Системы линейных алгебраических уравнений

1.

2.

Основные определения и понятия
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm ,
(1)

3.

Основные определения и понятия

4.

Правило Крамера
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
aij , bi R , i 1, ..., n;
(2)
j 1,...,n.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
- главный определитель,
an1 a n 2 ann
b1 a12 a1n
b2 a22 a2 n
,
bn a n 2 ann
a11 b1 a1n
a21 b2 a2 n
,
an1 bn ann …,
a11
a12
b1
a21
a22 b2
an1 a n 2 bn
- вспомогате льные определители.
det A, 1 det A1 , 2 det A2 ,..., n det An .

5.

Правило Крамера
x1
1
, x2 2 , ..., xn n .
(3)
a11 A1i x1 a12 A1i x2 ... a1i A1i xi ... a1n A1i xn b1 A1i ,
a A x a A x ... a A x ... a A x b A ,
21 2i 1 22 2i 2
2i 2i i
2 n 2i n
2 2i
an1 Ani x1 an 2 Ani x2 ... ani Ani xi ... ann Ani xn bn Ani .
(4)

6.

Продолжение доказательства (правило Крамера)
xi b1 A1i b2 A2i ... bn Ani .
(6)

7.

Продолжение доказательства (правило Крамера)
xi b1 A1i b2 A2i ... bn Ani .
a11 a12
a21 a22
i
an1 an 2
b1
b2
bn
a1n
a2 n
ann
b1 A1i b2 A2i ... bn Ani ,
xi i .
0,
i
xi
.
(8)
(9)
(6)
(7)

8.

Правило Крамера: замечания
1
2
n
x1
, x2
, ..., xn
, 0
xi i .
(8)
(3)

9.

Решение систем по правилу Крамера
x1 2 x2 5 x3 9 ,
x1 x2 3 x3 2 ,
3 x 6 x x 25.
2
3
1
Пример 1.
1 2
5
1 1 3 1 1 1 1 6 5 2 3 3 3 1 5 1 2 1 6 3 1 24,
3 6 1
9
1 2
25
2
5
1 3 9 1 1 2 6 5 2 3 25 25 1 5 2 2 1 6 3 9 48,
6 1
1 9
5
2 1 2
3 1 2 1 1 25 5 9 3 3 3 2 5 1 9 1 25 3 1 72 ,
3 25 1
1 2 9
3 1 1 2 1 1 25 1 6 9 2 2 3 3 1 9 1 2 25 6 2 1 24;
3 6 25
x1
1 48
72
24
2; x2 2
3; x3 3
1
24
24
24

10.

Следствия из правила Крамера
i 0 , i 1, 2, ..., n;
xi
0
0 , i 1, 2, ..., n.

11.

Матричная форма записи систем
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
n
A aij
a11 a12 a1n
a
a
a
21
22
2n
,
an1 an 2 ann
A X B.
(2)
aij , bi R , i 1, ..., n;
x1
x2
X ,
xn
(11)
b1
b2
B
bn
j 1,...,n.
(10)

12.

Использование обратных матриц: обоснование алгоритма
A X B
(11)
det A 0
A 1 .
A 1 A X A 1 B
E X A 1 B
X A 1 B

13.

Использование обратных матриц: пример
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3 x3 2,
3x 6 x x 25
2
3
1
5
1 2
A 1 1 3 ,
3 6 1
x1
X x2 ,
x
3
9
B 2
25
1 2
5
A 1 1 3 1 1 1 1 6 5 2 3 3 3 1 5 1 2 1 6 3 1 24
3 6 1
.
A11
1
A 1
A12
A
A13
A21
A22
A23
Aij 1 i j M ij
A31
A32 ,
A33
(13)
19 28 11
1
1
A
10 16 2
24
3 12 3
(14)
19 28 11 9
19 9 28 2 11 25
48 2
1
1
1
Х 10 16 2 2 10 9 16 2 2 25 72 3
24
25 24 3 9 12 2 3 25 24 24 1
3
12
3
x1 2; x2 3; x3 1

14.

Метод Гаусса- метод последовательного исключения неизвестных

15.

Метод Гаусса – схема единственного деления
1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
1n n
1
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 , (15)
a x a x ... a x b ,
n2 2
nn n
n
n1 1
a1 1j
a1 j
a11
,
j 2, ..., n; b1 1
b1
a11
(16)
.
1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
1n n
1
1 x ... a 1 x b 1 ,
a22
2
2n n
2
1 x b 1 ,
a2 1n x2 ... ann
n
n
(17)
aij 1 aij ai1 a1 1j ; bi 1 bi ai1 b1 1 ;
i 2 , ..., n; j 2,..., n
(18)

16.

Метод Гаусса – схема единственного деления
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
13 3
1n n
1
2 x ... a 2 x b 2 ,
x2 a23
3
2n n
2
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
a32
2
33 3
3n n
3
(18)
a2 1j
2
a2 j 1 ,
a
22
b2 1
2
j 3, ..., n; b2 1
a
(19)
22
1 x b 1 ,
an 12 x2 an 13 x3 ... ann
n
n
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
13 3
1n n
1
2 x ... a 2 x b 2 ,
x2 a23
3
2n n
2
2 x ... a 2 x b 2 , (20)
a33
3
3n n
3
2 x b 2 ,
an 23 x3 ... ann
n
n
aij 2 aij 1 ai 12 a2 2j ; bi 2 bi 1 ai 12 b2 2 ; (21)
i 3, ..., n; j 3,..., n

17.

Метод Гаусса – схема единственного деления
1 x a 1 x ... a 1 x
1
1
x1 a12
2
13 3
1,n 1 n 1 a1n x n b1 ,
2 x ... a 2 x
2
2
x2 a23
3
2 ,n 1 n 1 a 2 n xn b2 ,
x3 ... a3 3,n 1 xn 1 a3 3n xn b3 3 ,
(22)
xn 1 an n 11,n xn bn n 11 ,
n 1 x b n 1 .
ann
n
n
bn n 1
xn n 1 ,
ann
n 1
n 1
xn 1 bn 1 an 1,n xn ,
x b 1 a 1 x a 1 x ... a 1 x .
1n n
1,n 1 n 1
12 2
1 1
(23)

18.

Схема единственного деления: пример
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3 x3 2 ,
3x 6 x x 25,
2
3
1
x1 2 x2 5 x3 9,
3 x2 2 x3 11,
12 x 16 x 52.
2
3
x1 2 x2 5 x3 9,
2
11
x2 x3 ,
3
3
- 8 x3 8.
x1 2 x2 5 x3 9 ,
2
11
x
x
,
2
3
3
3
12 x2 16 x3 52.
x3 1,
x2
11 2
9
1 3,
3 3
3
x1 9 5 1 2 3 9 5 6 2

19.

Метод Гаусса – компактная схема единственного деления
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 ,
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
a22
2
23 3
2n n
2
2 x ... a 2 x b 2 ,
a33
3
3n n
3
(24)
n 1 x b n 1 .
ann
n
n
x1 2 x2 5 x3 9 ,
x1 x2 3 x3 2 ,
3 x 6 x x 25,
2
3
1
x1 2 x2 5 x3 9 ,
3 x2 2 x3 11,
12 x 16 x 52.
2
3
x1 2; x2 3; x3 1
x1 2 x2 5 x3 9 ,
- 3 x2 2 x3 11,
- 8 x3 8.

20.

Применение матриц для записи решения систем методом Гаусса
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
Выписывают
a11
0
A
0
a11
a
A 21
a
n1
a1 n
a12
a2 n
a22
0 ann
b1
b2
bn
a12 a1n b1
a22 a2 n b2
an 2 ann bn
расширенную матрицу
x1 a12
x2 a13
x3 ... a1 n xn b1 ,
a11
x2 a 23 x3 ... a2 n xn b2 ,
a22
x3 ... a3 n xn b3 ,
a33
xn bn .
ann

21.

Применение матриц для записи решения систем методом Гаусса: пример
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25,
2
3
1
5 9 1
1 2
2
5 9
A 1 1 3 2 ~ 0 3 2 11
3 6 1 25 0 12 16 52
x1 2 x2 5 x3 9 ,
- 3x2 2 x3 11,
- 8 x3 8
5 9
1 2
~ 0 3 2 11 A
0 0 8 8
x1 2; x2 3; x3 1