Прямая в пространстве

1. Прямая в пространстве

Каноническое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой, как линии пересечения двух
плоскостей
Угол между двумя прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Условие принадлежности двух прямых одной
плоскости
Точка пересечения прямой и плоскости

2. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая L проходит через данную точку М0(x0; y0; z0)
параллельно вектору: q m; n; p
Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в
том случае, если векторы
q m; n; p и
q
L
М0
М
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 коллинеарны
По условию коллинеарности двух векторов:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
Каноническое уравнение
прямой
q m; n; p - направляющий вектор прямой

3. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ; z1 ) и М2(х2; у2 ; z2 ).
q
М2
L М1
Тогда в качестве направляющего
вектора в каноническом уравнении
можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x x1
y y 1 z z1
y 2 n y1 z2 p z1
mx1
x2
Уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

4. Параметрическое уравнение прямой

При решении многих практических задач используют
параметрическое уравнение прямой, которое получается из
канонического уравнения:
x x0 y y 0 z z0
t
m
n
p
x mt x 0
y nt y 0
z pt z
0
x x0
m t
y y
0
t
n
z z0 t
p
Параметрическое уравнение
прямой

5. Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей

Пусть две непараллельные плоскости заданы общими уравнениями:
p1 : A1x B1y C1z D1 0
p2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
N1
p2
q
N2
p1
Эти плоскости определяют
единственную прямую в
пространстве:
A1x B1y C1z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Уравнение прямой, как
линии пересечения двух
плоскостей
L
q N1
q N2
q N1 N2

6. Пример

2x 3y z 2 0
Написать каноническое уравнение прямой:
x y z 3 0
Найдем точку, принадлежащую прямой, то есть
удовлетворяющую системе уравнений.
Пологая z равному любому числу, например, z = 0, получим:
2 x 3 y 2 0
x y 3 0
x 11
y 8
Точка M0(11; -8; 0) –
принадлежит прямой
Найдем координаты направляющего вектора прямой:
i
j
q N1 N2 2 3
k
1 4i 3 j k
1 1 1
x 11 y 8
z
4
3
1

7. Угол между прямыми

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x x 2 y y 2 z z2
L2 :
m2
n2
p2
x x1 y y 1 z z1
L1 :
m1
n1
p1
Углом между этими прямыми называется угол между
направляющими векторами к этим прямым.
q1 m1; n1; p1
q2 m2 ; n2 ; p2
cos
q2
q1
L1
L2
m1 n1 p1
L1 ll L2
m2 n2 p2
q1 q2
q1 q2
m1 m2 n1 n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0

8. Угол между прямой и плоскостью

Пусть прямая L задана
каноническим уравнением:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
Плоскость p задана общим уравнением:
Ax By Cz D 0
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой
и проекцией этой прямой на плоскость.
2
q
N
р
q N
cos(q , N ) cos( ) sin
2
q N
m A n B p C
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
L
m n p
L p
A B C
L ll p m A n B p C 0

9. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Две прямые в пространстве могут
пересекаться,
быть параллельными,
совпадать,
и скрещиваться.
В первых трех случаях прямые лежат в одной плоскости.

10. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x x 2 y y 2 z z2
L2 :
m2
n2
p2
x x1 y y 1 z z1
L1 :
m1
n1
p1
Для принадлежности двух прямых
одной плоскости необходимо и
достаточно, чтобы три вектора:
q1 m1; n1; p1
q1
L1
q2
М1
L2
q2 m2 ; n2 ; p2
M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x 2 x1
y 2 y1
z2 z1
m1
n1
p1
m2
n2
p2
0
М2
были компланарны.
Условие
принадлежности
двух прямых одной
плоскости

11. Точка пересечения прямой и плоскости

При вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости
L:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
p:
Ax By Cz D 0
следует совместно решить систему уравнений:
Ax By Cz D 0
x x
y y 0 z z0
0
m
n
p
При этом необходимо:
Записать уравнение прямой в
параметрическом виде:
К
x mt x 0
y nt y 0
z pt z
0

12. Точка пересечения прямой и плоскости

Подставить в уравнение плоскости вместо x; y; z:
A(mt x0 ) B(nt y 0 ) C( pt z0 ) D 0
Решить полученное уравнение относительно t:
Ax0 By 0 Cz0 D
t0
Am Bn Cp
Подставить t0 в параметрическое уравнение прямой:
x K mt0 x 0
y K nt 0 y 0
z pt z
0
0
K
K ( xK ; y K ; zK )

13. Пример

Найти точку пересечения прямой и плоскости.
x 1 y z 2
3
5
1
y 5z 6 0
Напишем параметрическое уравнение прямой:
Подставим в уравнение плоскости:
5t 5(t 2) 6 0
x 3t 1
y 5t
z t 2
10t 16 0 t 0 1.6
Подставим в уравнение прямой:
x 3 ( 1 . 6 ) 1
y 5 ( 1 . 6 )
z 1 . 6 2
x 3 .8
y 8
z 0 .4
K ( 3.8; 8; 0.4)