Определенный интеграл. Основные свойства и теоремы. Формула Ньютона-Лейбница. (Семинар 17)

1. Семинар 17. Определенный интеграл. Основные свойства и теоремы. Формула Ньютона Лейбница

2.

n
Предел S интегральной суммы S n
k 1
f ( x k' ) x k
для функции y=f(x)
на отрезке [a,b], когда число n отрезков неограниченно возрастает, а
наибольшая длина отрезка xk 0 называют определенным интегралом
от функции y=f(x) на отрезке [a,b].
Обозначение
b
f ( x)dx lim
a
n
xk
k 1
f ( x k' ) x k
a– нижний предел интегрирования;
b – верхний предел интегрирования;
[a,b] – отрезок интегрирования;
f(x) – подынтегральная функция;
x – переменная интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление интеграла основано на применении формулы НьютонаЛейбница
Пусть f(x) – интегрируема на отрезке [a,b] и F(x) – одна из первообразных
функции f(x), то есть f(x)=F’(x). Тогда приращение первообразной на
отрезке [a,b], то есть F(b)-F(a) равно
значению определенного интеграла
b
b
b
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
Другая
форма
a -двойная подстановка
a
a
от a до b

3.

Основные свойства определенного интеграла
При выводе основных свойств определенного интеграла исходим из
формулы Ньютона-Лейбница
b
f ( x)dx F (b) F (a) (1), где f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] , f(x)=F’(x).
a
I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования, то есть
b
b
b
a
a
a
f ( x)dx = f ( y)dy =...= f (u)du
II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами
a
интегрирования равен 0, то есть
f ( x)dx =F(a)-F(a)=0
a
III. При перестановке пределов интегрирования определенный
интеграл меняет свой знак на обратный.
Действительно,
переставляя пределы интегрирования,
в силу формулы
a
b
(1), получим f ( x)dx F (a) F (b) [ F (b) F (a)] f ( x)dx (2)
b
a

4.

IV. Если отрезок интегрирования [a,b] разбить на конечное число
частичных отрезков, то определенный интеграл, взятый по отрезку
[a,b] равен сумме определенных интегралов, взятых по всем
частичным отрезкам.
Пусть [a, b, ] [a, c] [c, b] , где
a c b . Полагая F’(x)=f(x)
a
c
b
b
a
c
f ( x)dx F (a) F (b) [ F (с) F (a)] [ F (b) F (c)] f ( x)dx f ( x)dx
(3)
V. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
a
Af ( x)dx AF ( x) |
b
b
a
AF (b) AF (a) A[ F (b) F (a)] A f ( x)dx
b
a
VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме
определенных интегралов от этих функций.
b
b
b
b
a
a
a
a
[ f ( x) g ( x) h( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx h( x)dx
VII. Если подынтегральная функция определенного интеграла
непрерывна и неотрицательна, а верхний предел интегрирования
больше нижнего или равен ему, то определенный интеграл также
неотрицателен.

5.

Пусть f ( x) 0 при a x b Так как F’(x)=f(x) 0, то F(x) – неубывающая
b
функция. В таком случае при b 0 имеем f ( x)dx F (b) F (a) 0
a
VIII. Неравенство между непрерывными функциями можно
интегрировать поэлементно при условии, что верхний предел
интегрирования больше нижнего.
Пусть f ( x) g ( x) при a x b , f(x),g(x) – непрерывные функции на
отрезке [a,b].
Так как g ( x) f ( x) 0, то в силу свойств VI и VIII имеем
b
b
b
a
a
a
b
b
[ g ( x) f ( x)]dx g ( x)dx f ( x)dx 0 , отсюда a f ( x)dx a g ( x)dx
Примеры с решениями
1) Вычислить интеграл
1
2
x
dx как предел интегральной суммы.
0
Решение
Здесь f ( x) x 2 , a 0, b 1; Разделим отрезок [0;1] на n конгруэнтных
частей, тогда xk (b a) / n 1 / n, и выберем k x k

6.

1
2
n
x
0
,
x
,
x
,...,
x
1;
1
2
n
Имеем 0
n
n
n
2
2
2
2
1
2
n
k 1
f ( 1 ) ; f ( 2 ) ;...., f ( n ) ; f ( k ) x k
n
n
n
n n
, следовательно,
1 1 / n (2 1 / n) 1
1 2 2 32 ... n 2
n(n 1)( 2n 1)
x
dx
lim
lim
lim
0
n
n
n
6
3
n3
6n 3
1
2
(Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел)
2) Вычислить
4
dx по формуле Ньютона-Лейбница
2
cos x
6
dx
3
/4
tgx
|
tg
tg
1
Решение. Имеем
/6
2
4
6
3
cos x
4
6
18
3)Оценить интеграл
cos xdx
10
1 x4
Решение. Так как | cos x | 1 , то при x>10 получим неравенство
18
Следовательно,
10
cos xdx
1 x4
8 10 2 10 1 0,1.
cos x
1 x4
10 2

7.

Примеры для самостоятельного решения
1
1. Вычислить интеграл
как предел интегральной суммы.
xdx
0
1
2. Вычислить интеграл
x
e
dx как предел интегральной суммы.
0
1
2
x
(
1
x
)
dx
3. Оценить интеграл
0
sin x
/2 x
4. Оценить интеграл
5. Вычислить интегралы
1
2
3
/3
/4
xdx
e1 / x
3
2
3
1)
;..
2
)
;..
3
)
x
x
1
dx
;..
4
)
cos
x sin 2 xdx;..
4
2
0 1 x
1 x
1
0
0
x sin x
dx
1 cos x