Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.

Понятие определенного интеграла
Определенный интеграл отличается от неопределенного тем,
что это либо число, либо первообразная с определенной постоянной.
Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция y=f(x).
Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0 – см. рисунок.
Говорят также о площади S под кривой y=f(x) на [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n элементарных отрезков точками
x0, x1, x2, … , xn: a=x0<x1<x2< … <xn=b. На каждом отрезке [xi-1, xi]
разбиения выберем некоторую точку i и положим xi=xi-xi-1, где
i=1, 2, … , n. Сумму вида n
f ( i ) xi
i 1
будем называть интегральной суммой для
функции y=f(x) на Очевидно, что интегральная
сумма зависит как от способов разбиения отрезка
[a, b] точками x0, x1, x2, … , xn, так и от выбора
точек i на каждом из отрезков разбиения [xi-1, xi],
i=1, 2, … , n.

3.

Отдельное слагаемое f( i) xi интегральной
суммы (10.1.1) равно площади Si прямоугольника
со сторонами f( i) и xi, где i=1, 2, … , n – см.
рисунок. Другими словами, Si – это площадь под
прямой y= f( i) на отрезке [xi-1, xi]. Поэтому вся
интегральная сумма равна площади Sл=S1+S2+…
+Sn под ломаной, образованной на каждом из
отрезков [xi-1, xi] прямой y= f( i), параллельной
оси абсцисс.
Для избранного разбиения отрезка [a, b] на части обозначим max xi
максимальную из длин отрезков [xi-1, xi], i=1, 2, … , n.
Пусть предел интегральной суммы при стремлении max xi к нулю
существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x0, x1, x2,
… , xn и точек 1, 2, … , n. Тогда этот предел называется
определенным интегралом от функции y=f(x) на [a, b],
b
обозначается f ( x)dx
a

4.

а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b],
b
n
т.е.
f ( x)dx lim f ( i ) xi
a
max xi 0
i 1
При этом число а называется нижним пределом, число b – его
верхним пределом, функция f(x) – подынтегральной функцией,
выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а задача
нахождения b
интегрированием функции f(x) на отрезке [a, b].
f
(
x
)
dx
a
есть определенное число.
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии,
определенный и неопределенный интегралы существенно
различные понятия: в то время как b
f ( x)dx
b
a
представляет собой семейство функций, f ( x)dx есть число.
По определению положим
b
a a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx

5.

Свойства определенного интеграла
Рассмотрим свойства определенного интеграла, которые имеют
аналоги в случае интеграла неопределенного.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
f ( x)dx f ( x)dx где - некоторое число
b
b
a
a
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же
сумме интегралов от этих функций, т. е.
b
b
b
a
a
a
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx f ( x)dx
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на
всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших
частей, т. е. при любых a, b, c
b
с
b
a
a
с
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

6.

4. Если на отрезке [a, b], где a<b, f(x) g(x), то и
f ( x)dx g ( x)dx
b
b
a
a
т. е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
5. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a, b], где a<b, то найдется такое значение [a, b], что
f ( x)dx f ( )(b a)
b
c
Пусть число f(x) 0 на [a, b]. Тогда теорема
о среднем утверждает: найдется такая точка
из отрезка [a, b], что площадь под кривой
y=f(x) на [a, b] равна площади
прямоугольника со сторонами f( ) и (b-a) см. рисунок.

7.

Определенный интеграл как функция верхнего предела
Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то, очевидно,
она интегрируема также на произвольном отрезке [a, x], вложенном
в [a, b]. Положим по определению
Ф( х) f ( x)dx f (t )dt
a
a
где x [a, b], а функция Ф(х) называется интегралом с переменным
верхним пределом.
Рассмотрим свойства функции интеграла с переменным верхним
пределом Ф(х).
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
функция Ф(х) также непрерывна на [a, b].
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда в
каждой точке х отрезка [a, b] производная функции Ф(х) по
переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
f(x), т.е.
x
x
x
Ф ( х) f (t )dt f ( x)
a

8.

Формула Ньютона-Лейбница
Опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом,
получим
основную
формулу
интегрального
исчисления,
называемую формулой Ньютона-Лейбница.
Теорема: пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) –
любая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда определенный
интеграл от функции f(x) на [a, b] равен приращению
первообразной F(x) на этом отрезке, т. е.
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы
Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:
А) находим некоторую первообразную F(x) для подынтегральной
функции f(x), причем такую, чтобы она имела наиболее простой вид
при С=0;
Б) находим приращение первообразной, равное искомому интегралу

9.

Пример 1. Вычислить интеграл
1
2
x
dx
0
Решение. Первообразная для функции f(x)=x2 имеет вид
F(x)=x3/3+C. Для нахождения интеграла по формуле НьютонаЛейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда
1
3
3
3
1
x
1
0
1
2
x
dx
0
3 0 3 3 3

10.

Геометрические приложения определенного интеграла
С помощью определенного интеграла можно решать целый ряд
геометрических задач, а именно вычисление площадей и объемов
различных фигур.
Вычисление площадей плоских фигур. Пусть функция y=f(x)
неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по
геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под
кривой y=f(x) на [a, b] численно равна определенному интегралу
b
S f ( x)dx
a
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x 0, x y , y 4
Решение. Из рисунка видно, что искомая площадь
S криволинейного треугольника ОАВ равна
разности двух площадей: S=SOAB-SOBC, каждая
из которых находится по геометрическому
смыслу определенного интеграла.

11.

y 4,
Решая систему
x y
получаем, что точка В пересечения прямой у=4 и кривой x y
имеет координаты
(2,2 4). Тогда
2
2
3
2
2 8
x
2
S OAB 4dx 4 dx 4 x 8, S OBC x dx
0
3 0 3
0
0
0
8 16 2
Окончательно S 8 (ед. ).
3 3
Если функция y=f(x) неположительная на [a, b], то площадь S
под кривой y=f(x) на [a, b] отличается знаком от определенного
b
b
интеграла
S ( f ( x)) dx f ( x)dx
a
a

12.

Пусть теперь на отрезке [a, b] задана непрерывная функция
y=f(x) общего вида. Предположим также, что исходный отрезок
можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на
каждом из них функция y=f(x) будет знакопостоянна или равна
нулю.
Рассмотрим случай, изображенный на рисунке.
Площадь заштрихованной фигуры S=S1+S2+S3, т.е.
равна алгебраической сумме соответствующих
с
d
b
определенных интегралов:
S f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
с
a
d
Приведем формулу, применение которой часто упрощает
решение задач на вычисление площадей плоских фигур.
Теорема. Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции
y=f1(x) и y=f2(x) такие, что f2(x) f1(x). Тогда площадь фигуры S,
заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на отрезке [a, b]
b
вычисляется по формуле:
S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx
a

13.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2-2,
у=х – см. рисунок.
Решение. Найдем координаты точек пересечения
параболы у=х2-2 и прямой у=х, решив систему
этих уравнений y x 2 2,
y x
В результате получим координаты точки А(-1, -1)
и В(2, 2). На отрезке [-1, 2] х х2-2, поэтому
можно воспользоваться формулой, полагая
f1(x)=x2-2, f2(x)=x. Абсциссы точек А и В
пересечения
линий
зададут
пределы
интегрирования:
2
x2 2
x3 2
2
S ( x ( x 2)) dx
2
x
1
2 1 3 1
1
1 2
1 3
2
4 ( 1) 2 ( 1)3 2(2 ( 1)) 4.5 (åä.2 )
2
3
2