Статистические методы обработки медико-биологических данных. Нормальный закон распределения

1.

Статистические
методы обработки
медико-биологических
данных
Нормальный закон
распределения

2.

Тема: Статистические методы
обработки медико-биологических
данных
Нормальный закон распределения.
План лекции:
•Понятие случайных дискретных и
непрерывных величин.
•Распределения и характеристики
случайных величин.
•Нормальный закон распределения.
Кривая Гаусса и ее особенности.
Правило «трёх сигм».

3.

В медицине необходимо вести учет, анализ
и прогноз различных массовых явлений. В
целом, массовым явлениям присущи свои
особые закономерности. К доктору
обращаются пациенты с различными
заболеваниями. Болезнь конкретного
человека - случайное событие у врача. Но
случайные события предсказуемы,
например, в период эпидемии гриппа
наиболее часто встречаются заболевания
гриппом.

4.

Закономерности массовых
случайных событий статистических данных,
отражающих эти события, изучаются с помощью
математической статистики.

5.

Типичная задача математической
статистики - это приближенная
оценка неизвестной вероятности
случайного события по
результатам наблюдений,
экспериментов, когда событие
может происходить или не
осуществляться.

6.

Случайной величиной
называется переменная
величина, значение
которой зависит от исхода
некоторого испытания.
.
Дискретная
Непрерывная

7.

Дискретной называется
случайная величина, которая
может принимать значения
некоторой конечной или
бесконечной числовой
последовательности (число
слов в тексте, студентов в
аудитории, больных в
клинике...)

8.

Непрерывной называется
случайная величина,
которая может принимать
любые значения внутри
некоторого интервала
(масса, температура,
рост...)

9.

Дискретная ? или
Непрерывная?

10.

Статистический ряд – результаты измерений
для статистического исследования,
записанные последовательно по порядку их
получения. Удобнее представить в таблице.
Х1, Х2, Х3………Хn
Х1
…
…..
….
Х2,
…
…
…
Х3
…
…..
..
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
….
….
…
…
…
Хn

11.

Распределение дискретной
случайной величины
.
Дискретная случайная величина считается
заданной, если указаны ее возможные
значения и соответствующие им
вероятности

12.

Совокупность X и Р называется
распределением дискретной
случайной величины.
Дискретные X1 X2 X3 X4 X5 X6
случайные
величины xi
Вероятность pi P1 P2 P3 P4 P5 P6

13.

n – общее число случайных событий
Дискретные
случайные
величины xi
X1
X2
X3
…
…
Xn
Вероятность pi
P1
P2
P3
…
…
Pn

14.

Дискретные X1 X2 X3 X4 X5 X6
случайные
1 2 3 4 5 6
величины
xi
Вероятность pi P1 P2 P3 P4 P5 P6
1/6
n
p
i 1
i
1/6
1
1/6
1/6
1/6
условие
нормировки
дискретных
случайных
величин
1/6

15.

Различные распределения
1. Биномиальное
распределение
(позволяет определить
вероятность того, что
событие А произойдет m paз
при n испытаниях).

16.

2. Распределение Максвелла
(распределение молекул газа по
скоростям, кинетическим
энергиям). График - кривая
Максвелла.

17.

3. Распределение Больцмана
(распределение частиц по потенциальным
энергиям в силовых полях гравитационном, электрическом).
График - экспонента

18.

4. Нормальное распределение
(график - кривая Гаусса)

19.

5. Распределение Пуассона и
др. ...

20.

Нормальный закон распределения
имеет важное практическое
значение в естественных науках.
Оказывается, распределение
роста, массы новорожденных и
много других случайных событий
физической и биологической
природы описываются
нормальным законом
распределения и графически
иллюстрируются кривой Гаусса.

21.

Числовые характеристики
дискретных случайных
величин.

22.

1.Математическое ожидание
случайной величины есть сумма
произведений всех возможных ее
значений на вероятности этих
значений:
n
М ( х) xi pi
i 1
М ( х) х1 р1 х2 р2 .... хn pn

23.

2. Среднее арифметическое значение
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x4 ... ...mn xn
Х
n
mn
m1
x1 ... xn p1 x1 ... p n xn
n
n
n – число измерений
.

24.

Х
<Х>
Если n велико , то относительные частоты
m/n = р,
а среднее арифметическое значение
практически равно математическому
ожиданию.
<Х> = М(х)
Математическое ожидание часто
отождествляют со средним значением

25.

3. Дисперсия случайной
величины – это математическое
ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее
математического ожидания;
D( x) M ( x ) [M ( x)]
2
D( x) M x M ( x)
2
2

26.

Дисперсия характеризует
рассеяние случайных
величин относительно
математического ожидания.
120
120
125
130
150
180

27.

Размерность дисперсии квадрат размерности
случайной величины, поэтому
введена величина
D(x)
4. σ - среднеквадратическое
отклонение, которое имеет
размерность случайной
величины.

28.

Сравнительный анализ
значений математического
ожидания, дисперсии и
среднеквадратического
значения по графику
p
M1(x)
M2(x)
x

29.

Числовые
характеристики
непрерывных случайных
величин.

30.

непрерывная случайная величина
X принимает значения между х и
х± Δх
dP =f(x)dx
х – Δх
х
х+ Δх
dP =f(x)dx, где f(x) - плотность
вероятности или функция
распределения вероятности.

31.

функция распределения вероятности
показывает, как изменяется
вероятность, отнесенная к интервалу
dx случайной величины в
зависимости от значения самой этой
величины: f (х) = dP/dx
b
Pab f ( x)dx
a

32.

b
Pab f ( x)dx
a
a
- вероятность того, что
случайная величина
принимает значения в
интервале (аb).
b x

33.

-∞
+∞
х
Какова вероятность того, что
случайная величина находится в
данном интервале?

34.

-
f ( x)dx 1
условие нормировки
для непрерывной
случайной величины

35.

1. Математическое ожидание
М(х):
М ( х)
x
f
(
x
)
dx

36.

2. Дисперсия D(x) :
D( x) [ x M ( x)] f ( x)dx
2

37.

3.
Среднеквадратическое
отклонение,
которое имеет размерность
случайной величины.
D(x)

38.

Нормальный закон
распределения:
2
1
( x M ( x )
f ( x)
exp
2
2
2
ехр - экспонента;
е±x= ехр(±х);

39.

График нормального
закона - кривая Гаусса.

40.

Учитывая, что
D

41.

2
1
x M ( x )
f ( x)
exp
;
2
2
2
x M ( x )
1
f ( x)
exp
2 D
2D
2

42.

Особенности кривой Гаусса
•колоколообразная форма
•ветви – экспоненты (возрастающая и
убывающая)

43.

•симметрия относительно М(Х)=х.
М(Х) - центр рассеивания
F(x)
х

44.

по данной формуле определяем
координаты вершины кривой Гаусса,
когда х = М(х).

45.

Вершина графика
f ( x) max
1
2

46.

•ветви асимптотически приближаются
к оси х. Чем больше σ, тем менее
острая вершина.
p
M1(x)
M2(x)
x

47.

•изменение математического
ожидания М(Х) сдвигает влево
или вправо вершину кривой
Гаусса
p
M1(x)
M2(x)
x

48.

•площадь, заключенная под
кривой равна 1 ( условие
нормировки)
S=1

49.

•выполняется правило "трёх сигм".
ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРАВИЛА«3
σ".
F(x)
S=1
x
-3σ
-2σ
-σ
M(X)

50.

•Вероятность появления случайной
величины в интервале значений M(X)±3σ
равна 99,97% Это соответствует условию
нормировки - площадь под кривой равна 1,
т.е - практически все случайные величины нормального
распределения находятся под кривой Гаусса.

51.

•Вероятность появления случайной величины в
интервале значений М(х)±σ равна 68%
М(х)±σ
F(x)
S=68%
-3σ
-2σ
-σ M(X) +σ
+2σ
+3σ
x

52.

•Вероятность появления случайной
величины в интервале значений
М(х)± 2σ равна 95%
М(х)± 2σ

53.

Для нормального закона распределения
характерен симметричный вид
гистограммы
•Гистограмма частот - совокупность
смежных прямоугольников,
построенных на одной прямой линии.
Основания прямоугольников
одинаковы.
Высоты прямоугольников равны
относительной частоте m/n
(вероятности).

54.

ГИСТОГРАММА ЧАСТОТ

55.

m/n
0,4
0,3
0,2
0,1
0
50
60
70
80
90
100
110
120
удар/мин

56.

Гистограмма частот и кривая Гаусса