Степенные ряды

1.

2.

Рассмотрим ряды, членами которых являются не
числа, а функции, определенные на некотором
множестве.
Такие ряды называются функциональными.
Будем рассматривать степенные ряды, членами
которых являются степенные функции.

3.

Степенным называется ряд
C0 C1 x C2 x ... Cn x ...
2
n
1
Числа С0…Сn называются
коэффициентами степенного ряда.

4.

При разных значениях х будут получаться разные
числовые
ряды,
которые
могут
быть
сходящимися или расходящимися.
Совокупность значений х, при которых
степенной ряд (1) сходится, называется
областью сходимости степенного ряда.

5.

Частичная сумма степенного ряда
S n C0 C1 x C2 x ... Cn x
2
n
будет функцией от переменной х .
Следовательно, последовательность частичных
сумм
является
функциональной
последовательностью и сумма ряда будет
зависеть от х. Она будет определена в области
сходимости ряда.

6.

Найти область сходимости степенного
ряда
1 x x ... x ...
2
n

7.

Данный
ряд
можно
геометрический при
рассматривать
q x
который сходится при
1 x 1
q x 1
Т.е. областью сходимости будет интервал
( 1, 1)
как

8.

1
Если степенной ряд сходится при
x x0 0
то он сходится, и при том
абсолютно, при всех значениях
х, таких что
x x0

9.

2
Если степенной ряд расходится при
x x1
то он расходится при всех
значениях х, таких что
x x1

10.

1
x x0 0
По условию ряд (1) сходится при
Следовательно
выполняется
признак сходимости:
необходимый
lim un lim Cn x 0
n
n
Поэтому последовательность
n
0
Cn x
n
0

11.

ограничена, т.е. существует такое число М>0, что
для всех n выполняется неравенство:
Cn x M
n
0
(2)
Рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных
величин ряда (1):
C
n 0
n
x
n
0
Запишем его в виде:
2
n
x
x
x
2
n
C0 C1 x0
C2 x0
... Cn x0
...
x0
x0
x0

12.

Согласно неравенству (2), члены этого ряда
меньше членов ряда
2
n
x
x
x
M M
M
... M
...
x0
x0
x0
который можно рассматривать как сходящийся
геометрический ряд при
x
q
1
x0
x x0
Следовательно по признаку сравнения заданный
ряд тоже сходится.

13.

2
По условию ряд (1) расходится при x x1
Покажем, что он будет расходится для всех х,
таких что x x1
Предположим от противного, что при x x1
ряд сходится. Тогда, по доказанному выше, он
должен сходится и при x x1
Что противоречит условию, следовательно ряд
будет расходится при x x1

14.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое
число
R 0
что при
x R ряд сходится;
при
x R ряд расходится.
R
R
x

15.

Если степенной ряд сходится не только
при х=0, то существует такое
положительное число R (возможно и
бесконечное), что ряд абсолютно сходится
в интервале (-R,R) и расходится
везде вне этого интервала.

16.

Пусть Х – множество точек х, в которых ряд (1)
сходится. По условию теоремы это множество не
пустое. Покажем, что оно ограничено.
Пусть х1 – точка, где ряд расходится.
Тогда по теореме Абеля для любого х выполняется
условие:
x x1
Значит у этого множества существует верхняя
грань R >0, поскольку ряд сходится не только
при х=0.

17.

Если не существует такой точки х1, где ряд
расходится, то
R
и тогда множество Х не ограничено.
Пусть х – любе число, удовлетворяющее условию
x R
или
R x R
Тогда по теореме Абеля при этих значениях х
имеет место абсолютная сходимость ряда (1).

18.

Пусть теперь х – любе число, удовлетворяющее
условию
x R
если
R
Такие значения х находятся вне промежутка
сходимости Х и в этих точках ряд (1) расходится.

19.

Число R называется радиусом сходимости,
а интервал (-R,R) – интервалом
сходимости степенного ряда.
На концах интервала сходимости при x R
ряд может как сходиться, так и расходиться.
Найдем выражение для радиуса сходимости
степенного ряда через его коэффициенты.
Рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных
величин членов ряда (1):
C0 C1 x C2 x ... Cn x ...
2
n

20.

Коэффициенты этого ряда, по крайней мере,
начиная с некоторого номера, отличны от нуля.
По признаку Даламбера ряд будет сходится, если
n 1
un 1
Cn 1 x
lim
lim
n u
n C x n
n
n
Cn 1
x lim
1
n C
n
Cn
x lim
n C
n 1
Если этот предел существует, то он и
является радиусом сходимости ряда.

21.

Cn
R lim
n C
n 1

22.

Найти область сходимости степенного
ряда
2x
4x2
2n x 2
1 2
...
...
3 3 52 32
(2n 1) 2 3n

23.

n 1
Cn
2
(2n 3) 3
R lim
lim
n 1
2
n
n C
n
2
(2n 1) 3
n 1
n
2
3
(2n 3)
3
lim
2
2 n (2n 1)
2
2
Интервал сходимости ряда
3 3
;
2 2

24.

Выясним поведение ряда на концах интервала.
При
3
x
2
ряд принимает вид:
1
1
1
n
1 2 2 ... ( 1)
...
2
3 5
(2n 1)
Это
знакочередующийся
ряд.
выполнение признака Лейбница:
Проверяем

25.

1
Члены ряда убывают по абсолютной величине:
1
1
1
1 2 2 ...
...
2
3
5
(2n 1)
2
Предел общего члена равен нулю:
( 1)
lim
0
2
n (2n 1)
n
Ряд сходится.

26.

При
3
x
2
ряд принимает вид:
1 1
1
1 2 2 ...
...
2
3 5
(2n 1)
Это обобщенный гармонический ряд при
2
у которого все члены с четными номерами
равны
нулю.
Данный
ряд
является
сходящимся.
3 3
;
Область сходимости ряда
2 2