Похожие презентации:
Нахождение экстремума функции нескольких переменных. (Тема 16.8)
1.
Рассмотрим нахождение экстремума функциинескольких переменных не на всей области
определения, а на множестве, удовлетворяющему
некоторому условию.
Пусть задана функция z=f(x,y), аргументы которой
удовлетворяют уравнению
g ( x, y ) C
2.
Точка (х0,у0) называется точкой условногоэкстремума (максимума или минимума),
если существует такая окрестность этой
точки, что для всех точек (х,у) из этой
окрестности, удовлетворяющих условию
g(x,y)=C, выполняется неравенство:
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)
3.
Чтобы найти условный экстремум, нужно изуравнения связи выразить одну переменную
через другую:
y=φ(x).
Подставим это выражение в функцию двух
переменных и получим функцию одной
переменной:
z=f(x,y)=f(x, φ(x)).
Ее экстремум и будет условным экстремумом
функции z=f(x,y).
4.
z f ( x, y )z
x
y
( x0 , y0 )
( x, y )
g ( x, y ) C
5.
Найти точки максимума и минимумафункции
z x 2y
2
2
при условии 3х+2у=11.
6.
3 x 2 y 1111 3 x
y
2
11 2
11 3 x
z x 2
x 6 x 11
2
2
2
2
z 11 x 3
x0 3
y0 1
условный минимум
7.
В этом примере связь между х и у оказаласьлинейной, поэтому уравнение связи легко
разрешилось
относительно
одной
из
переменных.
Но в некоторых случаях это сделать довольно
сложно. Поэтому в общем случае для
нахождения условного экстремума используется
Рассмотрим функцию трех переменных:
8.
L ( x, y , ) f ( x, y ) ( g ( x, y ) C )9.
Если точка (х0,у0) является точкойусловного экстремума функции z=f(x,y)
при условии g(x,y)=C, то существует
значение λ0, такое что точка
(х0,у0,λ0) является точкой экстремума
функции L(x,y,λ).
10.
Следовательно,для
нахождения
условного
экстремума функции z=f(x,y) при условии
g(x,y)=C, требуется найти решение системы:
Lx f x ( x, y) g x ( x, y) 0
L y f y ( x, y) g y ( x, y) 0
L g ( x, y) C 0
11.
Последнее уравнение совпадает с уравнениемсвязи.
Первые два уравнения можно записать в виде:
gradf gradg
То есть в точках условного экстремума
градиенты функций f(x,y) и g(x,y)
коллинеарны.
12.
Рассмотрим геометрическийЛагранжа:
y
смысл
теоремы
gradf
f ( x, y ) Q
gradg
g ( x, y ) C
x
В точке условного экстремума линия уровня
функции z=f(x,y) касается линии g(x,y)=C.