Методы решения СЛДУ

1.

Методы решения СЛДУ
n
l
x
t
Ax
t
Bu
t
,
x
R
,
u
R
,
m
y
t
Cx
t
D
t
,
y
R
,
x
t
x
0
0
СЛОДУ
x
t
Ax
t
,
x
t
x
.
0
0
Фундаментальная матрица
Рассмотрим n независимых i
векторов в качестве н. усл. x 0
x 10 i
x 20 i
, i 1, , n .
x n i0
i
i
i
i
i
x
t
Ax
t
,
x
t
x
.
x
t
,
t
t
,
T
,
i
1
,
n
,
0
0
0
1
2
n
- фундаментальная матрица
X
t
x
t
|
x
t
|
|
x
t
.
1
2
n
X
t
A
t
,
X
t
x
|
x
|
|
x
0
0
0
0
Теорема: если существует t * t 0 , T
то для любого момента t t 0 , T
det X t * 0
det X t 0
X t - невырожденная матрица
1
- переходная матрица
t
,
t
X
t
X
t
,
0
0

2.

Свойства переходной матрицы
1
t0 , t0 I .
t
,t
0
3 d
A
t
,t .
0
dt
2
det t , t 0 0.
4
1
t
,
t
t
,
t
0
0
Вычисление переходной матрицы
t
d , t 0
d d A , t0 d
t
t
t
0
0
A t t 0
t , t 0 Ie
A t t 0 A
2
t t 0 2
A
2!
Численное решение СЛОДУ
x t Ax t ,
x t 0 x 0 ,
n
t t 0 n
n!
x t e A t t 0 x0
x R n , t t 0 , T
Алгоритм численного решения СЛОДУ
ti t0 ih, i 0, , N
.
x ti 1 e Ah x ti .
A1i
I , A1 Ah
i 1 i!
N
Ряд сходится для любого h!

3.

Численное решение СЛНДУ
x t Ax t Bu t ,
x t 0 x 0 ,
x Rn , u Rl
z t t 0 , t x t
u – известно для каждого
момента времени
dz
e At 0 e At Bu t .
dt
z t z t0 tt e A t0 Bu d .
0
Решение:
x t e A t t 0 x t 0 t e A t Bu d .
t
0
Алгоритм численного решения СЛНДУ
ti t0 ih, i 0, , N
u u ti const , ti , ti h ,
t h A t 0 h
e
Bu t 0
0
x t1 e Ah x t 0 t 0
d
x ti 1 Px ti Qu ti , i 0,1, , N .
h As
0 e ds
As As 2
As n
ds
1!
2!
n!
h
0 I
Ah 2
A n h n 1
h
.
n 1 !
2!
P I A,
Q B.
[ad,bd]=c2d(a,b,h)

4.

Преобразование линейных моделей
Пространство
состояния:
«Вход-выход»
x t Ax t Bu t ,
x t0 x0 ,
y t Cx t Du t ,
x R n , u Rl , y R m ,
y n t n 1 y n 1 t 1 y 1 t 0 y t
nu n t n 1u n 1 t 1u 1 t 0u t ,
Операторная
форма
Передаточная
функция
p d dt
p y t p u t
w11 p w1l p
W p
.
w p w p
ml
m1
Оператор
Лапласа
Следует различать оператор дифференцирования и
оператор Лапласа!
Для линейных систем при нулевых начальных
условиях
Преобразование
Лапласа:
x s Is A 1 Bu s ,
s p
y s C Is A 1 B D u s ,

5.

Канонические формы ДС в пространстве состояний
y n t n 1 y n 1 t 1 y 1 t 0 y t
nu n t n 1u n 1 t 1u 1 t 0u t ,
p n y n 1 p n 1 y 1 py 0 y n p n u 1 pu 0u,
xn y n u ,
Введем
переменные:
xn 1
0 0
1 0
A 0
0 0
0
0
1
1
n 2 y n 2 u 0 y 0 u
p
p
01 0 0 0
0 0 0 n
00 0 1 1
0 1 0 bn1
, B , B , ,
1 n 2 0b nn
10 0 0 n
2
0 11
2 n
n
1
1
n 1 0 n
0 01
C C 10
0 , , DD nn.u.
Многообразие ДС
в пространстве состояния
x t Ax t Bu t ,
y t Cx t Du t .
Для произвольной невырожденной матрицы Т
T 1 x t AT 1 x t Bu t ,
y t CT 1 x t Du t .
x Tx