
со
своей
производной
на
отрезке [-П,П], или они
имеют
на
этом
отрезке
конечное
число точек разрыва.
Тогда

11.

1
Фурье функции f(x) сходится на в
исловой прямой, и в каждой точк
епрерывности f(x) в интервале (-П
сумма ряда равна значению f(x)
в этой точке.

12.

2
каждой точке разрыва функции х
сумма ряда равна полусумме
сторонних пределов f(x) в этой т
1
lim f ( x) lim f ( x)
x x 0
2 x x 0

13.

3
На концах отрезка [-П,П]
сумма ряда равна
1
f ( ) f ( )
2

14.

4
я любой точки х, не принадлежащ
отрезку [-П,П] утверждения 1-3
праведливы для периодическог
продолжения F(x) функции f(x).