Функциональные и степенные ряды

1. Функциональные и степенные ряды

Функциональные ряды
Степенные ряды
Сходимость степенных рядов
Свойства степенных рядов
1/18

2. Функциональные ряды

2/18
Функциональные ряды
Пусть задана бесконечная последовательность функций,
определенных в области D:
U1( x ); U2 ( x ); U3 ( x ) Un ( x )
Выражение вида:
U1( x ) U 2 ( x ) U3 ( x ) ... U n ( x ) ... U n ( x )
называется функциональным рядом.
(1)
n 1
Если в выражении (1) положим x = x0, то получим некоторый
числовой ряд:
U1( x0 ) U 2 ( x0 ) U3 ( x0 ) ... U n ( x0 ) ... U n ( x0 )
n 1
(2)

3. Функциональные ряды

3/18
Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0,
если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой
x = x0, является сходящимся рядом. При этом x0 называется
точкой сходимости ряда.
Множество всех точек сходимости функционального
называется областью сходимости данного ряда.
ряда
Обозначим область сходимости ряда - Ds.
Как правило, область Ds не совпадает с областью D, а является
ее частью:
Ds D

4. Функциональные ряды

4/18
Функциональные ряды
Пример
Найти область сходимости функционального ряда:
ln x ln 2 x ... lnn x ... ln n x
n 1
Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии
со знаменателем q = ln x
Такой ряд сходится, если
q 1
ln x 1
1 ln x 1 1 e x e
Область определения функций lnnx:
Поэтому:
Ds D
Область сходимости
ряда - Ds
D:
x 0

5. Функциональные ряды

5/18
Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки области
сходимости, следовательно сама является некоторой функцией от х:
f ( x ) U1( x ) U2 ( x ) U3 ( x ) ... Un ( x ) ...
Ряд (1) сходится к
функции f(x)
Для функции f(x) имеет
место разложение
Область определения этой функции совпадает с областью
сходимости ряда Ds.
Пример
Дан ряд:
n
2
n
x
1
x
x
...
x
...
n 0
Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым
членом b1 = 1 . Имеет место разложение:
По формуле:
1
b
1 x x 2 ... x 1
S 1
q 1
1 x
1 q

6. Функциональные ряды

6/18
Функциональные ряды
Как и в случае числовых рядов для функционального ряда (1)
можно составить последовательность частичных сумм:
U1( x ) U2 ( x ) U3 ( x ) ... Un ( x ) Un 1( x ) Un 2 ( x )...
S1(x)S2(x)
Тогда:
Sn(x)
f ( x ) lim Sn ( x )
n
rn(x)
для любых x из области сходимости.
rn ( x ) Un 1( x ) Un 2 ( x ) ...
Таким образом:
При
n
- n -й остаток ряда.
f ( x ) Sn ( x ) rn ( x )
rn ( x ) 0
f ( x ) Sn ( x )

7. Степенные ряды

7/18
Степенные ряды
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях
особую роль играет ряд, членами которого являются степенные
функции аргумента x, то есть так называемый степенной ряд.
n
2
n
a
x
a
a
x
a
x
...
a
x
...
n
0
1
2
n
(1)
n 0
где а0, а1 ,а2 ,…, аn , - постоянные числа – коэффициенты
степенного ряда.
Ряд (1) расположен по степеням x.
Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням
(x - x0), то есть ряд вида:
n
2
n
a
(
x
x
)
a
a
(
x
x
)
a
(
x
x
)
...
a
(
x
x
)
... (2)
n
0
0
1
0
2
0
n
0
n 0
Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x - x0 = z, поэтому при
изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1).

8. Сходимость степенных рядов

8/18
Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0:
a0 a1 0 a2 02 ... an 0n ... a0
Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя
из следующей теоремы:
Теорема Абеля
1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении
x x0 0
то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых
выполняется условие:
x x0
2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении
x x0 0
то он расходится при любом значении x при котором:
x x0

9. Сходимость степенных рядов

9/18
Сходимость степенных рядов
Из теоремы Абеля следует, что существует такая точка
интервал:
x
0
x0 ,что
; x0
весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого
интервала ряд расходится.
ряд расходится
ряд сходится
x0
x0
x0
x0 R
интервал сходимости можно записать в виде :
Интервал x0 ;
степенного ряда.
Положив
(-R; R).
0
ряд расходится
называют интервалом сходимости
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

10. Сходимость степенных рядов

10/18
В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то
считаем R = 0.
Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то
считаем R
На концах интервала сходимости, то есть при x = - R и при x = R
сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей
членов данного степенного ряда
a0 a1x a2 x 2 ... an x n ...
и применим к нему признак Даламбера.
Допустим существует предел:
an 1
an 1x n 1
U n 1
x lim
0
lim
lim
n
n a
n U
n a x
n
n
n

11. Сходимость степенных рядов

11/18
По признаку Даламбера ряд сходится, если:
an 1
x lim
1
n a
n
1
x
an 1
lim
n a
n
an
x lim
n a
n 1
Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен:
an
R lim
n a
n 1
Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что
1
R
lim n an
n

12. Сходимость степенных рядов

12/18
Замечания
1
Если
an 1
lim
0
n a
n
, то можно убедиться, что ряд
сходится на всей числовой оси, то есть
2
R .
Интервал сходимости степенного ряда (2):
n
a
(
x
x
)
n
0
n 0
находят из неравенства
3
x x0 R
Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан
неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят
без определения радиуса сходимости, а непосредственно
применяя признаки Даламбера или Коши для ряда,
составленного из модулей членов данного ряда.

13. Сходимость степенного ряда

13/18
Сходимость степенного ряда
Пример 1
Найти область сходимости степенного ряда :
Найдем радиус сходимости по формуле:
1
an
n!
xn
n 1 n!
an
R lim
n a
n 1
1
1
an 1
n 1 ! (n 1)n!
(n 1)n!
R lim
lim (n 1)
n
n
n!
Следовательно,
значениях х.
ряд
сходится
при
всех
действительных

14. Сходимость степенного ряда

Пример 2
14/18
Найти область сходимости степенного ряда :
2n 1
x3 x5 x7
x
x
( 1)n 1
3
5
7
2n 1
n 1
Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера:
2 n 1
x
U n ( 1)n 1
2n 1
2 n 1 1
2n 1
x
x
Un 1 ( 1)n 2
( 1)n 2
2 n 1 1
2n 1
U n 1
( 1)n 2 x 2n 1
2n 1
x 2 (2n 1)
lim
lim
lim
n 1 2n 1
n U
n
n
2n 1
( 1) x
2n 1
n

15. Сходимость степенного ряда

1
2
2
n
1
n x2
x 2 lim
x 2 lim
n 2n 1
n
1
2
n
Ряд абсолютно сходиться, если
x2 1
1 x 1
Исследуем поведение ряда на концах интервала:
При х = -1 имеем ряд:
1 1 1
1
3 5 7
1
lim
0
n 2n 1
1 1 1
( 1)n
1
3 5 7
n 1 2n 1
Ряд сходится по
признаку Лейбница
15/18

16. Сходимость степенного ряда

16/18
Сходимость степенного ряда
При х = 1 имеем ряд:
1 1 1
( 1)n 1
1
3 5 7
n 1 2n 1
Ряд также сходится по признаку Лейбница.
Следовательно областью сходимости исходного ряда является
отрезок [-1; 1]
Пример 3
Найти область сходимости степенного ряда :
n 2
n 1
Найдем радиус сходимости по формуле:
1
an
n 2n 1
1
an 1
n 1 2n
an
R lim
n a
n 1
x 2
n
n 1

17. Сходимость степенного ряда

17/18
Сходимость степенного ряда
n 1 2n
R lim
n
n 2n 1
1
n 1
2 lim 1 2
2 lim
n
n
n
n
Ряд абсолютно сходиться при
2 x 2 2
4 x 0
Исследуем поведение ряда на концах интервала:
При х = -4 имеем ряд:
n 1
4 2
n
n 2
n 1
n 1
1 n 2n
n 2
n 1
1 n
n 1
n
2
1
сходится по
lim 0 ряд
признаку Лейбница
n n
n
n
1 - расходится
2
0 2
2
При х = 0 имеем ряд:
n
1
n 1
n 1 n
n
2
n 1 n 2
n 1
1 1 1
1 ;
2 3 4
Следовательно областью сходимости исходного ряда является
интервал [-4; 0)

18. Свойства степенных рядов

18/18
1
Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в
интервале сходимости (-R; R).
2
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно
дифференцировать, при этом для ряда:
S( x ) a0 a1x a2 x 2 ... an x n ... (1)
При –R < x < R выполняется равенство:
S ( x ) a1 2a2 x 3a3 x 2 ... nan x n 1 ... (2)
3
Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом
отрезке, расположенном внутри интервала сходимости, при этом
для ряда (1) выполняется равенство:
x2
x3
x n 1
S( x )dx a0 x a1 2 a2 3 ... an n 1 ... (3)
Ряды (2) и (3) имеют тот же интервал сходимости, что и
исходный ряд (1).