Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная функции, заданной неявно. Теорема. (Семинар 8)

1.

Семинар 8. Производная сложной функции. Производная обратной функции.
Производная функции, заданной неявно
Производная сложной функции
Теорема
)
Если y f ( z ), z ( xдифференцируемые
функции от своих аргументов, то
производная сложной функции y f [ ( x )]существует и равна производной данной
функции y по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого
промежуточного аргумента z по независимой переменной х
.
y x' y z' z x'
Производная обратной функции
Пусть y=f(x) - дифференцируемая функция от аргумента х в некотором интервале
(a,b). Рассмотрим x ( y ) где f [ ( y)] y -обратная функция .
y
Задача Зная производную y x' lim x 0
функции y=f(x) найти производную
x
x
обратной функции x ( y )
x 'y lim y 0
y
предполагая, что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем
интервале.
Теорема
Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная
обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

2.

x 'y
1
y x'
Производная функции заданной неявно
Рассмотрим способы нахождения производных функций заданных неявно.
Пример. Найти 2производную
функции y(y>0), определенную уравнением (уравнение
x
y2
эллипса) 2 2 1 Разрешая это уравнение относительно y и, выбирая знак
a
b
плюс в силу начального условия получаем функцию в явном виде
y
b 2
b
x
a x 2 y'
a
a a2 x2
Однако в некоторых случаях уравнение элементарными средствами нельзя разрешить
относительно y и приходится рассматривать y как неявную функцию от x.
Существует другой способ нахождения производной.
Предполагая, что в уравнение подставлено вместо y явное выражение получим
тождество: x 2 y 2
причем y функция от x. Очевидно, если две функции
1
тождественно
a 2 равны
b 2 друг другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв
производные от левой и правой частей тождества и применяя правило
дифференцирования сложной функции, получаем 2 x 2 y
b2 x
a2
Примеры с решениями
1. Найти производные сложных функций
b2
y' 0 y'
a2 y

3.

1) y (2 x 3 5) 4
Решение. Обозначим 2 x 3 5 u y u 4 По правилу дифференцирования сложной функции
имеем y' (u 4 ) u' (2 x 3 5) 'x 4u 3 (6 x 2 ) 24 x 2 (2 x 3 5) 3
2) y tg ln x
Решение
3) y ln tg
Решение
y ' (tg ln x)'
1
1
cos 2 ln x x
x
2
x
1
1
1
1
y ' (ln tg )'
(tg ( x / 2))'
( x / 2)'
2
2
tg ( x / 2)
2 sin( x / 2) cos( x / 2) sin x
tg ( x / 2) cos ( x / 2)
4) y ln( x x 2 1)
Решение
y' (ln( x x 2 1))'
1
x x2 1
( x x 2 1) )'
1
x x2 1
(1
2x
2 x2 1
)
1
x x2 1
5) y e x arctgx ln 1 e 2 x
Решение
1
1
y ' (e x arctgx ln 1 e 2 x )' (e x arctgx ln( 1 e 2 x )' e x arctgx e x
2
1 x2
1 2e 2 x
1
ex
x
e (arctgx
)
2 1 e2x
1 x 2 1 e2x
x x2 1
x2 1
1
x2 1

4.

6) y
sin x
1 sin x
ln
2
cos x
cos x
Решение. Преобразуем функцию
y
sin x
1 sin x
sin x
ln
ln( 1 sin x) ln cos x
2
cos x
cos x
cos 2 x
cos x cos 2 x sin x 2 cos x( sin x)
cos x
sin x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin x
y'
1 sin x cos x
cos x(1 sin x)
cos 4 x
cos 3 x
1 sin 2 x
1
2
3
cos x cos 3 x
cos x
2. Для функции y x 2 5x 3 найти
Решение x ' 1 x ' 1
y
y x'
y
x 'y
2x 5
3. Найти производные для функций заданных неявно
1) x 3 y 3 3xy 0
Решение ( x 3 y 3 3xy)' 0
3x 2 3 y 2 y ' 3 y 3xy' 0 y '
2)e x e y 2 xy 1 0
y x2
y2 x
Решение (e x e y 2 xy 1)' 0 e x e y y' 2 xy ln 2( y xy' ) 0
(e y x 2 xy ln 2) y' y 2 xy ln 2 e x y'
3) x y y x 0
y 2 xy ln 2 e x
e y x 2 xy ln 2

5.

Решение
x y y x 0 x y y x y ln x x ln y ( y ln x)' ( x ln y)' y' ln x y / x ln y ( xy' ) / y
(ln x x / y ) y ' ln y y / x y '
ln y y / x
ln x x / y
Примеры для самостоятельного решения.
1.
Продифференцировать функции
1. y x ( x 3 x 1) 2. y 3 1 3. y 1 tg( x 1 ) 4.
1 x
5.
9.
2
x 3
y ln arctg 1 x 6. y ln sin
4
10.
y th(ln x)
1 x
y arctg
1 x
2
3
x
7.
y 2
x
ln x
y
8.
14
arcsin
2
y ln sin 3 arctge 3 x
2. Найти производную обратной функции
4
1. y 1 x 4 ...Выразить.. dx ..через..х; через.. y 2. x y 3 4 y 1.Найти.. dx
dy
dy
1 x
3. Найти производные от функций y, заданных неявно
1. y 1 xe y 2. x sin y cos y cos 2 y 0 3. tg y 1 k tg x
2
1 k
x 2 2x
2
4. y x arctgy