Geometrický význam integrálu

1. 13.přednáška určitý integrál

BRVKA
Jean Gaston Darboux
(1842 - 1917)

2. Geometrický význam integrálu

BRVKA
y
Geometrický význam integrálu je obsah plochy pod
grafem funkce, kterou integrujeme.
Plocha pod grafem funkce je ohraničena osou x,
grafem funkce a svislými přímkami v bodech a, b.
T3
T2
Pro přibližný výpočet můžeme plochu
rozdělit na úzké obdélníky a plochu
počítat jako jejich součet.
Čím budou obdélníky užší,
tím bude určení obsahu
b x plochy pod grafem přesnější.
0 a
Pokud se bude šířka obdélníků blížit nule, bude se jejich
součet limitně blížit obsahu plochy.
Určitý integrál chápeme jako limitu ze součtu obdélníků
při jejich limitně se zužující šířce.

3. Určitý integrál - definice

BRVKA
Definice: Určitý integrál
nezáporné funkce f(x) mezi
dvěma body a, b je roven ploše
obrazce omezeného přímkami
x = a, x = b, osou x a křivkou
definovanou grafem funkce f(x).
Značení:
b
a
f ( x)dx
Čteme: (Určitý) integrál funkce
f(x) od a do b.
a je DOLNÍ MEZ,
b je HORNÍ MEZ integrálu.
Poznámka: Určitý integrál není funkce, ale číslo.

4. Určitý integrál - výpočet

BRVKA
Určitý integrál budeme počítat podle vzorce:
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
a
Funkce F(x) je integrál (primitivní funkce) k f(x).
Návod: Zintegrujeme funkci f(x) a odečteme od sebe
funkční hodnoty v horní (b) a dolní (a) mezi.
2
4
4
x
2
1
3
x
1 dx 4 1 4 4 3,75
2
4

5. Určitý integrál - výpočet

BRVKA
Pokud řešíme integrál substitucí, musíme upravit i
integrační meze:
x2 1 t
2
x
2 xdx dt
dx
2
2
a
´
t
(
1
)
(
1
)
1
2
x 1
1
b´ t (2) 2 2 1 5
5
5
1
1
2 2t dt 2 ln t 2
1
1
1
ln 5 ln 2 ln 2,5
2
2
2
Úlohu dořešíme s proměnnou t, nedosazujeme zpět za x.
To bychom udělali pouze v případě, že by dopočítání nových
mezí bylo extrémně obtížné, a to se nám nestane.

6.

BRVKA
Věta: Při záměně mezí se mění znaménko určitého integrálu.
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
Věta: Pokud je číslo c z intervalu (a,b), platí:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
c

7. Určitý integrál - úlohy

BRVKA
2
2
2
sin
5
xdx sin x sin xdx 1 cos x sin xdx
4
0
0
cos x t
sin xdx dt
a´ cos 0 1
b´ cos
2
2
0
0
1 t
0
1
1 dt 1 t dt
2 2
0
1
5 1
2 3 t
1 2t t dt t t
5 0
3
0
1
2
2
4
2 3 05 8
2 3 15
1 1 0 0
5
3
5 15
3
2 2

8. Určitý integrál - grafy

BRVKA
Často je položena otázka na obsah plochy U mezi dvěma
křivkami danými grafy funkcí f(x) a g(x). Při využití určitého
integrálu řešíme podle vztahu:
b
U f ( x) g ( x) dx
a
Pokud se grafy funkcí protínají, nejsou většinou
zadány meze, ty dopočítáme jako průsečíky
grafů funkcí.
Pro funkce na obrázku by byly meze:
1
a = –3, b = 1
2
U
(
3
x
) 2 x dx
a počítali bychom integrál:
3

9.

BRVKA
Určete obsah plochy U ohraničený osou x a grafem funkce
f(x) = x2 – 6x + 8.
Nejdříve najdeme průsečíky funkce f(x) s osou x.
Určitý integrál počítáme z rozdílu f(x) a y = 0.
6 62 4.8
a 2, b 4
x 6 x 8 0 x12 a, b
2
2
4
2
4
x
x
x 6 x 8 dx 6. 8 x
2
3
2
2
3
2
4
U
3
3
2
43
4
3.4 2 8.4 3.2 2 8.2
3
3
3
Vyšla záporná hodnota, což je tím, že zkoumaná plocha je
pod osou x. Velikost plochy je samozřejmě kladná.

10.

BRVKA
Určete obsah plochy U ohraničený křivkami
x2 + y – 8 = 0 a 2x – y = 0.
Křivky nemají předpis ve tvaru funkce, nejprve je tedy
upravíme a najdeme jejich průsečíky.
y 8 x2
y 2x
2
2
8
x
4
8 x2 2x 0 x2 2x 8
2 22 4.8
x12 a, b
a 4, b 2
2 2
x3
x2
2 x dx 8 x 2.
3
2 4
23
( 4)3
2
8.2 2 8.( 4)
( 4) 2 36
3
3

11.

BRVKA
Objem rotačního tělesa, které vznikne
rotací křivky dané funkcí f(x) je možné
určit využitím určitého integrálu:
b
V f 2 ( x)dx
a
Příklad: Objem rotačního kužele:
Funkce f(x) je přímá úměrnost y = r/v.x
v
2
r
r
2
V x dx 2 x dx
v 0
v
0
2
3 v
r x
r 2 v3 1 2
2 2 . r v
v 3 0
v 3 3
v
2

12.

BRVKA
A to je pro dnešek vše,
děkuji za pozornost.