Системы линейных алгебраических уравнений

1.

Системы линейных алгебраических уравнений
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 ,
a x a x a x b ,
21 2
22 2
2n n
2
a n 1 a n 2 x 2 a nn x n b n .
Ax b
Основные определения
1
AA
I
Обратная матрица
Невырожденная матрица
det
A
0
Ax 0
x 0
Ax b
x 0
столбцы (строки) матрицы А линейно независимы
матрица А - полного ранга
Ax x
Собственные числа и векторы
Спектр, спектральный радиус
Норма матрицы
i in 1
A
m
i
1
i
n
A
1
2
T
A
s
A
A
.
x
n
x
R

2.

Метод Гаусса
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 ,
a x a x a x b ,
21 2
22 2
2n n
2
a n 1 a n 2 x 2 a nn x n b n .
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 ,
1 x a 1 x b 1 ,
a 22
2
2n n
2
1 x a 1 x b 1 .
a
nn n
n
n2 2
a
11
0
0
a
x1 b
12 a
1
n
1
1
1
1
a22 a2n x2 b2
n 1
x
b n 1
0 ann
n n
k=1,…n–1
i=k+1, …, n
aij 1 aij li1a1 j ,
bi 1 bi li1b1 ,
li1 ai1 a11 , i, j 2, , n
aik k 1
lik k 1 ,
akk
bi k bi k 1 lik bk k 1 ,
aij k aij k 1 lik aij k 1 ,
j=k+1, …, n
Решение
n
k
1
k
1
k
1
x
b
a
x
a
.
k
j
k
kj
kk
k
1
j
k=n, n-1, …, 1

3.

LU-факторизация
L
u11 u12 u1n
0
u
u
22
2n
U
0 0 u
nn
1
l 21
l n1
u 11
0
0
0
1
0 y 1 b1
0 y 2 b2
1 y n bn
ln 2
u 12
u
22
0
u 1n
u 2n
u nn
x1 y1
x2 y2
xn yn
1
0
l 21
1
ln 2
ln1
0
0
1
k
1
y
b
l
y
k
k
ki
i
i
1
n
1
x
y
u
x
k
k
kj
j
u
j
k
1
kk
Определитель и обратная матрица
det
A
det
LU
det
L
det
U
AX I
A
x
|
x
|
|
x
e
|
e
|
|
e
1
2
n
1
2
n
Ax
e
1
,
,n
i
i, i
Ly
e
i
i,
Ux
y
1
,
,n
.
i
i, i

4.

Обусловленность СЛАУ
0,8 x1 0,4 x 2 1,
0,79 x1 0,41x 2 .
Как оценить
обусловленность СЛАУ?
x
x
x
0
Ax b
b b0 b
1
1
x
A
b
A
b
,
x
b
1
A
A
x
b
0
0
1
A
A
cond
A
1
1
1
T
T
A
A
A
A
A
A
ma
A
A
i
1
i
n
T
T
1
1
1
1
1
A
A
A
m
.
T
T
1
i
n
A
A
m
A
A
i
i
1
i
n
T
max
A
A
i
1
1
i
n
cond
A
A
A
T
1
min
A
A
i
1
i
n

5.

Определение собственных чисел
ХП:
nn
1
p
s
det
Is
A
s
p
s
p
s
p
,
n
1
1
0
n n
1
Теорема Гамильтона-Кэли: A
p
A
p
A
p
I
0
.
n
1
1
0
Алгоритм А.Н. Крылова:
p
s
0
,i
1
,
,
n
.
i
i
n n
1
x
A
x
A
x
p
A
x
p
Ax
p
x
0
,
0
0
n
1
01
0
0
0 i
x
p
x
p
x
p
x
0
.
n
n
1
n
1
1
1
0
0
T
p
p
p
p
p
,
n
1
n
2
1
0
Xp
x
n
X
x
|
x
|
|
x
|
x
.
n
1
n
2
1
0
Итерационные методы решения СЛАУ
dx
Ax b
dt
задача сводится к СЛНДУ
Минимизация функционала:
J x x T Ax 2 * x T * b