Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. (Семинар 4)

1.

Семинар 4. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Основные теоремы о бесконечно малых функциях.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) при x a , то есть lim x a f ( x) A , если 0 - окрестность U a { X | 0 | x a | }, ( ( )), что |f(x)-A|< при
x U a (1)
Неравенство (1) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция
f(x), то есть для x X U a ; согласно определения предельной точки в каждой
окрестности U a множество таких точек не пусто.
Определение
Функция (х ) называется бесконечно малой при x a (а – вещественное число или
символ ), если 0, U a , что | ( x) | , x U a . Это эквивалентно
lim x a ( x) 0 (1) или ( x) 0, x a (2). Аналогично определяется бесконечно
малая функция при x a 0 , x a 0 , x , x .
Определение
Функция f(x) называется бесконечно большой при x a (а – число или символ )
f (x) при x a (1), если для E 0 U a точки a, что |f(x)|>E при x U a . (2)
для всех допустимых значений аргумента х.
Если функция f(x) - бесконечно большая при x a , то условно пишут lim x a f ( x)
Пример tgx при
x
2

2.

Записи lim x a f ( x) и lim x a f ( x) соответственно означают
f ( x) E при x U a . и f ( x) E при x U a .
1
1.Если f (x) при x a , то f ( x) 0 при
1
2.Если ( x ) 0 при x a , то ( x)
при
x a
x a
Основные теоремы о бесконечно малых функциях:
Теорема 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при
x a есть функция бесконечно малая при x a .
Теорема 2 Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую при
x a функцию, есть функция бесконечно малая функция при x a.
Теорема 3 Произведение конечного числа бесконечно малых функций при x a
есть функция бесконечно малая при x a .
Следствие Целая положительная степень [ ( x)] n бесконечно малой функции ( x) 0
при x a есть бесконечно малая функция.
Замечание Отношение двух бесконечно малых функций ( x) 0, ( x) 0при x a
может быть функцией произвольного поведения
.
С помощью действия деления можно сравнивать между собой бесконечно малые.
Определение 1 Две бесконечно малые функции ( x) 0, ( x) 0 при x a
имеют одинаковый порядок при x a , если их отношение имеет конечный предел,
отличный от нуля, то есть
( x)
lim x a
k 0
( x)
Определение 2 При x a порядок бесконечно малой функции (x ) выше порядка
бесконечно малой функции (x ) , если отношение ( x ) есть бесконечно малая
( x)

3.

при
x a
, то есть
lim x a
( x)
. В этом случае пишут ( x) O[ ( x)] при
0
( x)
x a .
Определение 3 При x a бесконечно малая функция (x ) имеет порядок n (n –
натуральное число) относительно бесконечно малой функции (x ) при x a , если
( x)
lim x a
k 0
n ( x)
При вычислении пределов часто используется следующая таблица эквивалентных
функций
Эквивалентность при
sin x ~ x
shx ~ x
tgx ~ x
arcsin x ~ x
arctgx ~ x
x 0
Равенство при
sin x x o( x)
x 0
shx x o( x)
tgx x o( x)
arcsin x x o( x)
arctgx x o( x)
1 cos x ~ x 2 / 2
1 cos x x 2 / 2 o( x 2 )
chx 1 ~ x 2 / 2
chx 1 x 2 / 2 o( x 2 )
ex 1 ~ x
ln( 1 x ) ~ x
e x 1 x o( x )
ln( 1 x) x o( x)
(1 x ) 1 ~ x
(1 x) 1 x o( x)
a x 1 ~ x ln a
a x 1 x ln a o( x)

4.

Примеры с решениями
2
5
1.Пусть t –бесконечно малая величина. Сравнить бесконечно малые 5t 2t
2
3
и 3t 2t
2
5
3
5
t
2
t
5
2
t
5
Решение. Найдем lim
lim
lim
t 0
t 0
3t 2 2t 3
t 0
3 2t
3
Так как предел отношения к есть число, отличное от нуля, то эти величины –
бесконечно малые одного и того же порядка
2.Сравнить бесконечно малые t sin 2 t и 2t sin t при t 0
Решение. Найдем
t sin 2 t
1
lim
t 0
lim
t 0
2t sin t
2
lim sin t 0 o( )
t 0
3.Сравнить бесконечно малые t ln( 1 t ) и t sin t при t 0
Решение. Найдем
ln( 1 t )
t ln( 1 t )
ln( 1 t )
lim lim
lim
lim t 0
1 ~
t
t 0
t 0
t
0
t sin t
sin t
4.Найти lim ln( 1 3 x sin x )
2
x 0
sin t
t
tgx
Решение. Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно
малыми: ln(1+3xsinx)~3xsinx , tgx 2 ~ x 2. Тогда получим
lim
x 0
ln( 1 3 x sin x)
3 x sin x
lim
3
2
2
x 0
tgx
x

5.

Задачи для самостоятельного решения
x
1. Определить порядок бесконечно малой величины y xe по сравнению с
бесконечно малой x.
2. Определить порядок бесконечно малой величины y 1 x sin x 1по
сравнению с бесконечно малой x.
3. Определить порядок бесконечно малой величины y 2 sin x по сравнению с
бесконечно малой x.
2
2
4. Сравнить бесконечно малые t sin t и t tgt при t 0
5. Найти следующие пределы :
1) lim
x 0
1 2x 1
sin 2 3 x
tg 3x;2) lim 2
x 0 ln (1 2 x )
e2x 1
ln( 1 x 3x 2 2 x 3 )
ln cos x
sin( e x 1 1)
3) lim
;4) lim
;5) lim
;6) lim
x 0 ln( 1 4 x)
x 0 ln( 1 3 x 4 x 2 x 3 )
x 0 ln( 1 x 2 )
x 0
ln x