Матрицы

1. М А Т Р И Ц Ы

a11 a1n
A
a
m1 a mn
a
ij i 1, m
j 1, n
МАТРИЦЫ
.
Матрица, операция над
матрицами. Приведение
матрицы к виду Гаусса.
Ранг матрицы
1
0
0
0
2
0
0
0
4
1
0
0
6
2
.
0
0

2. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
О п р е д е л е н и е 1. Матрицей размерности m x n
называется прямоугольная таблица чисел:
a11 a1n
A
a
a
mn
m1
содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие
матрицу, называются ее элементами (их обозначают: aij где iномер строки матрицы, j - номер столбца матрицы, в которых
расположен данный элемент)

3. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрицу обозначают:
А
или
a
ij i 1, m
j 1, n
.
О п р е д е л е н и е 2. Две матрицы называются
равными, если они совпадают поэлементно.
О п р е д е л е н и е 3. Матрица размерности
называется нулевой (обозначают: О), если все ее
элементы равны нулю.

4. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
О п р е д е л е н и е 4. Матрица размерности 1 x n
называется матрицей-строкой: (a11,…,a1n).
Матрица размерности m x 1 называется матрицейстолбцом: a11
a
m1
О п р е д е л е н и е 5. Если m=n , то матрица
называется квадратной матрицей порядка n. Ее
элементы a11,…,ann образуют главную диагональ;
числа an1,an-1,2,…,a1n - побочную диагональ.

5. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
З а м е ч а н и е 1. В частности, квадратной матрицей
второго порядка называется таблица чисел:
a11
A
a 21
a12
a 22
содержащая две строки и два столбца. Числа aij
(i=j=1,2) называются элементами матрицы, где i
номер строки, а j номер столбца, в которых
расположен данный элемент. Числа a11,a22 образуют
главную диагональ матрицы A; числа a12,a21
побочную (второстепенную) диагональ матрицы.

6. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Квадратной матрицей третьего порядка называется
таблица чисел:
a11
A a 21
a
31
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
содержащая три строки и три столбца. Числа aij
(i=j=1,2,3) называются элементами матрицы, где i
номер строки, j номер столбца, в которых расположен
данный элемент. Числа a11,a22,a33 образуют главную
диагональ матрицы; числа a13,a22,a31 побочную
(второстепенную) диагональ матрицы.

7. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
О п р е д е л е н и е 6. Квадратная матрица
называется диагональной, если все элементы,
стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
О п р е д е л е н и е 7. Квадратная матрица
называется верхнетреугольной
(нижнетреугольной), если все ее элементы,
расположенные ниже (выше) главной диагонали,
равны нулю.

8. М А Т Р И Ц Ы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛЕНИЯ
О п р е д е л е н и е 8. Квадратная матрица
называется единичной (обозначают: Е), если
она диагональная и все элементы главной
диагонали равны единице.
О п р е д е л е н и е 9. Матрица, полученная из
квадратной матрицы А заменой всех строк
соответствующими (по номеру) столбцами,
называется транспонированной к матрице А и
обозначается АT

9. М А Т Р И Ц Ы 2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ
2.ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
О п р е д е л е н и е 10. Суммой (разностью)
матриц А и В размерности m x n называется такая
матрица А В размерности m x n , у которой все
элементы равны сумме (разности) соответствующих
элементов матриц А и В
О п р е д е л е н и е 11. Произведением матрицы А
размерности m x n на число α называется такая
матрица α А размерности m x n , у которой все
элементы равны произведению соответствующего
элемента матрицы А на число α.

10. М А Т Р И Ц Ы 2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ
2.ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
1) Сложение, вычитание,
умножение матрицы на число
Операции сложения, вычитания двух матриц
одинаковой размерности, умножения матрицы на
число вводятся (по определению) с помощью
поэлементного выполнения соответствующего
действия, если
B bij
A aij
A B aij bij i 1,m ,
j 1,n
i 1,m
j 1,n
i 1,m
j 1,n
A aij i 1,m.
j 1,n

11. М А Т Р И Ц Ы 2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ
2.ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
Свойства операций
A B B A,
A A ,
A B C A B C ,
A A,
A B A B,
A A A,
где , const ;
A, B, C матрицы одинаковой размерности.

12. М А Т Р И Ц Ы 2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ
2.ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
2) Умножение матриц
О п р е д е л е н и е 12.
Произведением матрицы
размерности m x κ на матрицу
B bij i 1,k
j 1, n
A a ij i 1, m
размерности κ x n
j 1, k
называется такая матрица С размерности m x n , у которой
элемент с номером ij вычисляется по формуле:
cij a i1 b1 j a i 2 b2 j ... a ik bkj
(1)
З а м е ч а н и е 2. Число (1) равно скалярному произведению
вектора, составленного из элементов i - й строки матрицы А, на
вектор, составленный из элементов j - го столбца матрицы В.

13. М А Т Р И Ц Ы 2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ
2.ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
Свойства операции:
A n m O m k O n k ,
O k n A n m O k m ,
A Е Е A A (для квадратных матриц),
A B C A B C ,
A B C A B A C ,
A B C A C B C.
Предполагается, что указанные здесь действия определены.

14. М А Т Р И Ц Ы 2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ
2.ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
3) Возведение в степень
Эта операция определена только для квадратных матриц и
вводится по правилу:
A A A, A A A, ,
2
3
2
В частности, справедливы равенства:
A A
k
k 1
O k O k N ,
Еk Е
Для диагональной матрицы справедлива формула:
A.
k N .
k
k
a11 0 0 a11 0 0
0 0 a 0 0 ak
nn
nn
k N .

15. М А Т Р И Ц Ы 3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ
3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД
МАТРИЦЫ
О п р е д е л е н и е 13. Элементарными преобразованиями
строк матрицы называются преобразования следующих типов:
1) перестановка местами двух строк матрицы,
условное обозначение:
, где стрелки указывают на строки,
переставляемые местами;
2) замена строки суммой этой строки и некоторой другой,
вспомогательной, предварительно умноженной на какое-либо
число
α
условное обозначение: (α), где стрелка указывает на
изменяемую строку;
Множитель (α) ставят рядом со вспомогательной строкой;

16. М А Т Р И Ц Ы 3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ
3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ
3) умножение строки на ненулевое число α, условное
обозначение: (α), ставится рядом с изменяемой строкой .
З а м е ч а н и е 3. Аналогично вводятся элементарные
преобразования столбцов матрицы.
О п р е д е л е н и е 14. Опорным элементом строки матрицы
называется первый слева ненулевой элемент этой строки. Если
строка нулевая, то опорного элемента у нее нет.
О п р е д е л е н и е 15. Матрица называется ступенчатой (или
имеющей ступенчатый вид), если выполнены следующие условия:
*
если какая-то строка матрицы нулевая, то все последующие
строки нулевые;
*
опорный элемент в каждой последующей строке расположен
правее, чем в предыдущей.

17. М А Т Р И Ц Ы 3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ
3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД
МАТРИЦЫ
О п р е д е л е н и е 16.
Говорят, что матрица имеет вид Гаусса,
если:
● матрица является ступенчатой;
● все опорные элементы равны единице;
● над опорными элементами стоят только нули.
Т е о р е м а 1. Любая матрица А может быть приведена к
ступенчатой матрице А1 с помощью элементарных преобразований
строк первого и второго типов. Любая матрица А может быть
приведена к ступенчатой матрице А2 вида Гаусса с помощью
элементарных преобразований строк первого – третьего типов.

18. М А Т Р И Ц Ы 3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ
3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД
МАТРИЦЫ
О п р е д е л е н и е 17. Матрицы А1 и А2 ,
построенные по матрице А с помощью
элементарных преобразований, называются,
соответственно, ступенчатым видом матрицы
А и видом Гаусса матрицы А.
З а м е ч а н и е 4. Ступенчатый вид у матрицы и
ее вид Гаусса не единственен. Наборы базисных
строк и базисных столбцов матрицы также не
являются инвариантами этой матрицы.

19. М А Т Р И Ц Ы 4. РАНГ МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ
4. РАНГ МАТРИЦЫ
О п р е д е л е н и е 19. Рангом матрицы А называется
число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.
Обозначение:
r(A) .
З а м е ч а н и е 5. Ранг матрицы не меняется при
применении к матрице А элементарных преобразований,
то есть не зависит от способа приведения матрицы к
ступенчатому виду.
З а м е ч а н и е 6. Справедливы неравенства:
0 r(A) min (m, n)

20. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
П р и м е р 1. Определить размерность матрицы
4
1 2 3
A 5 6 1 2
0 7 9 10
и указать ее элементы:
Р е ш е н и е. Матрица
есть
А
a13 , a 24 , a 32 .
имеет три строки и четыре столбца, то
m 3, n 4.
a13 3; a 24 2; a32 7.

21. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
П р и м е р 2. Вычислить матрицу 2А 3В, если
0 1 2
,
А
1 7 3
4 3 1
.
В
0 5 6
Р е ш е н и е. Зная матрицы А и В, находим:
2 4
0
12 9
;
2 А
3В
2 14 6
0 15
0 12 2 9 4 3 12
2 А 3В
2 0 14 15 6 18 2
3
.
18
7 7
.
1 12

22. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
0 1 2 1
П р и м е р 3. Вычислить:
1 7 3 3 ;
Р е ш е н и е. а) Первая из перемножаемых матриц имеет
размерность 2х3, а вторая матрица – размерность 2х1 .
Так как число столбцов первой матрицы не равно числу
строк второй, то данные две матрицы перемножить нельзя.
П р и м е р 4. Вычислить:
1
0 1 2
3 ;
1 7 3 2

23. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Р е ш е н и е. Пользуясь формулой (1), находим матрицу размерности:
1
0 1 2 0 1 1 3 2 2 1
3
1 7 3 2 1 1 7 3 3 2 16
П р и м е р 5. Найти А2, если
1 0 1
а) А 3 2 1 ;
0 1 1
б)
1
0
А
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
.
0
2

24. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Р е ш е н и е.
а) Так как
А А А
2
матрицы являются квадратными, то вычисляем:
1 0 1 1 0 1 1 1 2
2
А 3 2 1 3 2 1 9 3 0 ;
0 1 1 0 1 1 3 3 0
б) Учитывая, что рассматриваемая матрица является диагональной, получаем:
1
0
2
А
0
0
2
11 0
0 0 0
5 0 0
0 52
0 0 0
0 0
0 0
0 0 2
0
0
02
0
0 1 0 0 0
0 0 25 0 0
0 0 0 0 .
0
2
2 0 0 0 4

25. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
П р и м е р 6. Указать ступенчатый вид матрицы
Назвать базисные строки и столбцы матрицы А.
1
0
А
1
2
Р е ш е н и е.
1
0
А
1
2
2
0
2
4
3 4 1 2
1 2
4 6
0 4
1
0
0
0
2
0
0
0
3
1
1
6
4
2 1 6
2
12
2
0
2
4
3 4
1 2
4 6
0 4

26. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
1
0
0
0
2
0
0
0
3
1
0
0
4 Отсюда заключаем : у матрицы А
я
я
2
базисные строки 1 , 2 ;
.
й
й
0
базисные столбцы 1 , 3 .
0

27. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
0
П р и м е р 7 . Привести к виду Гаусса матрицу
0
А 1
2
3
2
2
2
1
2
Р е ш е н и е. Выполним элементарные преобразования строк матрицы:
0
0
1
2
3
2 3
2 1
2 3
1 1
2 1
1
0
0
2
3
3
1
3 .
1
1
2 3 2 3
3
1 2
2 1
1
0 2
0 2
2 3
3
1 1
0 3 5
1
2 1
0 4 8 4

28. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
3
1 2
1
0 2
0 2
3
0 3 5
0 1
2
1
0
0
0
0
3
1 2
1
2 2 3 0
0 1
0 2
0
3
0 3 5
0
0 2
0
1
3
1
2
0
0 1 1 3 0
0 1
0
0
0 3
2
1
2 3
1
1 2
0
0 1 2 3 0
0 0
0
0
0 0
2
1
0
0
0
3
2
1
1
3
2 0
1 0 ( 2)
0 1
0 0
0 0

29. М А Т Р И Ц Ы 5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

МАТРИЦЫ
5. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
1
0
0
0
0
О т в е т:
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
А 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1 .
0
0