Метод комплексных амплитуд

1. Дисциплина: Основы теории цепей

2. Лекция №3

Тема: Метод
комплексных
амплитуд

3. Учебные вопросы

1. Основные характеристики гармонических
токов и напряжений.
2. Основы метода комплексных амплитуд.
3. Комплексное сопротивление пассивного
двухполюсника. Закон Ома в комплексной
форме.
4. Комплексная схема замещения цепи.
Законы Кирхгофа в комплексной форме.
5. Идеализированные пассивные элементы
при гармоническом воздействии.

4. Литература

1. Попов В.П. Основы
теории цепей: Учебник
для вузов спец.
"Радиотехника".-М.:
Высшая школа, 2007, с.
65-95.

5.

Примеры периодических
токов Периодический ток –
Переменный ток –
это ток, значение
которого изменяется
с течением времени.
это переменный ток,
мгновенное значение
которого повторяется
через равные
промежутки времени.
Период электрического тока – наименьший интервал времени, по
истечении которого значение периодического электрического тока
повторяется.

6. График гармонического тока

График гармонического
i (t ) I cos( t ) I sin( t
тока
m
I
m
i
m
'
i
)
- амплитуда
i
- начальная
фаза тока
- циклическая
частота
- круговая
частота

7. Графики гармонического тока и напряжения

u i
- сдвиг по фазе между напряжением
и током

8. Характеристики переменного тока

Среднее значение периодического
тока за период
T
1
I cp i(t )dt
T0

9. Действующее(эффективное) значение периодического тока

численно равно значению постоянного тока I,
при протекании которого за время Т, равное
периоду, выделяется такое же количество
энергии, как и при протекании тока i(t)
Действующим значением
периодического тока
называется
среднеквадратическое
значение тока за период.
I
1
T
T
I
m
sin
(
t
)
dt
i
0 I m
2
2
2

10. Способы представления гармонических токов и напряжений:

1) с помощью временных диаграмм;
2) с применением векторных диаграмм;
3) с использованием комплексных чисел.
A a jb

11. Представление гармонического тока вращающемся вектором

12. Суммирование токов

с помощью временной
диаграммы
с помощью
векторной
диаграммы

13. Сущность метода комплексных амплитуд

Символический метод комплексных
амплитуд (комплексный метод) основан на
представлении гармонических функций
времени в виде комплексных чисел.
При использовании комплексного метода
алгебраически интерпретируется векторная
диаграмма.
Автор метода – инженер Штейнмец Ч.П.
(США) – 1893 г.,
развил в России академик Миткевич В.Ф.

14. Понятие о комплексных числах

A a jb
a Re[ A]
b I m [A]
A a b
2
2
b
tg
a
a Re[ A] A cos
A A cos j sin e j cos j sin
b Im[ A] A sin
A A e j

15. Формы записи комплексных чисел

Тригонометрическая
A A
cos
j sin
Алгебраическая
A a jb
Показательная
A Ae
j

16. Действия с комплексными числами

A a jb A e j a
B c jd B e j b
A B Ae
j A
Be
j B
A B (a jb) (c jd ) (a c) j(b d ),
A B (a jb) (c jd ) (a c) j(b d )
A Be
j ( A B )
A [ A e j A ]n [ A ]n e jn A
j A
A
e
A j ( A B )
A
;
e
;
j B
B Be
B
n
j j sin(
2
) e
j
2
j A A e
j
2
Ae
j ( A )
2
, j A A e
1A Ae j A e j ( B )
j
2
Ae
j ( A )
2
,

17. Комплексный мгновенный синусоидальный ток есть комплексная величина, зависящая от времени, модуль которой равен амплитуде, а

аргумент - и
аргументу заданного синусоидального тока.
Синусоидальному току
i I m cos( t i )
соответствует вращающийся вектор
Im
Вращающемуся вектору тока ,
помещённому на комплексную
плоскость соответствует комплексное
число

18. Комплексная амплитуда и комплексный действующий ток

Комплексная амплитуда
синусоидального тока есть
комплексная величина, модуль
которой равен амплитуде, а
аргумент – начальной фазе данного
синусоидального тока.
а)
б)
а)- комплексная
амплитуда тока;
б)- комплексный
действующий ток.
Комплексный действующий
синусоидальный ток есть комплексная
величина, модуль которой равен
действующему значению
синусоидального тока, а аргумент –
начальной фазе этого тока.

19. Пример. Пусть имеется гармонический ток

i(t ) 5 cos( t 53 ) A
Записать его комплексный мгновенный ток, комплексную
амплитуду и комплексный действующий ток.
- комплексный мгновенный ток
Im
Комплексная амплитуда тока:
j 53
– в показательной форме;
5e A
I m (5 cos 53 j5 sin 53 ) A
I m (3 4 j ) A
5 j 53
I
e A
2
5
I (
2
– в тригонометрической форме;
– в алгебраической форме.
Комплексный действующий ток:
– в показательной форме;
cos 53 j
5
– в тригонометрической форме;
sin 53 ) A
2
3
4
I (
j
) A – в алгебраической форме.
2
2

20. Сложение комплексных токов

I 3 a3 jb3 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) I 1 I 2
Геометрической сумме векторов синусоидальных
электрических величин соответствует
алгебраическая сумма комплексных чисел,
изображающих эти векторы.

21. Дифференцирование и интегрирование гармонических функций

di
I m sin( t i ) I m cos( t i )
dt
2
Im
Im
idt sin( t i ) cos( t i 2 )
idt e
Im
j ( t i
2
)
Im
e
j ( t i )
e
j
2
i
idt j

22. Выводы

1. Операции дифференцирования (интегрирования)
синусоидальных функций можно заменить
алгебраич. операциями умножения (деления)
комплексных мгновенных значений (комплексных
амплитуд) этих функций на jw.
2. При переходе от синусоидальных электрических
величин (оригиналов) к их символам (комплексным
числам) удаётся полностью алгебраизовать все
операции над синусоидальными электрическими
величинами.
3. Это позволяет существенно упростить анализ
линейных цепей синусоидального тока, т.к. даёт
возможность заменить систему интегро-дифференц.
уравнений цепи, составленную для мгновенных
значений токов и напряжений, системой
алгебраических уравнений для комплексных
амплитуд соответствующих токов и напряжений.

23. Комплексное сопротивление пассивного двухполюсника

u
2U cos( t u ) U m cos( t u )
Z
Um
Im
j u
U me
U m j ( u i )
e
j i
I me
Im
Z Ze j
Z r jx
Z Z cos jZ sin
Z
Um
Im
U
I
-модуль комплексного
сопротивления (полное
входным сопротивление)
u i

24. Закон Ома в комплексной форме

Георг Симон Ом
1789 – 1854

25. 1 закон Кирхгофа в комплексной форме:

Густав Роберт
Кирхгоф
1824 - 1887
I
mk
0
k
I
k
k
0
сумма комплексных
амплитуд
(комплексных
действующих
значений) токов всех
ветвей, подключённых
к каждому из узлов
электрической цепи,
равна нулю.

26. 2 закон Кирхгофа в комплексной форме:

U
n
Густав Роберт
Кирхгоф
1824 - 1887
E
j
j
IiZi
i
mn
0
U
n
0
n
сумма комплексных амплитуд
(комплексных действующих значений)
напряжений всех ветвей, входящих в
замкнутый контур электрической цепи,
равна нулю (1-я формулировка)
сумма комплексных ЭДС,
действующих в замкнутом контуре
электрической цепи, равна сумме
комплексных падений напряжений на
комплексных сопротивлениях
участков этого контура (2-я
формулировка)

27. Резистивный элемент при гармоническом воздействии

u R U mR cos( t u ) 2U R cos( t u )
iR
UR
R
2U R
cos( t u ) 2 I R cos( t i )
R
i R I mR cos( t i ) 2I R cos( t i )
Ток и напряжение линейного
резистивного элемента
совпадают по фазе:
u i
IR
UR
R

28. Резистивный элемент при гармоническом воздействии (продолжение)

I R I R e j i
U R j u
e
R
U R U R e j U
ВЫВОДЫ. 1. Модуль комплексного сопротивления:
Z ZR
UR
R
IR
;
2. Ток и напряжение совпадают по фазе, аргумент
комплексного сопротивления;
;
R u i 0
3. Комплексное входное сопротивление резистивного элемента
содержит только вещественную составляющую:
,
xR 0
r R
R

29. Индуктивный элемент при гармоническом воздействии

il I ml cos( t i ) 2I L cos( t i )
Ul L
dil
d [ 2 I L cos( t i )]
L
L 2 I L sin( t i )
dt
dt
2 LI L cos( t i
U L LI L
2
) 2U L cos( t u )
U L 2U L cos( t u ) U mL cos( t u )
Напряжение линейного
индуктивного элемента
опережает ток по фазе
на угол π/2:
u i
2

30. Индуктивный элемент при гармоническом воздействии

j i
I L I Le ;
U L U L e j u LI L e
j ( i )
2
U L LI L e
ZL
IL
I L e j i
j ( i )
2
Le
j
2
.
j L
ВЫВОДЫ. 1. Модуль комплексного сопротивления:
Z Z L L;
;
2. Начальная фаза напряжения на π/2 больше начальной фазы
тока
;
L
;
2
3. Комплексное входное сопротивление резистивного элемента
содержит только мнимую составляющую:
,
r 0
x L
L
L

31. Ёмкостной элемент при гармоническом воздействии

U c U mc cos( t u ) 2U c cos( t u )
ic C
du c
d [ 2U c cos( t u )]
C
c 2U c sin( t u )
dt
dt
2 cU c cos( t u
2
) 2 I c cos( t i )
I c cU c ic 2I c cos( t i ) I mc cos( t i )
Ток линейного ёмкостного
элемента опережает
напряжение по фазе на
угол π/2:
i u
2

32. Ёмкостный элемент при гармоническом воздействии

U c U ce
j u
I C I C e j i CUC e
U
Zc c
Ic
U c e j u
cU c e
j ( u )
2
j ( u )
2
1 j2
1
j
e
c
j c
c
ВЫВОДЫ. 1. Модуль комплексного сопротивления:
1
Zc
;
;
с
2. Начальная фаза тока на π/2 больше начальной фазы
напряжения
;
c ;
2
3. Комплексное входное сопротивление ёмкостного элемента
содержит только мнимую составляющую:
,

33.

Спасибо
за работу и внимание!
Конец урока