Теорема об изменении момента импульса механической системы

1.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА
ЛЕКЦИЯ 9

2. Цель лекции

Понять, что такое момент импульса материальной
системы, сформулировать теорему и научиться
решать задачи с использованием теоремы.
План лекции
• Момент импульса материальной точки
• Момент импульса механической системы
• Момент импульса твердого тела при поступательном и
вращательном движении
• Теорема об изменении момента импульса системы
2
Цель лекции

3.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
(ПОВТОРЕНИЕ)
Момент импульса материальной точки относительно
некоторого центра О определяется равенствами
KO
r
K0 r mv r P
O
K 0 mvh
h
3
Повторение
K x mk y k vkz zk vky
P
KO K xi K y j K z k

4.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТОЧКИ
M O (F )
M O (mv) K O
O
O
h
F
r
M O (F ) r F
M O ( F ) Fh
4
Момент импульса твердого тела
h
r
v
m
KO r mv
KO mvh

5.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(МС)
Момент импульса МС относительно центра О – это
сумма моментов (или главный момент) импульсов
всех материальных точек, входящих в систему,
относительно того же центра
mk vk
m1v1
5
Момент импульса МС
m2v2
P mk vk
K O K Ok rk mk vk

6.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ
ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
C
rC
o
v2 h v
k
v1
P
n
K O K Ok
k 1
rk mk vk
n
k 1
rk mk v MrC v
k 1
P MvC KO rC P
n
KO Mvh
6
Момент импульса твердого тела

7.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ
ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
K Z mk vk hk
z
M
hk
vk hk
O
K Z mk hk2
vk
KZ
7
Момент импульса твердого тела
m h
2
k k
2
m
h
k k J Z KZ J Z

8.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
МС
Полная производная по времени вектора момента
импульса МС, вычисленного относительно
неподвижного центра, равна главному моменту всех
внешних сил относительно того же центра
e
i
dK Ok
1)
M O Fk M O ( Fk )
dt
e
i
dK O
2)
M O (F ) M O (F )
dt
i
d
K
e
O
M O (F ) 0
M O (F )
8
dt
Т. об изменении момента
импульса МС

9.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
МС
e
dK O
M O ( F ) dt
dt
e
dK O M O ( F )dt
e
K Oк K Oн M O ( F )dt
K Zк K Zн M Z ( F e )dt
9
Т. об изменении момента
импульса МС

10.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МС
Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему
относительно данного центра равна нулю, то главный момент
количеств движения системы относительно этого центра есть
величина постоянная
e
М O Fk 0
KO const
Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему
относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств
движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной
e
М
F
Z k 0
10
Т. oб изменении момента
импульса МС
K Z const

11.

ЗАДАЧА
Дано
mг 1кг
K Z J Z
mч 89кг
mR 2
JZ
2
J Z mh2
h 0.75 м
R 0.15 м
2
?
1
K Zк K Zн M Z ( F е )
M Z (F ) 0
е
K Zк K Zн
J Zк к J Zн н
11
Задача

12.

ЗАДАЧА
1) Момент инерции человека:
J Zч
mч R 2 89 (0,15) 2
2
кг
м
1
2
2
2) Момент инерции гири:
J Zг mг h 2 1 (0,75) 2 0,56кг м 2
3) Момент инерции в начальном положении: При h=0,75м; R=0,15м
J Zн J Zч 2 J Zг 1 2 0,56 2,12
кг м 2
4) Момент инерции в конечном положении: При h=0м; R=0,15м
J Zк J Zч 1 кг м 2
5)
12
Задача
к J z н
2,1
н J z к

13.

ВЕКТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вращение вокруг неподвижной оси
Z
P Mv
Можно ли записать
Y
X
13
Вектор момента импульса
тв. тела
KO J Z ?
K Z J Z

14.

ВЕКТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вращение вокруг неподвижной оси
vkx hk cos hk
z
yk
y k
hk
xk
vky hk sin hk
xk
hk
hk
xk
x
J xz , J yz
yk y
vk
- центробежные
моменты инерции
14
Вектор момента импульса
твердого тела
vkz 0
K x mk ( yk vkz z k vky ) ( mk xk zk )
k
k
K x J xz
K y mk ( zk vkx xk vkz ) ( mk yk zk )
k
K y J yz
k