Производная функции (1)
Производная функции (2)
Производная функции (3)
Производная функции (4)
Производная функции (5)
Производная функции (6)
Производная функции (7)
Производная функции (8)
Производная функции (9)
Производная функции (10)
Производная функции (13)
Производная функции (14)
Производная функции (16)
Производная функции (17)
Производная функции (4)
578.00K
Категория: МатематикаМатематика

Производная функции

1. Производная функции (1)


Пусть функция
f (x)
окрестности точки
x
определена в некоторой
(включая точку
x
).
Определение 1.
f ( x)
f ( x) lim
x 0 x
Определение 2.
Касательной прямой
в точке
положение секущей
y f (x)
Производной функции f (x) называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
y
l
l к графику функции
xo называется предельное
M o M, когда M M o
M
M
y f (x)
yo
0
Mo
xo
х

2. Производная функции (2)


Геометрический смысл производной.
y f ( xo x)
l
M
M
y f (x)
y
Mo
tg tg
yo
x
0
xo x
x xo x
Значение производной функции f (x) в точке xo
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке
где
M M o x 0
yo f ( xo )
M o ( xo , yo )
kсек.
y
kкас.
x
y
kкас.
x 0 x
f ( x0 ). lim

3. Производная функции (3)

l
y
Уравнение касательной
к графику функции.
kl f ( xo )
N
yo
M o ( xo , yo )
y yo f ( xo ) ( x x0 )
0
y f ( xo ) f ( xo ) ( x x0 )
Определение 3.
Нормалью к графику функции y f (x) в точке xo
называется прямая N, проходящая через точку M o ( xo , yo )
перпендикулярно касательной прямой l
Уравнение нормали к графику функции.
y f ( xo )
xo
y yo k ( x xo )
1
1
kN kN
kl
f ( xo )
y f (x)
1
( x x0 )
f ( xo )
x

4. Производная функции (4)


Связь между существованием производной
– и непрерывностью функции.

Теорема.
f ( x) f ( x) непрерывнав т. x

Доказательство.
f ( x)
x 0 x
f ( x) lim
f ( x )
f ( x) ( x)
x
где 0 при х 0
f ( x) f ( x) x ( x) x
f ( x) 0 при x 0
f ( x) непрерывна в т. х

5. Производная функции (5)


Правила дифференцирования.
Пусть
Тогда
1.
2.
3.
4.
f ( x) и g ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
(C f ( x)) C f ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
, если g ( x) 0
2
g ( x)
(
g
(
x
))
Доказательство 1 правила (для суммы).
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.
( f g ) f g
( f g ) f g
x
x x
( f g )
f
g
lim
lim
x 0
x 0 x
x 0 x
x
т о ест ь
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
lim

6. Производная функции (6)


Таблица производных основных
элементарных функций.

1.
(C ) 0

2.
( x ) n x

3.

4.

5.

6.

7.



n
n 1
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
( x) 1
( x 2 ) 2 x
x 2 1 x
1
(loga x)
1 x ln a
(ln x)
x
(sin x) cos x
8. (cosx) sin x
1
9. (tg x)
cos2 x
1
(
ctg
x
)
10.
sin 2 x
11.
12.
13.
14.
(arcsin x)
(arccosx)
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
(arcctgx)
1 x2
(arctgx)

7. Производная функции (7)


Вывод формулы 7:
1.
(sin x) cos x
sin x sin(x x) sin x
x
2 x x
2 cos
sin
2
2
2.
3.
x
sin x
x
2
cos x
x
x
2
2
x
sin
sin x
x
2
lim
lim cos x
lim
x 0
x 0
x
2 x 0 x
2
(sin x) cos x
sin
1

8. Производная функции (8)


Производная сложной функции.
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y f (u ) , u ( x)
y( x) f ( ((x))
y ( x) f (u ) ( x)
где u ( x)
2. ( x) в т. х
3. f (u ) в т. u , причем
значение u ( x)
Доказательство.
1..Возьмем x 0 u y
(предполагаем, что u 0 )
y u
2. y
u x
y
y
u
lim
lim
lim
x 0 x
x 0 u x 0 x
y
u
lim
lim
u 0 u x 0 x
x
3.
(ч.т.д.)

9. Производная функции (9)


Примеры.
1.
y ln sin x
y ln u , u sin x
y
2.
1
1
cos x
cos x ctgx
u
sin x
y ln 2 sin x
y u 2 , u ln t , t sin x
1
1
y 2u cos x 2 ln sin x
cos x
t
sin x
2ctgx ln sin x

10. Производная функции (10)


Обратная функция.
Определение.
y f ( x) : X Y
y
x ( y) : Y X
Функции y f ( x) и x ( y)
y
Пусть
называются взаимно обратными,
если
или
f ( ( y)) y всюду в Y
( f ( x)) x всюду в X
Y
y f (x)
0
y
x
х
X
x ( y)
Функция
x ( y) называется
обратной к
y
0
Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.
y f (x)
x ( y)
x
х
Функция
y f (x)
y f (x)
обратной к
называется
x (y)

11. Производная функции (13)


Производная обратной функции.
Теорема.
1.
2.
3.
y f ( x) непрерывна я на a, b ;
1.
f ( x) при x a, b и f ( x) 0
2.
y f ( x) монотонная на a, b ;
3.
Пример.
Вывод формулы 11 :
arcsin x
1.
2.
3.
x ( y ) обрат ная
к y f ( x) ;
x ( y) непрерывная
и монотонная;
( y) 1
f ( x)
1
1 x2
y arcsin x x sin y
1
1
x cos y y
x cos y
cos y 1 sin y 1 x
2
2
y
1
1 x2
( y )
2
1
1
f ( x)
f ( x)
( y )
y
2
cos y 0

12. Производная функции (14)


Функции, заданные параметрически.
Определение 1.
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана пара функций
x x(t ),
y y (t ), t t1 , t 2 ,
t называется параметром.
Пример.
x t 1,
y t 2 , t ( , )
y
y ( x 1) 2
1.
Функция y( x) :
1
t x 1 y ( x 1) 2
2.
-1 0
Функция x ( y ) :
t 0, t
x
x
y
y
y 1;
t ,0 t y
x y 1.
1
-1 0
x

13. Производная функции (16)


Производная функции, заданной
параметрически.
Теорема.
Пусть
– 1.

2.

3.

4.

5.
x (t ),
y (t ), t t1 , t 2 ;
(t ) непрерывная ,
монотонная на t1 , t2 ;
(t0 ) , t0 t1 , t2 ,
(t0 ) 0 ;
(t ) непрерывная
на t1 , t2 ;
(t0 )
В т очке x0 (to )
(t0 )
y ( x0 )
(t0 )

14. Производная функции (17)


Производные высших порядков.
Определение 1.
Производная y f (x)
называется производной
первого порядка функции y
Определение 2.
Производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка
функции
Определение 3.
Производная от производной (n-1) -порядка
y ( n ) a x (ln a) n
называется производной
функции
f (x)
y f ( x) : y ( f ( x))
n – порядка
y f ( x) : y(n) ( f (n 1) ( x))
Пример.
y ax
y a x ln a ;
y a x (ln a) 2 ;

15. Производная функции (4)


Связь между существованием производной
и непрерывностью функции.

Теорема.
f ( x) f ( x) непрерывнав т. x

Доказательство.
f ( x)
x 0 x
f ( x) lim
f ( x )
f ( x) ( x)
x
где 0 при х 0
f ( x) f ( x) x ( x) x
f ( x) 0 при x 0
f ( x) непрерывна в т. х

16.

• Связь между существованием производной
• Замечание. Обратное утверждение теоремы
неверно, т.е. из непрерывности функции y f (x)
в точке x0 не следует существование производной
функции y f (x) в этой точке.
Пример.
x 0
x,
f ( x) x
.
x, x 0
Эта функция непрерывна в точке x 0, но в этой
точке функция не имеет производной.

17.

y
Действительно, для функции
y x
y x в точке x0 имеет
место
y f (0 x) f (0)
x
x
x 1, x 0,
x 1, x 0.
0
x
f ( x)
f ( x) lim
x 0 x
не существует,
т.е. функция не имеет
производную в этой точке.
English     Русский Правила