Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье

1.

Лектор Буганова С.Н.
Тригонометрическая система
функций. Ряды Фурье.
Разложение функций в ряд
Фурье. Формулировка условий
разложимости в случае
равномерной сходимости
Дисциплина Математика 2
Лекция 10

2. План лекции

1. Ряды Фурье: основные понятия.
2. Ряды Фурье для четных и нечетных
функций.
3. Примеры.

3.

Для тригонометрического ряда, как
и для степенного ряда, можно
установить условия разложения
функций.
Если функция y=f(x) интегрируема
на отрезке [-П,П] и
разлагается в
a0
тригонометрический
ряд
f ( x)
2
(an cosnx bn sin nx)
n 1
который можно интегрировать
почленно при умножении его
на ограниченную функцию, то
это разложение единственно.
1

4.

Для определения
коэффициентов
разложения будем
использовать
ортогональность
системы
тригонометрических
функций.
Проинтегрируем (1) на
отрезке [-П,П].

5.

a0
(an cos nx bn sin nx) dx
f ( x)dx 2
n 1
a0
dx (an cos nx bn sin nx)dx
2
n 1
0
1
1
a0 dx a0 x a0
2
2
a0
1
f ( x)dx

6.

Для определения
коэффициентов an и bn
последовательно
умножим обе части (1) на
сначала на cos(nx), а потом
на sin(nx) и проинтегрируем
на отрезке [-П,П].
Все интегралы в правой
части, кроме содержащих
квадраты этих функций,
равны нулю.
Полученные формулы
будут определять
единственным образом

7.

f ( x) cos nxdx a cos
n
2
nxdx an
an
1
f ( x) cos nxdx
f ( x) sin nxdx bn sin 2 nxdx bn
bn
1
f ( x) sin nxdx

8.

я функции f(x), интегрируемой на отрез
[-П,П] числа a0, an, bn называются
коэффициентами ряда Фурье, а ряд (1) с
этими коэффициентами называется
рядом Фурье функции f(x).

9.

Для определения сходимости
ряда Фурье вводится понятие
периодического продолжения
функции, заданной на отрезке
[-Т,Т].
кция F(x), определенная на всей число
и периодическая с периодом Т, являе
риодическим продолжением функции
если F(x)=f(x) на отрезке [-П,П].

10.

ряд Фурье сходится к функци
езке [-П,П], то он сходится на
овой прямой к ее периодиче
продолжению.

11.

Пусть функция y=f(x)
непрерывна вместе со
своей производной на
отрезке [-П,П], или они
имеют на этом отрезке
конечное число точек
разрыва.
Тогда

12.

1
яд Фурье функции f(x) сходится на все
числовой прямой, и в каждой точке
непрерывности f(x) в интервале (-П,П]
сумма ряда равна значению f(x)
в этой точке.

13.

2
В каждой точке разрыва функции х /
сумма ряда равна полусумме
носторонних пределов f(x) в этой точк
1
lim f ( x) lim f ( x)
x x 0
2 x x 0

14.

3
На концах отрезка [-П,П]
сумма ряда равна
1
f ( ) f ( )
2

15.

4
Для любой точки х, не принадлежащей
отрезку [-П,П] утверждения 1-3
справедливы для периодического
продолжения F(x) функции f(x).

16.

Для четных и нечетный функций разложение в
ряд Фурье существенно упрощается.

17.

Пусть функция f(x) определена и является
нечетной на отрезке [-П,П]:
f ( x) f ( x)
Найдем коэффициенты разложения:
an
1
0
1
f ( x) cos nxdx
1
f ( x) cos nxdx f ( x) cos nxdx
0

18.

В первом интеграле делаем замену:
x t
dx dt
x2 t2
x1 0 t1 0
1
1
0
f ( x) f (t )
1
f (t ) cos ntdt f ( x) cos nxdx
0
1
f ( x) cos nxdx f ( x) cos nxdx 0
0
0
an 0

19.

Тогда
bn
1
0
1
f ( x) sin nxdx
1
f ( x) sin nxdx f ( x) sin nxdx
0
x t
x1 0 t1 0
dx dt
f ( x) f (t )
x2 t2

20.

1
0
1
f (t ) sin ntdt f ( x) sin nxdx
0
1
1
f ( x) sin nxdx f ( x) sin nxdx
0
0
2
bn
f ( x) sin nxdx
0
2
f ( x) sin nxdx
0

21.

Таким образом, нечетная на отрезке
[-П,П] функция f(x) будет
разлагаться в ряд Фурье
следующим образом:
f ( x) bn sin nx
n 1

22.

Пусть функция f(x) определена и является
четной на отрезке [-П,П]:
f ( x) f ( x)
Найдем коэффициенты разложения:
bn
1
0
1
f ( x) sin nxdx
1
f ( x) sin nxdx f ( x) sin nxdx
0

23.

В первом интеграле делаем замену:
x t
dx dt
x2 t2
x1 0 t1 0
1
1
0
f ( x) f (t )
1
f (t ) sin ntdt f ( x) sin nxdx
0
1
f ( x) sin nxdx f ( x) sin nxdx 0
0
0
bn 0

24.

Тогда
an
1
0
1
f ( x) cos nxdx
1
f ( x) cos nxdx f ( x) cos nxdx
0
x t
x1 0 t1 0
dx dt
f ( x) f (t )
x2 t2

25.

1
0
1
f (t ) cos ntdt f ( x) cos nxdx
0
1
1
f ( x) cos nxdx f ( x) cos nxdx
0
0
2
an
f ( x) cos nxdx
0
2
f ( x) cos nxdx
0

26.

Таким образом, четная на отрезке
[-П,П] функция f(x) будет
разлагаться в ряд Фурье
следующим образом:
a0
f ( x)
an cos nx
2 n 1

27.

1
Разложить в ряд Фурье функцию
f ( x) x

28.

Данная функция удовлетворяет всем условиям
теоремы о разложении функции в ряд Фурье.
Она является нечетной на отрезке [-П,П],
поэтому
an 0
bn
2
2
f ( x) sin nxdx x sin nxdx
0
0

29.

Интеграл берем по частям:
u x
du dx
dv sin nxdx
1
v cos nx
n
2 1
1
x cos nx cos nxdx
n
n0
0
2
1
2
n 1
n
1
( 1) sin nx ( 1)
n
n
n
0
0

30.

Тогда ряд Фурье для данной функции будет
иметь вид:
n 1
n 1
x bn sin nx 2 ( 1)
n 1,2,3...
n 1
sin nx
n

31.

2
Разложить в ряд Фурье функцию
f ( x) x
2

32.

Данная функция удовлетворяет всем условиям
теоремы о разложении функции в ряд Фурье.
Она является четной на отрезке [-П,П], поэтому
bn 0
При n=0:
a0
2
0
2
3
2 x
f ( x)dx x dx
0
3
2
0
2
3
2

33.

При n=1, 2, 3…:
an
2
2
f ( x) cos nxdx x
0
2
cos nxdx
0
Интеграл берем по частям:
u x
2
du 2 xdx
dv cos nxdx
1
v sin nx
n

34.

2 1 2
2
x sin nx x sin nxdx
n
n
0
0
Оставшийся интеграл снова берем по частям:
u x
du dx
dv sin nxdx
1
v cos nx
n
2 1 2
2 1
1
x sin nx x cos nx cos nxdx
n
n
n
n
0
0
0
0

35.

4
1
n 4
2 x cos nx 0 2 sin nx ( 1) 2
n
n
n
0
0
Тогда ряд Фурье для данной функции будет
иметь вид:
2
a
2
n sin nx
0
x
an cos nx
4 ( 1)
2
2 n 1
3
n
n 1

36.

Задания на СРС
Преобразование Фурье Разложите в ряд
элементарные функции [ 1,3].
Решение задач по теме [ 2. ИДЗ – 12.3 ].
Задания на СРСП
1. Интегралы (преобразования) Фурье
[1, 3].

37.

Глоссарий
№
Қазақша
Русский
English
1.
Тригонометриялық қатар Тригонометрический ряд
Trigonometrical row
2.
Фурье қатары
Ряд Фурье
Fourier's rowr
3.
Фурье коэффициенттері
Коэффициенты Фурье
Fourier's coefficients
4.
Жұп функция
Четная функция
Even function
5.
Тақ функция
Нечетная функция
Odd function
6.
Периодты функция
Периодическая функция
Periodic function

38.

Литература
Основная:
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисления. М. 2006.
2. Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике:
Учеб. пособие в 4 частях / Под общей редакцией А.П.
Рябушко. - Мн.: Выш. шк., 2011, часть 3.
Дополнительная:
3. Власова Е.А. Ряды: учебник для вузов /Под ред.
Зарубина В.С., Крищенко А.П.. – 3-е изд. –М.:МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 2006. – 616 с.