Бесконечно малые и бесконечно большие

1.

Бесконечно малые и бесконечно
большие.
Функция (x) называется бесконечно
малой при x x0 , если lim ( x) 0 .
x x0
Бесконечно малые (x) и (x)
называются сравнимыми, если существует
( x )
хотя бы один из пределов lim
или
x x0 ( x)
( x)
lim
.
x x 0 ( x )

2.

Пусть (x) и (x) – сравнимые бесконечно малые при
x x0 , и пусть, для определенности, существует
( x)
lim
C . Тогда:
x x 0 ( x )
а) Если C 0 , то (x) и (x) называют бесконечно
малыми одного порядка O . В частности, при C 1
бесконечно малые (x) и (x) называют эквивалентными и
пишут ~ .
б) Если C 0 , то (x) называют бесконечно малой
более высокого порядка, чем (x) , и пишут o( ) . Если
при этом существует действительное число r 0 такое, что
( x )
lim
0 , то (x) называют бесконечно малой
r
x x 0 ( x)
r
порядка r относительно ( x) : O .

3.

Функция (x) называется бесконечно
большой при x x0 , если lim ( x) .
x x0
Подобно тому как это сделано выше для
бесконечно малых, вводится понятие
сравнимых бесконечно больших и их
классификация.

4.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых:
1 . Произведение двух бесконечно малых есть
бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
сомножителями, т.е. если , то o и o .
2 . Бесконечно малые и эквивалентны тогда и
только тогда, когда их разность является
бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и ,
т.е. o и o , то ~ .
3 . Если отношение двух бесконечно малых имеет
предел, то этот предел не изменится при замене каждой
из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой,
1
т.е. если lim m , ~ 1 , ~ 1 , то lim m .
x a
x a
1

5.

Полезно иметь в виду эквивалентность
следующих бесконечно малых: если x 0 ,
то
sin x ~ x , tgx ~ x , arcsin x ~ x , arctgx ~ x ,
ln(1 x) ~ x .

6.

Два замечательных предела.
sin x
(1)
lim
1.
x 0 x
x
1
1
lim 1 lim 1 e 2,71828. (2)
x
x 0

7.

sin x
1
x 0
x
Пусть
Тогда
0 x .
2
S OAB Sсект. OAB S OAC
1
1
1
2
OA OB sin x x OA OA AC
2
2
2
1
1
1
sin x x tgx sin x x tgx
2
2
2
(*использована формула площади сектора с радиусом R и
1
центральным углом x : S xR 2 *).
2
1
1
1
Отсюда (у нас x 0, sin x 0, tgx 0 )
(*умножаем
sin x x tgx
sin x
lim 1 1 ,
cos x .
на
Так
как
sin x 0*) 1
x
0
x
sin x
lim cos x cos 0 1 (* cos x C 0 *), то
lim
1. Далее,
x 0
x 0
x
sin x
sin t
sin t
lim
(*x t , t x, t 0 *) lim
lim
(*по
x 0
t
0
t
0
x
t
t
sin x
1.
доказанному*)=1. Теперь lim
x 0
x
Первый замечательный предел lim

8.

sin 7 x
Пример. Найти lim
.
x 0 sin 3 x
Решение: Так как x 0 под знаком
предела, то
sin 7 x
sin 7 x
7
x
sin 7 x
7
7x
7x
7x
lim
lim sin 3 x
lim lim sin 3 x .
x 0 sin 3 x
x 0
x 0 3 x x 0
3
x
3
3x
3x

9.

3 x 1
2x 1
Пример. Найти lim
.
x 2 x 1
Решение: Имеем:
3 x 1
3 x 1
3 x 1
2
2x 1
2x 1 2
lim
lim
lim 1
.
x 2 x 1
x 2 x 1
x
2x 1
1
2
1
Положим
и при x ,
. Тогда x y
2
2x 1 y
y
1
3
1
2
3y 2
y
3 x 1
1 1 3
1
2
lim 1
lim 1 1 e
lim 1
x
y
y
2x 1
y
y y

10.

3x
x
Пример. Вычислить lim
.
x 2 x
Решение: Имеем:
x
2 x
Так как
3x
2
1
2 x
3x
2
lim 1
x
2 x
2
1
2 x
2 x
2
2 x 2 3 x
2 2 x
.
1 t e
lim
2
1
t
t 2 x 0
2x
2
x
6
lim
3 x 6 , то lim
и
.
e
x 2 x
x 2 x
(здесь
использована
непрерывность
композиции
непрерывных функций).

11.

x
x 5x 4
.
Пример. Вычислить lim 2
x x 3x 7
Решение: Делением числителя дроби на знаменатель
x 2 5x 4
8x 3
выделим целую часть:
.
1 2
2
x 3x 7
x 3x 7
Таким образом, при x данная функция
представляет собой степень, основание которой стремится
к
единице,
а
показатель
–
к
бесконечности
(неопределенность вида 1 ). Преобразуя функцию так,
чтобы использовать второй замечательный предел,
получим
2
x
x 5x 4
8x 3
lim 1 2
lim 2
x x 3x 7
x
x 3x 7
2
8x 3
lim 1 2
x
x 3x 7
x 2 3 x 7
8 x 3
x
x ( 8 x 3 )
x 2 3 x 7

12.

x 2 3 x 7
8 x 3
8x 3
lim 1 2
x
x 3x 7
8x 3
Так как 2
0 при x , то
x 3x 7
8 3
x
3
1 7
x x2
.
x 2 3 x 7
8 x 3
Учитывая,
8x 3
lim 1 2
e.
x
x 3x 7
8 3x
что
lim
8,
3
7
x 1
2
x
x
x
x 5x 4
e8 .
lim 2
x x 3x 7
2
находим

13.

ln 1 3x sin x
Пример. Найти lim
.
2
x 0
tgx
Решение: Заменим числитель и
знаменатель дроби эквивалентными
бесконечно малыми: ln 1 3x sin x ~ 3x sin x .
2
2
tgx ~ x . Тогда получим
ln 1 3x sin x
3x sin x
sin x
lim
lim
3 lim
3.
2
2
x 0
x 0
x 0 x
tgx
x

14.

Пример. Вычислить lim
x 0
arcsin
x
1 x 2
ln(1 x)
.
Решение: Так как
x
x
arcsin
~
ln(
1
x
)
~
x
и
2
2
1 x
1 x
при x 0 , то
x
arcsin x 2
1 x
1 x 2
lim
lim
1 .
x 0 ln(1 x)
x 0 x

15.

Пример. Пусть t бесконечно малая. Сравнить
бесконечно малые 5t 2 2t 5 и 3t 2 2t 3 .
5t 2 2t 5
5 2t 3 5
Решение: Имеем lim lim 2
lim
.
3
t 0
t 0 3t 2t
t 0 3 2t
3
Так как предел отношения и есть число, отличное от
нуля, то и – бесконечно малые одного и того же
порядка.
Пример. Сравнить бесконечно малые t sin2 t и
2t sin t , при t 0 .
t sin 2 t 1
lim sin t 0 , т.е.
Решение: Здесь lim lim
t 0
t 0 2t sin t
2 t 0
o( ) .

16.

Пример. Сравнить бесконечно
t ln(1 t ) и t sin t , при t 0 .
Решение: Находим
малые
ln(1 t )
t
t 0 sin t
t
t ln(1 t )
ln(1 t )
lim lim
lim
lim
t 0
t 0 t sin t
t 0 sin t
т.е. ~ .
1,

17.

Непрерывность функции в точке.
Классификация точек разрыва. Функция
y f x с областью определения D
называется непрерывной в точке x0 , если
выполнены следующие три условия:
а) функция y f x определена в
точке x0 , т.е. x0 D ;
б) существует lim f x ;
x x0
в) lim f x f x0 .
x x0

18.

Если а) выполнено, то условия б) и в)
эквивалентны следующему:
lim f x0 , x 0 ,
x 0
где
f x0 , x f x0 x f x0
– приращение функции y f x в точке x0 ,
соответствующее приращению аргумента
x x x0 .

19.

Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из условий а)-в), то
x0 называется точкой разрыва функции y f x . При этом
различают следующие случаи:
а) lim f x существует, но функция не определена в
x x0
точке x0 или нарушено условие lim f x f x0 . В этом
x x0
случае x0 называется точкой устранимого разрыва
функции.
б)
lim f x не существует. Если при этом
x x0
существуют оба односторонних предела
lim f x и
x x0 0
lim f x (очевидно, не равные друг другу), то x0
x x0 0
называется точкой разрыва 1-го рода.
в) в остальных случаях x0 называется точкой разрыва
2-го рода.

20.

Односторонние пределы. Если x a и
x a , то условно пишут x a 0 ; аналогично,
если x a и x a , то это записывается так:
x a 0 . Числа
f a 0 lim f x и f a 0 lim f x
x a 0
x a 0
называются соответственно пределом слева
функции f x в точке a и пределом справа
функции f x в точке a (если эти числа
существуют).
Для существования предела функции f x
при x a необходимо и достаточно, чтобы имело
место равенство
f (a 0) f (a 0) .

21.

Пример. Доказать, что функция y sin x
непрерывна для любого аргумента x .
Решение:
Имеем:
x
x sin 2x
x
y sin x x sin x 2 sin cos x x cos x x .
2
2
2
2
sin 2x
x
Так как
lim x 1 и cos x 1 ,
x 0
2
2
lim y 0 .
то при любом x имеем
x 0
Следовательно, функция sin x непрерывна при x .

22.

Пример. Найти пределы справа и слева функции
1
f ( x) arctg
x
при x 0 .
Решение:
Имеем:
1
f ( 0) lim arctg
x 0
x 2
и
1
f ( 0) lim arctg .
x 0
x
2
Предела же функции f x при x 0 в этом случае, очевидно,
не существует.

23.

Пример. Найти левый и правый пределы
функции
1
f ( x)
1
x 2 x 3
при x 3 .
Решение:
1
1
и 2 x 3 0 .
Если x 3 0 , то
x 3
1
Следовательно, lim f x .
x 3 0
3
1
1
, 2 x 3
Если же x 3 0 , то
x 3
и lim f x 0 .
x 3 0

24.

Пример. Найти левый и правый пределы функции
f ( x) e
1
x a
при x a .
1
Решение: Если x a 0 , то
и lim f x 0 .
x a 0
x a
1
Если же x a 0 , то
и lim f x .
x a 0
x a
x
Пример. Показать, что при x 4 функция y
x 4
имеет разрыв.
x
x
Решение: Находим lim
, lim
.
x 4 0 x 4
x 4 0 x 4
Таким образом, функция при x 4 не имеет ни левого, ни
правого конечного предела. Следовательно, x 4 является
точкой разрыва II рода.

25.

Пример. Показать, что
1
имеет разрыв.
y arctg
x 4
Решение:
Если
при
x 4 0,
x 4
функция
1
то
и
x 4
1
и
то
x 4
lim y . Если же x 4 0 ,
x 4 0
2
lim y . Итак, при x 4 функция имеет как правый так
x 4 0
2
и левый конечный предел, причем эти пределы различны.
Следовательно, x 4 является точкой разрыва I рода –
точкой скачка. Скачок функции в этой точке равен
.
2 2