Сложное движение точки. (Лекция 4, кафедра теоретической механики)

1.

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный
Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 4.
Сложное движение точки.
Кафедра теоретической механики

2. План лекции

Введение.
Абсолютное, относительное и переносное
движение.
Теорема о сложении скоростей.
Теорема о сложении ускорений.
Рекомендации к решению задач.
Заключение.

3. На прошлых лекциях

Мы уже изучили:
-кинематику точки
-кинематику твердого тела (поступательное,
вращательное и плоское движение)
Тема сегодняшней лекции:
Сложное движение точки
Определение. Сложным
называется такое движение
точки М, при котором она
движется по телу D, а само
тело D тоже движется.

4. Цель лекции

Зная движение точки по телу и
движение самого тела определить
скорость и ускорение точки.

5.

Абсолютное, относительное и переносное движения
Движение точки M относительно
неподвижной системы отсчета
Oxyz называется
абсолютным
( “a”- absolut, v a , aa - абсолютные
скорость и ускорение).
Движение точки M относительно
тела D (т.е в системе O1x1y1z1
относительным (“r”- relation,
v r , ar - относительные скорость и ускорение).
Движение тела D в системе Oxyz
называется
переносным ( “e”- enduse, v e , ae , e - переносные скорость, ускорение, угловая скорость).

6.

Основная задача
Дано:
1. Относительное движение точки M.
2. Переносное движение тела D.
Определить: скорость и ускорение абсолютного
движения точки.
Напишем ответ:
(*)
va vr ve
aa ar ae ac (**)
ac 2 e v r ,
v e , ae скорость и ускорение той точки тела,
в которой находилась точка M для данного t

7.

Доказательство формулы (*) для плоского случая
dr drO dr1
dr1
va
v O1
;
dt
dt
dt
dt
dr1
r1 x1i1 y1 j1
( x 1i1 y 1 j1 )
dt
di1
dj1
di1
dj1
( x1
y1 ) v r ( x1
y1 )
dt
dt
dt
dt
di1 dO1 A1
O1 A1 i1
dt
dt
v a v r (v O1 ω (x 1 i1 y1 j1 )
v r (v O1 ω r1 )
va vr ve

8.

Доказательство формулы (**) для плоского случая
v a v r (v O1 ω r1 )
dv
d r1
dv a dv r
O1
aa
ε e r1 ωe ;
dt
dt
dt
dt
dv r d
di1
dj1
( x 1i1 y 1 j ) ( x 1i1 y 1 j ) ( x 1
y 1 )
dt dt
dt
dt
ar e ( x 1i1 y 1 j ) ar e v r ;
d r1
v r e r1
dt
aa ar (aO1 ε r1 e ( e r1 ) 2 e v r ;
aa ar ae ac , ac 2 e v r ;

9.

Формулы сложения скоростей и ускорений
Таким образом:
va vr ve
a a a r a e ac
ac 2 e v r ,
(*)
(**)
vr
ac 2 e v r sin ,
ac
v a v v 2v r v e cos ;
угол между v r и v e
2
r
2
e
aa a a a
2
ax
2
ay
e
2
az
Еще рис.

10. Рекомендации к решению задач

1. Решить
в подвижной системе координат и
задачу
найти vr , ar . На этом этапе мы мысленно
останавливаем тело.
2. Найти скорость и ускорение переносного движения.
На этом этапе
нужно “прикнопить” точку к телу .
Тогда v e , ae - это скорость и ускорение “кнопки”.
3. Найти модуль
кориолисова ускорения
и направление
ac 2 e v r ; ac 2 e v r sin
4. Найти абсолютную скорость
и абсолютное
ускорение
va v r ve ; aa ar ae ac
по формулам

11. Пример

Конус вращается по закону 0,125t 2
Точка M движется по образующей
y
с постоянной скоростью v1
a en
При t 0 : M O; 30
Определить v a , a a .
Решение
v 0.
1. v r OM v1; a r OM
1
0,25
2. e 0,25t , e
O
v ea e x
K
x
1
M
x
vr
А
v e e KM 2 OM sin e v1t sin
2
2
a en e KM e v1t sin ; a e e KM e v1t sin ;
3. a c 2 c v r sin 150 ;
4. v a v r v e ; v a v 2r v e2 v1 1 ( et sin ) 2
.
n
2
n 2
aa ar ae ac ae ae ac ; aa (ae ac ) (ae )

12. Заключение

Заключение
1. Определены понятия абсолютного, относительного и переносного движений.
2. Выведены формулы для расчета абсолютной
скорости и абсолютного ускорения.
3. Даны рекомендации к решению задач на сложное
движение точки.
4. Приведены примеры расчета.

13. Контрольные вопросы к лекции

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы для самоконтроля
В каких случаях целесообразно движение
рассматривать как сложное?
Какое движение называется абсолютным?
Какое движение называется относительным?
Какое движение называется переносным?
Как найти скорость относительного движения?
Что такое угловая скорость?
Что такое угловое ускорение?
Чему равна скорость изменения единичных
векторов при вращательном движении системы
координат?
Сформулируйте и запишите теорему о сложении
скоростей.

14. Контрольные вопросы к лекции

Вопросы для самоконтроля
10. Как определяется переносная скорость точки?
11. Сформулируйте и запишите теорему о сложении
ускорений.
12. Как определить относительное ускорение точки?
13. Из чего складывается переносное ускорение
точки?
14. Что такое ускорение Кориолиса?
15. Когда ускорение Кориолиса равно нулю?

15. Тема следующей лекции

Сферическое и произвольное
движение точки