Похожие презентации:
Производные основных элементарных функций, сложных, обратных функций заданных неявно, параметрически (Лекция 9)
1. Лекция 9. Производные основных элементарных функций, сложных, обратных, функций, заданных неявно, параметрически.
12.
23.
34.
45.
56.
67.
78.
89.
910.
1011.
1112.
1213.
1314.
1415.
1516.
1617.
1718.
1819.
1920.
2021.
2122.
2223.
2324.
Понятие функции, заданнойпараметрически.
Определение. Пусть заданы уравнения:
x=Φ(t)
(2) ,
y=Ψ(t)
где t T– промежутки, причём функция
x = Φ ( t ) имеет обратную функцию x = Φ -1 ( x),
тогда определена функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) ) =
=ɸ ( x ) – эта функция называется функцией ,
заданной параметрически уравнениями (2).
24
25.
x = sin tПример. Пусть
, t [ ; ] ,
y = cos t
2 2
t= arcsin x , т.к. на [ ; ] sin имеет обрыв
2 2
y= cos(arcsin x) 1 x 2
( …), т.к.
y > cos(arcsin x) > 0 на [ ; ] .
2 2
25
26.
Теорема (о производной функции, заданнойпараметрически). Пусть функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) )
задана параметрически уравнениями
x=Φ(t)
, t T , причём функции Φ ( t )
y=Ψ(t)
и Ψ ( t ) дифференцируемы в некоторой точке t0 и
Φ (t0) ≠ 0. Тогда функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) )
дифференцируема в точке x0 и её производная
dy
может быть найдена по формуле:
dy dt
(t 0)
dx
y x (x0)=
,т.е.
dx
Ф(t 0)
26
dt
27.
ДоказательствоРассмотрим функцию y = Ψ (Φ -1 ( x ) ). Она
является композицией двух функций. Её
производная в точке x0 :
t' (t 0) ' (t 0)
=
y x (x0)= Ψt (t0) t x (x0) =
(*)
Фt' (t 0) Ф' (t 0)
Равенство (*) справедливо в силу теоремы
о производной обратной функции.
27