Динамические эконометрические модели

1. Лекция 9 Динамические эконометрические модели

1. Модели авторегрессии и скользящей
средней.
2. Модели с распределенным лагом.
3. Метод адаптивных ожиданий и
частичной корректировки.

2. 1. Модели авторегрессии и скользящей средней.

До сих пор рассматривались модели
временных рядов, в которых в качестве
объясняющей переменной или регрессора
выступало время t .
В эконометрике широкое распространение получили модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, влияние
которых характеризуется некоторым запаздыванием.

3.

В качестве лаговых переменных могут
выступать не только факторы, но и значения
зависимой переменной, а также ошибки
регрессии.
Такие модели называют динамическими,
так как они в данный момент времени учитывают значения входящих в них переменных,
относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т.е. они отражают
динамику исследуемых переменных.

4.

Выделяют два типа динамических моделей.
1. Модели, в которых лаговые значения
переменных включены в модель. Это модели: авторегрессии, скользящего среднего, с
распределенным лагом.
2. Модели, в которые включены переменные, характеризующие ожидаемый уровень результирующего признака или одного
из факторов в момент времени t .

5.

Этот уровень считается неизвестным и
определяется с учётом информации, которой
располагают в предыдущий момент времени.
Различают модели такого типа: аддитивных
ожиданий, рациональных ожиданий,
неполной корректировки.
Модели авторегрессии – это класс
моделей временных рядов, в которых текущее значение моделируемой переменной
задаётся линейной функцией от прошлых
значений самой этой переменной:

6.

yt 0 1 yt 1 2 yt 2 ... p yt p t , t 1, n. (1)
Модель (1) называют авторегрессионной
моделью p го порядка (англоязычное
название AR( p ) ).
В уравнении (1) так называемый "белый
шум", т.е. стационарный временной ряд с
числовыми характеристиками: M ( t ) 0,
D( t ) const , M ( t t 1 ) 0.
2

7.

Коэффициент 1 характеризует изменение
признака y в момент t под воздействием
своего увеличения на одну единицу своего
измерения в предыдущий момент времени
(t 1).
Аналогично интерпретируются и другие
коэффициенты j , j 2, p модели.
Применение МНК для оценки коэффициентов модели (1) неприемлемо из-за нарушений предпосылок нормальной регрессионной модели.

8.

Поэтому оценки коэффициентов модели (1)
определяются из следующей системы линейных уравнений, называемой системой ЮлаУолкера:
r1 b1 b2 r1 b3r2 b p rp 1 ,
r b r b b r b r ,
2 11 2 31
p p 2
( 2)
rp b1rp 1 b2 rp 2 b3rp 3 b p .

9.

В системе (2) выборочные коэффициенты
автокорреляции ri , i 1, p считаются известными, а неизвестными – оценки коэффициентов модели b j , j 1, p .
Оценка свободного члена уравнения 0
определяется по формуле
n
1
b0 (1 b1 b2 bp ), yt .
n t 1

10.

В частном случае, когда имеем модель
первого порядка AR(1) :
yt 0 1 yt 1 t ,
оценки коэффициентов модели находятся
просто: b1 r1 , b0 (1 b1 ) .
В модель авторегрессии могут включаться и другие факторы в текущий момент
времени. Например, авторегрессия первого
порядка с фактором x :
yt 0 1 yt 1 2 xt t .

11.

В качестве порядка p модели AR( p)
можно рассматривать такое число p , начиная с которого все последующие оценки
частных коэффициентов автокорреляции
отклоняются от значения 0 не более чем на
2
,
n
т.е.
rчаст (k )
2
n
для всех k p .

12.

Модель скользящей средней q порядка
(величина q определяет длительность
"памяти" процесса) имеет вид:
yt t 1 t 1 2 t 2 q t q , t 1, n, (3)
т.е. моделируемая величина yt задаётся как
функция от прошлых ошибок.
Англоязычное название модели (3) - MA(q ).
Для наиболее простой модели MA(1)
yt t 1 t 1

13.

оценка d1 коэффициента 1 получается из
решения квадратного уравнения
1
d d1 1 0.
r1
2
1
В эконометрике используются модели,
которые являются сочетаниями авторегрессии с процессами скользящей средней,
например,
yt 0 1 yt 1 p yt p t 1 t 1 q t q ,
которые называют авторегрессионной моделью скользящей средней порядков ( p, q), и в
зарубежной литературе обозначаются ARMA( p, q).

14. 2. Модели с распределенным лагом.

Модели с распределенным лагом – это
динамические эконометрические модели, в
которых содержатся не только текущие, но и
лаговые значения факторов:
yt 0 xt 1 xt 1 l xt l t , (4)

15.

Эта модель позволяет определить влияние фактора x на результат yt не только
путём его изменения в текущий момент времени t , но и учитывать его изменения в
предыдущие l моментов времени.
Например, если в почву внести стабильные удобрения, то они могут действовать на
урожай в течение несколько лет (со снижением эффективности).

16.

Коэффициент 0 модели (4) называют
краткосрочным мультипликатором, он характеризует среднее изменение yt при увеличении x на одну единицу своего измерения в тот же момент времени t без учёта
воздействия лаговых
значений
фактора
.
x
l
Сумма j называется долгосроj 0
чным мультипликатором, она характеризует
среднее изменение yt под воздействием
единичного увеличения x в предыдущий
момент времени t l .

17.

Для таких моделей вводят следующие
показатели.
1. Весовые коэффициенты: b j j / , j 0, l.
Еслиl все коэффициенты j положительны, то
b j 1 из них измеряет долю общего
и каждый
j 0
yt
изменения результата
.
l
l
2. Средний лаг l j b j j b j . Он
j 0
j 1
представляет собой средний период, в течение которого происходит изменение результирующего признака при изменении x в
момент t l .

18.

Если значение l небольшое, то yt относительно быстро реагирует на изменение фактора x . В противном случае фактор x
медленно воздействует на результат, и его
воздействие будет сказываться в течение
длительного времени.
3. Медианный лаг – это величина лага lM ,
для которого выполняется равенство: b Это
0,5.
тот период времени, в течение которого с
момента t lбудет реализована половина
общего воздействия фактора на результат.
lM
j 0
j

19.

Модель с конечным числом лагов (4) можно
оценить обычным МНК достаточно просто,
если свести её к уравнению множественной
регрессии путём введения новых переменных: x0 xt , x1 xt 1 , , xl xt l .
Однако использование МНК вызывает
трудности по следующим причинам:
высокая мультиколлинеарность
объясняющих переменных;
возникает проблема автокорреляции
остатков.

20.

Следствием этого является нестабильность оценок коэффициентов модели, снижение их точности и эффективности.
Для получения хороших оценок требуется дополнительная информация о структуре лага, под которой понимают зависимости коэффициентов j от величины лага j .
Если эта зависимость описывается полиномом k ой степени (рис. 1)
2
k
j c0 c1 j c2 j ck j ,
то такие модели с полиномиальной структурой лага называют моделями Алмон.

21.

j
j
0
1
2
3
4
Рис. 1
5
6
j
0
1
2
3
4
5
Рис. 2
6
j

22.

Тогда каждый коэффициент модели (4)
можно выразить следующим образом:
0 c0 ,
1 c0 c1 c2 ck ,
2 c0 2c1 4c2 2 ck ,
k
3 c0 3c1 9c2 3 ck ,
k
.
…
l c0 l c1 l c2 l ck .
2
k
(6)

23.

Подставляя эти соотношения в уравнение (4),
после группировки слагаемых получим:
l
l
l
j 0
j 0
j 0
yt c0 xt j c1 j xt j ck j k xt j t .
Введя в рассмотрение новые переменные
l
l
l
l
z0 xt j , z1 j xt j , z2 j xt j ,..., zk j xt j ,
2
j 0
j 0
j 0
k
j 0
перепишем модель (4) в виде
yt c0 z0 c1 z1 ck zk t . (7)

24.

Коэффициенты c j модели (7) оцениваются
обычным МНК, а затем по соотношениям (6)
находятся оценки коэффициентов j , j 0, l
исходной модели (4).
Проблема мультиколлинеарности переменных z j здесь остаётся, однако она сказывается на оценках коэффициентов j , j 0, l в
меньшей степени, чем в случае применения
обычного МНК непосредственно к модели
(4). Трудности в применении метода Алмон
заключаются в обосновании выбора величины l и степени полинома k (обычно k 2,3 ).

25.

Другой подход для нахождения оценок
коэффициентов предложил Койка для моделей с бесконечным лагом
yt 0 xt 1 xt 1 l xt l t (8)
и допущении о геометрической структуре
лага, когда воздействие лаговых значений
фактора на yt уменьшается с увеличением
лага в геометрической прогрессии (рис. 2)
j 0 , 0 1. (9)
j

26.

Модель (8) в этом случае будет иметь вид:
yt 0 xt 0 xt 1 0 xt 2 0 xt l t .(10)
Для момента ( t )1 уравнение (10) запишется
2
l
yt 1 0 xt 1 0 xt 2 0 xt 3 0 xt l 1 t 1. (11)
2
l
Умножая обе части уравнения (11) на
вычитая результат из (10), получим
и
yt (1 ) 0 xt yt 1 t , (12)
где
t t t 1.

27.

Уравнение (12) называют моделью Койка,
и оно представляет собой модель авторегрессии 1-го порядка. Оценивая её коэффициенты, находятся значения , 0 , , а затем по
формулам (9) и оценки коэффициентов j .
Для оценивания коэффициентов уравнения регрессии (12) может быть использован метод инструментальных переменных.
Его идея состоит в следующем.

28.

Переменную y t 1 из правой части уравнения (12), для которой нарушается предпосылка МНК ( y t 1 частично зависит от t 1 в
силу связи (11) и поэтому коррелирует со
слагаемым ( t 1), входящим в t ), заменяют на новую переменную, удовлетворяющую следующим требованиям:
она должна тесно коррелировать с y t 1 ;
она не должна коррелировать со
случайной составляющей t .

29.

Затем оценивают регрессию с новой
инструментальной переменной с помощью
обычного МНК.
Например, в качестве инструментальной
переменной можно взять
yt 1 d 0 d1 xt 1.
Новая переменная y t 1 тесно коррелирует с y t 1 (если yt зависит от xt , то можно
предположить, что y t 1 также зависит от xt 1)
и не коррелирует со случайной составляющей t .

30. 3. Метод адаптивных ожиданий и частичной корректировки.

Модель адаптивных ожиданий относят ко
второму типу динамических моделей, когда
учитывается не фактическое значение объясняющей переменной, а ожидаемое значение
факторного признака xt 1 .
Примером может служить ожидаемое в
(
t
1
)
период
значение курса доллара xt 1 ,
которое влияет на наши инвестиции в
текущем периоде yt .

31.

В общем виде модель адаптивных ожиданий
записывается так
yt 0 xt 1 t . (13)
Здесь yt фактическое значение результирующего признака, xt 1 ожидаемое значение фактора. Схема формирования ожиданий в модели следующая:
xt 1 xt (1 ) xt , 0 1,
т.е. значение ожидаемой переменной xt 1
формируется как среднее арифметическое
взвешенное (с весом ) её реального и
ожидаемого значения в текущем периоде.

32.

Параметр называют коэффициентом
ожиданий.
Обычный МНК для оценивания коэффициентов модели (13) использовать нельзя.
Поэтому исходную модель преобразуют в
модель авторегрессии 1-го порядка
yt 0 xt (1 ) yt 1 t , t t (1 ) t 1.
Определив параметры авторегрессии
~
yt b0 b1 xt b2 yt 1 ,
можно легко найти оценки исходной модели.

33.

Для этого с помощью найденного параметра
при переменной y t 1 вначале определяется ,
а затем рассчитывается оценки коэффициентов и 0 :
1 b2 ,
b0
, 0
b1
.
В экономической практике встречаются
ситуации, когда под воздействием фактора x
формируется не сама величина y , а её
идеальное, "желаемое" значение y .

34.

Примером может служить модель Линтнера:
фактический объем прибыли xt оказывает
влияние на величину желаемого объёма
y
дивидендов t :
yt 0 xt t . (14)
Уравнение (14) называют моделью частичной корректировки.
В таких моделях предполагается, что
фактическое приращение зависимой переменной ( yt yt 1 ) пропорционально разнице
между её желаемым уровнем и фактическим
значением в предыдущий период ( yt yt 1 ) :

35.

yt yt 1 ( y yt 1 ) t
t
или
yt y (1 ) yt 1 t , 0 1.
Из этого следует, что yt получается как
среднее арифметическое взвешенное желае
мого уровня y t и фактического значения
этой переменной в предыдущем периоде y t 1 .
Чем больше величина , тем быстрее
происходит процесс корректировки.
y
y
Если 1, то t
t и полная корректировка выполняется за один период.
t

36.

При 0 корректировки yt не происходит совсем.
Уравнение (15) также можно преобразовать в уравнение авторегрессии
yt 0 xt (1 ) yt 1 t , t t t .
Коэффициенты преобразованного
уравнения , , 0 могут быть оценены, как
и в модели адаптивных ожиданий.

37.

Следует отметить, что данная модель, как
и в модели Койка, включает случайную
составляющую y t 1 . Но теперь эта переменная не коррелирует с текущим значением t ,
поскольку t , так же как и t рассчитываются
после того как определилось значение yt 1.
Поэтому состоятельные и эффективные
оценки коэффициентов уравнения (16) можно получить обычным МНК.