Графики косинуса

1.

11 класс
Построение и
преобразование
графика функции у = cos x
Выполнила
Бобель Юлия Анатольевна
Фрунзенский район школа №368
содержание

2. Содержание

Построение графика у = cosx
Свойства функции у = cosх
Сдвиг вдоль оси абсцисс
Сдвиг вдоль оси ординат
Симметрия относительно оси абсцисс
Сжатие и растяжение к оси ОХ
Сжатие и растяжение к оси ОУ
Построение графика у = ∣cosx∣
содержание

3. Построение графика функции у = cosx

Построим график у = cosx на промежутке (-π; π)
У
Х
У
0
1
1,5
1
у=cosx
2
4
2
2
0,5
0
6
3
2
2 3 5
3 4 6
6 4 3 2
-0,5
-1
-1,5
y = cosx – четная функция
Х
3
2
2
3
3
4
5
6
1
2
0
1
2
2
2
3
2
-1
содержание

4. Свойства функции у = cosx

у
1,5
1
у = cosx
0,5
2
0
-0,5
2
3
2
2
5
2
х
-1
-1,5
D(y)
R
E(y)
[-1;1]
Период
возрастает
убывает
T=2 π
[π+2πn;2 π+2πn]
[2πn; π+2πn],
n∊Z
четная,
нечетная
у=0
у>0
у<0
уmax
ymin
четная
х=π/2+2 πn, n∊Z
(- π/2+2πn; π/2+2 πn), n∊Z
(π/2+2 πn;3π/2+2 πn), n∊Z
уmax=1, при х=2 πn, n∊Z
уmin= -1, х= π+2 πn, n∊Z
содержание

5. Сдвиг вдоль оси ординат

у=cosx+2
у=cosx-2
У
У
3,5
3
2,5
1,5
1
y=cosx+2
0,5
2
0
1,5
-0,5
1
-1
0,5
-1,5
0
-0,5
2
y=cosx
Х
2
Х
-2
-2,5
-1
-3
-1,5
-3,5
Сдвиг вниз
y=cosx
y=cosx-2
Сдвиг вверх
содержание

6. Сдвиг вдоль оси абсцисс

у=cos(x-2).
у=cos(x+2)
У
У
1,5
1,5
1
y=cosx
y=cos(x-2)
1
0,5
0,5
0
2
Х
0
2
-0,5
-0,5
y=cosx
-1
-1
y=cos(x+2)
-1,5
-1,5
Сдвиг влево
Сдвиг вправо
содержание
Х

7. Задание

№717(1)
у = 1 + cosx
Описать свойства.
У
3
Е(1+ cosx) = [0; 2]
2
Нули функции
х = + n, n Z
y=1+cosx
1
0
2
-1
2
3
2
2
y=cosx
Х
Промежутки
возрастания,
убывания
не изменились.
-2
содержание

8. Сжатие и растяжение

y=k∙cosx
Сжатие и растяжение
у =2cosx
у =1/2cosx
У
У
1,5
2,5
2
1
1,5
1
0,5
0,5
0
2
-0,5
y=cosx
y=cosx
2
-1
3
2
5
2
y=2cosx
-1,5
Х
2
0
-0,5
2
Х
3
2
5
2
y=1/2cosx
-1
-2
-1,5
-2,5
k>1
Растяжение
0<k<1
Сжатие
содержание

9. Сжатие и растяжение

y = cos(1/2x)
y = cos(2x)
У
У
2
2
y=cos(2x)
1
1
0
2
0
Х
y=cos(1/2x)
2
-1
-1
y=cosx
y=cosx
-2
-2
k>1
y=cos(kx)
Сжатие
0<k<1
Растяжение
содержание
Х

10. Задание

№715(1) cos2x=1/2 №715(1) cos2x<1/2 на промежутке
3
2 ; 2
У
2
cos2x=1/2
2
1
у=0,5
0
2
6
6
х = ±π/6
5
6
7
6
3
2
х =5 π/6;
Х
х = 7π/6
-1
y=cos2x
-2
содержание

11. Симметрия графиков

У
у = - cosx симметрия
графика у = cosx
относительно оси ОХ
2
1
0
2
2
-1
y= - cosx
-2
y=cosx
3
2
Х
y = cosx – четная
функция, поэтому
графики у = cosx и
у = cos(-x) совпадают
содержание

12. Построение графика

y=∣cosx∣
У
2
y=∣cosx∣
1
0
2
2
3
2
Х
-1
-2
y = ∣cosx∣ - получается симметрией относительно оси ОХ тех
участков графика у = cosx, которые расположены ниже её.
содержание

13. Задание

№719
у = 3-2cos(х-1)
У
6
у = cosх
5
4
у = cos(х-1)
3
у = -2cos(х-1)
2
1
2
0
-1
2
3
2
2
5
2
Х
у = 3-2cos(х-1)
-2
-3
содержание

14. Литература

Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала
анализа 10-11»: М. «Просвещение» 2003.
Н.Е.Федорова, М.В. Ткачева «Изучение алгебры и начала
анализа 10-11»: М. «Просвещение» 2004.
содержание