Дифференциальные уравнения и ряды. Степенные ряды

1. Дифференциальные уравнения и ряды

Лекция 11

2.

§5. Степенные ряды
Среди функциональных рядов особую роль играют
степенные ряды, т.е. ряды, членами которых являются
степенные функции:
Числа a0, a1, a2,…an называют коэффициентами ряда.
С помощью замены х − х0 = t ряд (2) приводится к виду (1).
Поэтому при изучении степенных рядов достаточно
рассмотреть ряды первого вида.
2

3.

Область сходимости степенного ряда всегда содержит,
по крайней мере, одну точку х = 0 для ряда (1) и
х = х0 для ряда (2).
Теорема Абеля.
Если степенной ряд (1) сходится при некотором
значении х0 0, то он абсолютно сходится при всех
значениях таких х, что |x| < |x0|.
Следствие.
Если ряд (1) расходится при некотором значении x = х1,
то он расходится для всех таких х, что |x| > |x1|.
3

4.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое
число R ≥ 0, что при |x| < R ряд (1) сходится,
а при |x| > R – расходится.
Число R называют радиусом сходимости
степенного ряда, а интервал (− R; R) – интервалом
сходимости ряда (1).
На концах интервала сходимости, т.е. при x = R, ряд
может как сходиться, так и расходиться.
4

5.

Замечания:
1. При R = 0 степенной ряд (1) сходится только в
одной точке х = 0.
При R = ∞ ряд сходится на всей числовой оси.
2. Интервал сходимости степенного ряда (2) находят
из неравенства |x − x0 | < R;
он имеет вид: (x0 − R; x0 + R).
3. Интервал сходимости удобно находить, применяя
признак Даламбера или радикальный признак Коши
для ряда из модулей, при этом радиус сходимости
5

6.

Пример 1. Найти область сходимости ряда
Решение.
Запишем соответствующий абсолютный ряд и
применим к нему признак Даламбера:
( 1)
n 0
n
x
2 n 1
4
n
n 0
x
2 n 1
4
n
.
2
2 n 3
2
2 n 3
2 n 1
n
4
x
x
x
x
x2
un 1
.
lim
lim n 1 : n lim n 1 2 n 1 lim
n 4
n 4 x
n un
n 4
4
4
x2
1.
По признаку Даламбера ряд сходится, если
4
2
x
4 x 2 2 x 2.
Решаем неравенство:
6

7.

Проверим крайние точки интервала сходимости x 2
un 1
1, поэтому признак Даламбера
(в этих точках lim
n un
ответа о сходимости не дает).
При х = 2 получим
2 n 1
2n
(
2)
(
2)(
2)
n 1
n
n
(
1)
2
(
1)
(
1)
n
n
4
4
n 0
n 0
n 0
знакочередующийся ряд, который расходится по
достаточному условию расходимости (общий член ряда
не стремится к 0).
Аналогично, при х = 2 получаем ряд
2 n 1
2n
2
2
2
n
n
n
(
1)
(
1)
(
1)
2, который тоже
n 0
4n
расходится.
n 0
4n
n 0
7

8.

Таким образом, областью сходимости данного ряда
является интервал ( 2, 2), причем ряд сходится
абсолютно во всех точках этого интервала.
8

9.

Пример 2. Найти область сходимости ряда
В предыдущем примере ряд содержал только нечетные
степени х, поэтому при нахождении области
сходимости использовали признак Даламбера.
Здесь имеем ряд вида (2) и для него рационально
находить радиус сходимости (см. замечание №3) по
коэффициентам ряда, а не применять признак на
прямую к общему члену ряда.
Решение.
an
,
Найдем радиус сходимости ряда по формуле R lim
n an 1
где an коэффициент ряда при степени n.
1
1
.
В нашем случае an 2 n , an 1
2 n 1
n 2
(n 1) 2
9

10.

1
1
(n 1) 2 2n 1
Тогда R lim 2 n :
lim
2
n
1
2
n
n n 2
(n 1) 2 n
n 2
(n 1)2 2
lim
2.
2
n
n
Интервал сходимости: x0 R, x0 R 3 2, 3 2 1, 5 .
Проверим сходимость в крайних точках интервала.
(5 3) n 1
При х = 5 получим 2 n 2 обобщенный
n 1 n 2
n 1 n
гармонический ряд с = 2, который сходится.
(1 3)n ( 1) n
При х = 1 получим 2 n 2
n 1 n 2
n 1 n
знакочередующийся ряд, который сходится абсолютно (т.к.
сходится соответствующий ряд из абсолютных величин).
10

11.

( x 3) n
Таким образом, областью сходимости ряда 2 n
n 1 n 2
является отрезок [1, 5], причем во всех точках отрезка
ряд сходится абсолютно.
Задание для самоконтроля
Найти область сходимости ряда
xn
.
n 1 (2 n )!
11

12.

Равномерная сходимость степенного ряда
Ґ
Пусть е an x n сходится к S(х) на Х = (−R; R). Возьмем
n= 0
х1 Х. Тогда ряды
Для всех х, |x| |x1| ряд
и
сходятся.
является мажорантой.
По признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно
сходится на [−|x1|; |x1|].
Таким образом, всякий степенной ряд, сходящийся на
интервале (−R; R), равномерно сходится на любом
отрезке, вложенном в интервал сходимости.
12

13.

Свойства равномерно сходящихся степенных рядов:
1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной
функцией в интервале сходимости.
2. Степенной ряд можно почленно интегрировать в
интервале сходимости:
(−R < a < t < R).
3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в
интервале сходимости:
После интегрирования и дифференцирования
полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.
13

14.

§ 6. Разложение функций в степенные ряды
Для функции f(x), имеющей производные до (n+1)-го
порядка включительно в окрестности точки x0,
справедлива формула Тейлора:
где
член.
остаточный
14

15.

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в
окрестности точки x0 и остаточный член Rn(x) стремится
к нулю при n→∞, то из формулы Тейлора получим
разложение функции по степеням (x−x0), которое
называют рядом Тейлора:
n 0
f ( n ) ( x0 )
( x x0 ) n .
n!
При х0 = 0 получим разложение функции по степеням х,
которое называют рядом Маклорена:
n 0
f ( n ) (0) n
x .
n!
15

16.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = ex.
Решение.
Для ряда Маклорена х0 = 0.
Найдем значения функции f(x) и ее производных в этой
точке:
f(0) = 1, f e x f (0) 1, f e x f (0) 1, ...
Очевидно, что f ( n ) e x f ( n ) (0) 1, поэтому
n
2
n
x
x
x
ex 1 x
...
... .
2!
n!
n 0 n !
Радиус сходимости полученного ряда равен бесконечности
(проверить самостоятельно), поэтому ряд сходится на всей
числовой оси.
n
x
Таким образом, e x , где х R.
n 0 n !
16

17.

Для каждой из элементарных функций остаточный
член Rn(x) в формуле Тейлора стремится к нулю при
n→∞ в некотором интервале, т.е. функция разложима
в ряд Тейлора.
При разложении в ряд более сложных функций
используют разложения элементарных функций в ряд
Маклорена и свойства степенных рядов о почленном
дифференцировании и почленном интегрировании.
17

18.

Пример 2. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = хex в
окрестности x0 = 2.
Решение.
Точка x0 0, поэтому делаем замену х − х0 = х − 2 = t.
Тогда f(t) = (t + 2)et+2 = e2 (tet +2et).
Используем разложение показательной функции в ряд
Маклорена, полученное в примере 1:
n
n
n 1
n
t
t
t
t
2
2
f (t ) e t 2 e
2 .
n 0 n !
n 0 n ! n 0 n !
n 0 n !
Полученные ряды имеют слагаемые с одинаковой
степенью, поэтому их нужно объединить в один ряд.
Запишем слагаемые до n-ой степени и приведем
подобные:
18

19.

2
3
n
t
t
t
2
f (t ) e t ...
...
(n 1)!
1! 2!
n
n
2
n
t
2
t
2t 2t
2t
2
2
2
e
e
2
...
...
n!
1! 2!
n!
n 1 ( n 1)!
n
(
n
2)
t
2e2 e2
, t R.
n!
n 1
Делаем обратную замену и получаем искомое
разложение:
n
(
n
2)(
x
2)
f ( х) 2e2 e2
, x R.
n!
n 1
19

20.

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию
f(x) = arctg х.
Решение.
x
dt
Запишем функцию в виде f ( x) arctg х 2
t 1
0
и воспользуемся разложением
1
1 х x 2 ... ( 1) n x n ... ( 1) n x n , x 1, 1 .
1 х
n 0
1
n 2n
(
1)
t , t 1, 1 .
В нашем случае
2
1 t
n 0
Согласно свойствам степенной ряд можно почленно
интегрировать, поэтому
20

21.

x
x
n
2
n
1
( 1) t
n 2n
n 2n
f ( x) ( 1) t dt ( 1) t dt
n 0 2n 1
n
0
n
0
0
0
0
n 2 n 1
( 1) x
.
2n 1
n 0
x
Найдем область сходимости полученного ряда. Т.к. при
интегрировании радиус сходимости не изменился, то
интервал сходимости тоже не меняется х ( 1, 1).
Нужно проверить крайние
nточки этого интервала.
( 1)
знакочередующийся ряд.
При х = 1 получим
n 0 2 n 1
Соответствующий абсолютный ряд
( 1) n
1
1
2n 1 2n 1 n , поэтому расходится.
n 0
n 0
n 1
21

22.

Проверяем ряд на условную сходимость (по признаку
Лейбница):
1
1
, an 1
an an 1
1. an
2n 1
2n 3
1
0.
2. lim an lim
n
n 2n 1
Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому
( 1) n
ряд
сходится условно.
n 0 2 n 1
( 1)n 1
При х = 1 получим ряд
, который отличается
n 0 2 n 1
от предыдущего только знаком. Поэтому этот ряд тоже
сходится условно.
22

23.

( 1) n x 2 n 1
Таким образом, arctg x
, где х [ 1, 1].
2n 1
n 0
(В точках х = 1 ряд сходится условно, в остальных
точках отрезка ряд сходится абсолютно).
Домашнее задание
Записать разложения в ряд Маклорена основных
элементарных функций: ех, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x) ,
1
1
,
; указать область сходимости каждого ряда.
1 x 1 x
23