Гармонические функции

1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

a (t ) Am cos( t ) Am sin( t ),
Am
- амплитуда
t
/ 2
- мгновенная фаза (фаза)
- начальная фаза
d dt - угловая частота
T - период
f 1 T - частота
T 2
T 2
2 T 2 f

2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1
Aср
T
Aср в
t 0 T
1
T
a(t )dt
t0
- среднее значение периодической
функции a(t) за период Т
t 0 T
a(t ) dt
t0
- средневыпрямленное значение
периодического тока или напряжения
за период Т
Aср в 2 Am 0,637 Am

3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1
A
T
t 0 T
2
a
t
dt
t0
- действующее значение периодической
функции a(t) за период Т
Am
A
0,707 Am
2
i=i(t), u=u(t), j=j(t), e=e(t)
I, U, J, E
I m , U m , J m , Em

4. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Разработан в конце XIX века американскими инженерами
Ч.П. Штейнметцем и А. Е. Кеннели.
Метод комплексных амплитуд основан на идее функционального
преобразования, при котором операции над исходными
функциями (оригиналами) заменяются более простыми
операциями над некоторыми новыми функциями, так
называемыми изображениями или символами исходных
функций. Методы такого типа будем называть символическими.

5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Решение любой задачи символическими методами содержит, как
правило, следующие основные этапы;
1) прямое преобразование, в результате которого осуществляется
переход от исходных величин (оригиналов) к их символам
(изображениям);
2)
определение изображений искомых величин путем
выполнения по специально установленным правилам операций
над изображениями;
3)
обратное преобразование, с помощью которого переходят
от изображений искомых величин к оригиналам.

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ

Мгновенный или текущий комплекс
a Am e j t Am cos t j sin t
Im
Am sin t
a
a a e j t
t
Re
Am cos t

7. КОМПЛЕКСНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ

Im
a
Am sin t
t
Am cos t
2 Am cos t
Re
Am sin t

8. КОМПЛЕКСНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ

.
j
Am a |t 0 Am e - комплексная амплитуда гармонической
функции времени
Комплексная амплитуда гармонической функции времени a t Am cos t
представляет собой комплексное число, модуль которого равен амплитуде Am
рассматриваемой функции, а аргумент — ее начальной фазе
Геометрически комплексная амплитуда может быть представлена в виде
неподвижного вектора, расположенного под углом
к вещественной оси, длина которого в определенном масштабе равна Am

9. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ ПАССИВНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

.
i 2 I cos t i ,
u 2U cos t u .
Комплексным входным сопротивлением (комплексным
сопротивлением) Z пассивного участка цепи называется
отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах
участка цепи к комплексной амплитуде тока:
Z U m / I m
Z U m / I m 2U / 2I U / I

10. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ ПАССИВНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

Z ze
.
j
Z r jx
z Z
r
x
U m e j u U m j u i U j u i
Z
e
e
j i
Im
I
I me
z Um / Im U / I
u i
r Re Z z cos ; x Im Z z sin

11. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ ПАССИВНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

Y 1/ Z - комплексная входная проводимость участка
.
цепи
Y I m / U m I / U
Y 1/ Z e
j
/ z ye
Полная входная проводимость цепи
y 1/ z I m / U m I / U
j

12. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ ПАССИВНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

.
Y g jb 1 / r jx r jx / r 2 x 2
Z r jx 1 / g jb g jb / g 2 b 2
g r / r 2 x2 ; r g / g 2 b2
b x / r 2 x 2 ; x b / g 2 b 2

13. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА И КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

U m ZI m ; I m YU m
.
U ZI ; I YU
I
0; I k 0
mk
k
k
U
U
i
mi
m
0; U 0
E mj ; U i E j
j
i
j

14. ПОРЯДОК АНАЛИЗА ЦЕПИ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

1)
замена гармонических токов и напряжений всех ветвей их
.
комплексными изображениями (комплексными амплитудами или
комплексными действующими значениями), а схемы замещения
цепи для мгновенных значений — комплексной схемой
замещения;
2)
составление уравнений электрического равновесия цели
для комплексных изображений токов и напряжений на основе
законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;
3)
решение системы уравнений электрического равновесия
относительно комплексных изображений интересующих токов и
напряжений;
4)
переход от комплексных изображений интересующих
токов и напряжений к их оригиналам.

15. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

u R 2U R cos t u
Определим
iR u R / R
iR ,
ZR
2U R cos t u / R
iR 2I R cos t i
u i
pR u R iR 2U R I R cos 2 t
IR UR / R
pR U R I R U R I R cos 2 t

16. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Мгновенная
мощность
резистивного элемента всегда
положительна, обращается в нуль в
точках, где ток и напряжение равны
нулю, и достигает максимума в
моменты времени, когда ток и
напряжение
максимальны
по
абсолютному значению.

17. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

T
URIR T
1
1 cos 2 t dt U R I R
PA Pср p R dt
T0
T 0
Активная мощность численно равна
постоянной составляющей мгновенной
мощности и характеризует среднюю за
период скорость потребления энергии от
источника.
t
wR t wR 0 U R I R 1 cos 2 t dt
0
wR 0 U R I R t
URIR
sin 2 t sin 2
2

18. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

U
I R I R e j i R e j u
R
U R U R e j u
Z R U R / I R R
Z R z R e j R rR jxR
YR 1 / Z R 1 / R

19. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

uC 2U C cos t u
Определим
iC C
iC ,
ZC
duC
C 2U C sin t u 2 CU C cos t u / 2
dt
iC 2I C cos t i
i u / 2
ток емкости опережает по фазе напряжение на 900
I C CU C

20. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

p C u C iC
2U C cos t u 2 I C cos t u / 2
2U C I C cos t u sin t u U C I C sin 2 t u .
В течение половины периода изменения
мощности ток и напряжение емкости имеют
одинаковый знак (емкость заряжается), при
этом мгновенная мощность емкости
положительна. В течение второй половины
периода емкость отдает запасенную энергию
(разряжается), при этом ток и напряжение
емкости имеют различные знаки, а
мгновенная мощность емкости отрицательна.
Среднее значение мощности емкости за
период (активная мощность) равно нулю:
T
1
PA pC dt 0
T0

21. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

wC CuC2 / 2 CuC2 cos 2 t u CuC2 1 cos 2 t u / 2.
Энергия, запасенная в емкости, достигает максимального значения в те
моменты времени, когда напряжение на емкости максимально по
абсолютному значению.
Ёмкость периодически обменивается энергией с остальной частью
цепи, причем энергия, запасенная в емкости, является
неотрицательной величиной. Емкость не содержит внутренних
источников энергии и поэтому в процессе разрядки не может отдать
больше энергии, чем она получила от остальной части цепи в процессе
зарядки.

22. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

I C I C e j i CU C e j u / 2 ;
U C U C e j u
U C
1 j / 2
ZC
e
1 / j C j / C
I
C
C
YC 1 / Z C Ce j / 2 j C
Z C zC e j C rC jxC ;
YC yC e j C g C jbC
zC 1 / C ; yC C; C / 2; C / 2; g C 0; rC 0; xC 1 / C ; bC C

23. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

iL 2 I L cos t u
Определим
uL L
uL ,
ZL
diL
L 2 I L sin t u 2 LI L cos t i / 2
dt
iL 2U L cos t u
u i / 2 ток индуктивности отстает по фазе от напряжения на 900
U L LI L

24. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

p L u L iL
2U
L
cos t u 2 I L cos t i
U L I L sin 2 t i .
Среднее значение мощности индуктивности
за период (активная мощность) равно нулю:
T
1
PA pL dt 0
T 0
LiL2 LiL2
1 cos 2 t i
wL
2
2

25. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

I I e j i
L
L
U L U L e j u LI L e j i / 2
Z L U L / I L Le j / 2 j L
1
YL
e j / 2 / L 1 / j L j / L
ZL
Z L z L e j L rL jxL
YL y L e j L g L jbL
z L L
rL 0
y L 1/ L
gL 0
L / 2
xL L
L / 2
bL 1/ L

26. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

u 2U cos( t u )
i 2I cos t i
i I Ie
j i
; u U Ue j u
U U R U L
I I R I L
U R Z R I R
U L Z L I L
Z R R, Z L j L

27. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

U Z R Z L I ZI
Z Z R Z L R j L
arctg L / R
z R 2 L
2
I U / Z Ue j u / ze j Ue j u / z
i 2
0 /2
I U / z; i u
U
U
L
cos t u 2
cos t u arctg
2
2
z
R
R L

28. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

U U R U C ; U R Z R I R ;
I I R I C ; U C Z C I C
I U / Z R Z C U / Z
Z Z R ZC
Z Z R Z C R j / C ze j
z R 2 1 / C ;
2
arctg 1 / RC
U
I e j u
z
U
R 2 1 / C
2
e j u arctg 1 / RC

29. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ RLC-ЦЕПЬ
САМОСТОЯТЕЛЬНО

30. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ RLC-ЦЕПЬ
САМОСТОЯТЕЛЬНО

31. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ ПАССИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА
u 2U cos t u , i 2I cos t i

32. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ ПАССИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА
p ui 2UI cos t u cos t i
UI cos UI cos 2 t u i ,

33. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ ПАССИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА
Мгновенная
мощность
пассивного
двухполюсника
содержит постоянную составляющую