Понятие предела функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функции

1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ.

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ
ФУНКЦИИ

2. Определение 1:

Пусть функция y = f (x) определена в
некоторой окрестности точки x0.
Число A называется пределом функции
y = f (x) при x ® x0 , если для любого
достаточно малого ε > 0 существует такое
δ > 0 , что из выполнение условия 0 < x - x0 < d
A - f ( x) < e
следует выполнение условия
.
x ¹ x0 x0 – предельное значение аргумента
Причем
и
. Предел обозначается:
lim f ( x) = A.
x ® x0

3. Геометрическая иллюстрация определения предела функции при

y
y = f(x)
A+ε
f(x)
A
A–ε
0
x0–δ
( x0 - d , x0 + d )
x0 x x0+δ
x
(A -e, A + e )
x ® x0

4. Определение 2:

Число A называется пределом функции
y = f (x) при x ® ¥ , если для любого
достаточно малого ε > 0 существует такое
M > 0 , что всех x > M выполняется
условие: A - f ( x) < e .
Причем ¥ – предельное значение аргумента.
Предел обозначается:
lim f ( x) = A.
x ®¥

5. Геометрическая иллюстрация определения предела функции при

x®¥
y
A+ε
y= f (x)
A
A–ε
–M
0
M
x

6. Односторонние пределы

Число
A1 называется
левосторонним
пределом функции y = f
(x) при x→x0 , если предел
берется при
приближении
Число
A2
называется
правосторонним
пределом функции y = f (x)
при x→x0 , если предел
берется при приближении
x к x0 слева
x к x0 справа.
. Левосторонний
Правосторонний предел
предел функции
функции записывается в
x ® x0 - 0 в виде :
записывается
виде :x ® x0 + 0
lim
f ( x) = A1.
lim
f ( x) = A2 .

7. РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ

f (x0)
у
у
• f (x0)
0
A1 ≠ A2
у
x0
≠х f
f (x0)
0
(x0) A1 =
A1 =
x0
A х≠
2
0
0
)≠
x0
A1 ≠x f (x0)
= A2
A2
у
0
x0
fх (x
f (x0)
у
у
0
f (x0)
x0
A1 ≠ A2
0
x0
х
A1 = A2
Функция не определена в
точке x0

8. Теорема (существования предела)

Для того, чтобы функция
y = f (x) при x→x0 имела
пределом число A,
необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие:
lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = A .
x ® x0 + 0
x ® x0 - 0
x ® x0

9. Бесконечно малая функция (БМФ)

Определение.
Функция α = α (x)
при x → x0
называется
бесконечно малой
функцией, если
выполняется
условие:
lim a ( x) = 0
x ® x0
Свойства БМФ
1. Сумма конечного числа БМФ
при x→x0 является БМФ.
2. Произведение двух БМФ
при x→x0 является БМФ.
3. Произведение БМФ на
ограниченную функцию
при x→x0 является БМФ.
4. Частное от деления БМФ на
ограниченную функцию
при x→x0 является БМФ.

10. Сравнение БМФ

Определение 1. Две БМФ α1(x) и α2(x) называются
эквивалентными при x→x0 , если выполняется условие:
a1 ( x)
lim
= 1.
x ® x0 a 2 ( x )
Определение 2. Если для двух БМФ α1(x) и α2(x)
a1 ( x)
lim
= c,
выполняется условие: x ® x0 a 2 ( x)
где с ≠ 0, с ≠ 1, с ≠ ¥, то говорят, что эти БМФ имеют
одинаковый порядок малости.
a1 ( xБМФ
)
Определение 3. Если для
двух
lim
= 0, α1(x) и α2(x)
x ® x0 a 2 ( x )
выполняется условие:
то говорят, что α 1(x)
имеет более высокий порядок малости, чем α 2(x) .

11. Бесконечно большая функция (ББФ)

Определение.
Функция β = β (x)
при x → x0
называется
бесконечно
большой функцией,
если выполняется
условие:
lim b ( x) = ¥
x ® x0
Свойства БМФ
1. Сумма конечного числа ББФ
при x→x0 является ББФ.
2. Произведение двух ББФ
при x→x0 является ББФ.
3. Произведение ББФ на
ограниченную функцию
при x→x0 является ББФ.
4. Частное от деления ББФ на
ограниченную функцию
при x→x0 является ББФ.

12. Связь ББФ и БМФ

Если α = α (x) –
БМФ при x → x0 , то:
1
lim
=¥
x ® x0 a ( x )
Если β = β (x) – ББФ
1
lim при x=→
0 x0 , то:
x ® x0 b ( x )

13.

14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

15. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Всякая функция y = f (x) при x→x0 может иметь
не более одного предела.
Теорема 2 (правила предельного перехода). Если две
функции y = f (x) и y = g (x) имеют пределы при x→x0 , то
справедливы равенства:
1) lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x);
x ® x0
x ® x0
x ® x0
x ® x0
x ® x0
2) lim [ f ( x) × g ( x) ] = lim f ( x) × lim g ( x);
x ® x0
lim f ( x)
é f ( x) ù x® x0
3) lim [ ñ × f ( x) ] = c × lim f ( x); 4) lim ê
=
; 5) lim c = c;
ú
x ® x0
x ® x0
x ® x0 ë g ( x ) û
x ® x0
lim g ( x)
x® x
0
6) lim [ f ( x) ]
x ® x0
g ( x)
lim g ( x )
é
ù x® x
= ê lim f ( x) ú 0
ë x ® x0
û
;
7) lim ln f ( x) = ln lim f ( x).
x ® x0
x ® x0

16. ТЕОРЕМА 3. Замечательные пределы

Первый замечательный:
¥
1
(раскрывает неопределенность 0/0)
sin x
lim
= 1.
x ®0 x
u
æ 1ö
1) lim ç1 + ÷ = e = 2,71...;
u ®¥ è
u ø Второй замечательный:
(раскрывает неопределенность
1
v
2) lim ( 1 + v ) = e = 2,71... .
v ®0
)

17. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

Пусть х стремится к х0 или к ± ∞
Если f (х) стремится
а
а
а
+∞
–∞
+∞
g (х) стремится
b
+∞
–∞
+∞
–∞
–∞
f (х) + g (х) стремится
а+b
+∞
–∞
+∞
–∞
∞–∞
Если f (х) стремится
а
а≠0
∞
0
g (х) стремится
b
+∞
∞
∞
f (х) ∙ g (х) стремится
а∙b
+∞
∞
0∙∞
Если f (х) стремится
а
∞
а ≠0
а
0
∞
g (х) стремится
b≠0
b≠0
–∞
∞
0
∞
f (х) / g (х) стремится
а/b
∞
0
0
0/0
∞/∞

18. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

1. Используя правило предельного перехода
вычисляем предел функции, подставляя в нее
предельное значение аргумента.
2. Если в результате вычислений получаем 0, ¥ или
действительное число, то записываем ответ.
3. Если в результате вычислений имеем
неопределенности:
0/0 , ¥ / ¥ ,¥ - ¥ , 0 ∙ ¥ ,
¥
¥
1 ,0 ,¥
,
0
то для их раскрытия используем искусственные
приемы или правило Лопиталя.

19. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

1) Если находим предел дробного выражения, в числителе и
знаменателе которого многочлен и имеем
неопределенность 0 / 0, то для раскрытия данной
неопределенности:
а) числитель и знаменатель дроби разлагаем на множители;
б) сокращаем на критический множитель;
в) вычисляем предел.

20. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

2) Если находим предел дробно-иррационального
выражения и имеем неопределенность 0 / 0, то для
раскрытия данной неопределенности:
а) умножаем числитель и знаменатель дроби на
сопряженное выражение;
б) применяем формулу разности квадратов (или суммы и
разности кубов);
в) сокращаем на критический множитель;
г) вычисляем предел.

21. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

3) Если находим предел дробного выражения в числители
и знаменателе которого могут встречаться
тригонометрические, обратные тригонометрические,
показательные, логарифмические функции и имеем
неопределенность 0 / 0, то для раскрытия данной
неопределенности:
а) воспользуемся таблицей эквивалентных БМФ;
б) сокращаем на критический множитель;
в) вычисляем предел.

22. Таблица эквивалентных БМФ при α(х)→0

1) sin a(x) a (x);
2) tg a(x) a (x);
3) arcsin a(x) a (x);
4) arctg a(x) a (x);
5) ln (1+ a(x)) a (x); 6) ea ( x ) - 1 a (x);
7) aa ( x )
(a ( x)) 2
- 1 a (x)lna; 8)1- cos a(x)
2

23. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

4. Если находим предел дробно-рационального и дробноиррационального выражения и имеем неопределенность
¥ / ¥, то для раскрытия данной неопределенности:
а) в числителе и знаменателе дроби выносим переменную в
наибольшей степени за скобку.
б) сокращаем на критический множитель;
в) вычисляем предел.
Замечание. Иначе раскрывать неопределенность данного вида
ì am
можно, используя формулу:
ï , m = n,
bn
ï
P ( x) ï
lim m
= í 0,
x®¥ Qn ( x )
ï ¥,
ï
ïî
m < n,
m > n.
Здесь Pm (x) и Qn(x) – рациональные (многочлены) или
иррациональные выражения старших степеней m и n.

24. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

5. Если находим предел алгебраического выражения и
имеем неопределенность 0∙ ¥ или ¥ - ¥ , то для
раскрытия данной неопределенности:
а) преобразуем алгебраическое выражение так, чтобы
иметь неопределенности 0 / 0 или ¥ / ¥.
б) раскрываем данные неопределенности
(смотри: п. 1, п. 3, п. 4);
в) вычисляем предел.

25. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

6. Если находим предел алгебраического выражения и
имеем неопределенность 1¥ , то для раскрытия данной
неопределенности:
а) используем одну из формул второго замечательного
u
предела:
æ 1ö
1) lim ç1 + ÷ = e = 2, 71... ;
u ®¥ è
uø
1
v
2) lim ( 1 + v ) = e = 2, 71.
v ®0
б) вычисляем предел.
¥
Замечание. Если при вычислении пределов имеем a ,
где a >0, a ≠ 1 – действительное число, то целесообразно
воспользоваться формулой:
ì¥, 1 < a < ¥;
a =í
î 0, 0 < a < 1.
¥

26. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

7. Если находим предел алгебраического
выражения и имеем
¥
¥
0
1 , 0 ,, то
¥ для раскрытия данных
неопределенность
неопределенностей:
а) используем прием логарифмирования;
б) сводим к неопределенностям 0 / 0, ¥ / ¥;
в) применяем правило Лопиталя;
г) вычисляем предел.
lim [ u ( x ) ] ( x ) ,
Замечание. При вычислении пределов вида
x®¥
lim u ( x ) = e,
где x®¥
1. если
возможны варианты:
lim ( x ) = -¥
x ®¥
, то
lim ( x ) = ¥,
2. если x®¥
, то
lim éëu ( x ) ùû
x ®¥
lim éëu ( x ) ùû
x ®¥
( x)
;
( x)
.
=0
=¥

27. Спасибо за внимание!!! =)