Расчет упругой прямоугольной балки-стенки методом конечных разностей (Задача № 1)

1.

Расчет упругой
прямоугольной балки-стенки
методом конечных разностей
(задача № 1)
1

2.

Пример. Для заданной балки-стенки единичной толщины, построить
эпюры нормальных и касательных напряжений.
2

3.

Определяем опорные реакции
Fy 0; 40 6 2 q 1,5 0
кН
q 80
м
3

4.

Наносим на поверхность балки-стенки сетку с шагом
и нумеруем узлы сетки с учетом симметрии.
x y 1,5 м
4

5.

Определяем значения функции напряжений в контурных и в
законтурных точках использую рамную аналогию.
Строим эпюры: изгибающих моментов «M» и продольных сил «N» в
любой статически определимой раме, имеющей очертание контура
балки-стенки.
5

6.

6

7.

ВЧ
M Ш
0; YB 6 40 6 3 0
YB 120 кН
Fy 0; YB YН 40 6 0
YН 120 кН
НЧ
M Ш
0; X Н 6 60 4,5 0
X Н 45 кН
Fx 0; X B X Н 60 0
X В 15 кН
7

8.

Проверяем равновесие нижней части
Fx 0; 60 15 45 0
Fy 0; 2 80 1,5 120 120 0
M В 0; 60 4,5 80 1,5 0,75 80 1,5 5,25 120 6 45 6 0
8

9.

Значения функции напряжений в контурных точках
к M к
I 180 кНм
IV 22,5 кНм
VII 0
II 135 кНм
V 45 кНм
VIII 90 кНм
III 0
VI 67,5 кНм
IX 90 кНм
9

10.

Значения функции напряжений в законтурных точках
зк пк 2 t N к
здесь
t x или y
10

11.

a 1 2 y N I 1 2 1,5 ( 15) 1 45
b 2 2 y N II 2 2 1,5 ( 15) 2 45
c 2 2 x N IV 2 2 1,5 ( 120) 2 360
11

12.

d 4 2 x N V 4 2 1,5 ( 120) 4 360
e 6 2 x N VI 6 2 1,5 ( 120) 6 360
f 6 2 y N VIII 6 2 1,5 ( 45) 6 135
g 5 2 y N IX 5 2 1,5 ( 45) 5 135
12

13.

Записываем уравнение совместности деформаций в конечных
разностях для точек внутри контура балки-стенки с использованием
шаблона
x y
13

14.

Точка 1
20 1 8( I 2 3 2 ) 2( II II 4 4 )
a IV 5 IV 0
14

15.

Точка 2
20 2 8( II IV 4 1 ) 2( I III V 3 )
b c 6 2 0
15

16.

Точка 3
20 3 8( 1 4 5 4 ) 2( 2 2 6 6 )
I V IX V 0
16

17.

Точка 4
20 4 8( 2 V 6 3 ) 2( 1 IV VI 5 )
II d VIII 4 0
17

18.

Точка 5
20 5 8( 3 6 IX 6 ) 2( 4 4 VIII VIII )
1 VI g VI 0
18

19.

Точка 6
20 6 8( 4 VI VIII 5 ) 2( 3 V VII IX )
2 e f 6 0
19

20.

После подстановки значений функции напряжений в контурных и в
законтурных точках балки-стенки, получаем следующую систему
уравнений
21 16 8 4
1
0 1
900
8 23
2 8 0
1 2 1215 2
8 4
20 16 8 4 3 360
2 8 8 22
2 8 4
315 2
1
0
8 4
21 16 5
360
0
1
2 8 8 23 6 1485 2
Приводим систему уравнений к симметричному виду.
Если система уравнений к симметричному виду не приводится, то
ищем ошибку в расчетах.
20

21.

Симметричная система линейных алгебраических уравнений
21 16 8
4
1
0 1
900
16 46
4 16 0
2 2 2430
8
4
20 16 8
4 3 360
4 16 16 44
4 16 4
630
1
0
8
4
21 16 5
360
0
2
4 16 16 46 6 2970
Решаем систему уравнений на ЭВМ и находим величины функции
напряжений в узлах сетки.
21

22.

Значения функции напряжений в узлах сетки.
1
2
3
198,97
156,28
203,76
кНм
4 169,35
5 174,74
6 159,74
22

23.

Строим эпюру
x
в сечении
a-g
x ,С
В 2 С Н
2
2
y C
y 2
23

24.

Точка I
x ,I
a 2 I 1 (198,97 45) 2 180 198,97
3,138 кПа
2
2
y
1,5
24

25.

Точка 1
I 2 1 3 180 2 198,97 203,76
x ,1
6,302 кПа
2
2
y
1,5
25

26.

Точка 3
x ,3
1 2 3 5 198,97 2 203,76 174,74
15,027 кПа
2
2
y
1,5
26

27.

Точка 5
x ,5
3 2 5 IX 203,76 2 174,74 90
24,764 кПа
2
2
y
1,5
27

28.

Точка IX
x,IX
5 2 IX g
y 2
174,74 2 90 (174,74 135)
2
1,5
15,324 кПа
28

29.

29

30.

Проверка расчета
3,138 6,302 6,302 15,027
Fx 0; 60 1,5
2
2
15,027 24,764 24,764 15,324
0
2
2
30

31.

M IX 0; 40 3 1,5 80 1,5 2,25
60 1,5 3,138 1,5 3,5 1,5
6,302 3,138
1
1,5 (3 ) 1,5
2
3
6,302 1,5 2,5 1,5
15,027 6,302
1
1,5 (2 ) 1,5
2
3
15,027 1,5 1,5 1,5
24,764 15,027
1
1,5 (1 ) 1,5
2
3
24,764 15,324
1
24,764 1,5 0,75
1,5 1,5 368,11 375,03
2
3
6,92
31

32.

Погрешность расчета
6,92
100% 1,8%
375,03
32

33.

Строим эпюру
y
в сечении
d-d
y ,С
П 2 С Л
2
2
x C
x 2
33

34.

Точка V
y ,V
4 2 V d 169,35 2 45 (169,35 360)
2
2
x
1,5
49,467 кПа
34

35.

Точка 4
y,4
3 2 4 V 203,76 2 169,35 45
39,973 кПа
2
2
x
1,5
35

36.

Точка 3
y ,3
4 2 3 4 169,35 2 203,76 169,35
30,587 кПа
2
2
x
1,5
36

37.

Проверка расчета
49,467
49,467
Fy 0; 40 6 1,5
39,973 30,587 39,973
2
2
240 240 0
37

38.

Определим значения касательных напряжений
квадратов и построим эпюру
xy,С
xy
в центрах
ЛВ ПН ЛН ПВ
2
x y C
x y
38

39.

Точка A
xy ,A
II 1 2 I 135 198,97 156,28 180
2
x y
1,5
1,027 кПа
39

40.

Точка B
xy,B
2 3 4 1 156,28 203,76 169,35 198,97
2
x y
1,5
3,68 кПа
40

41.

Точка C
xy ,C
4 5 6 3 169,35 174,74 159,74 203,76
2
x y
1,5
8,627 кПа
41

42.

Точка D
xy ,D
6 IX VIII 5 159,74 90 90 174,74
2
x y
1,5
6,667 кПа
42

43.

Проверка расчета
Fy 0; 40 2,25 80 1,5
Погрешность расчета
2,88
100% 2,4%
120
1
1,027 0,75
2
1,027 3,68
1,5
2
3,68 8,627
1,5
2
8,627 6,667
1,5
2
1
6,667 0,75
2
120 117,12 2,88
43

44.

Программа для расчета балки-стенки МКР
44

45.

45

46.

46

47.

47

48.

Расчет при шаге сетки
x y 0,15 м
48

49.

Напряжение σx, кПа
при Δx=1,5 м
при Δx=0,15 м
Погрешность,
%
I
- 3,138
- 1,367
56,4
1
- 6,302
- 6,414
1,7
3
- 15,027
- 18,477
18,7
5
- 24,764
- 23,126
6,6
IX
15,324
32,301
52,6
Узел
49

50.

50

51.

Напряжение σy, кПа
при Δx=1,5 м
при Δx=0,15 м
Погрешность,
%
V
- 49,467
- 46,559
5,9
4
- 39,973
- 40,461
1,2
3
- 30,587
- 27,818
9,1
Узел
51

52.

52

53.

Напряжение τxy, кПа
при Δx=1,5 м
при Δx=0,15 м
Погрешность,
%
A
- 1,027
- 0,845
17,7
B
- 3,68
- 4,422
16,8
C
- 8,627
- 10,223
15,6
D
- 6,667
- 5,523
17,2
Узел
53