Производная функции

1. Производная функции

2. Производная функции (1)

Пусть функция
f (x) определена в некоторой
окрестности точки
x (включая точку x ).
Определение 1.
f ( x)
f ( x) lim
x 0 x
Определение 2.
Производной функции f (x) называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
y
l
Касательной прямой l к графику функции
M o M, когда M M o
M
y f (x)
y f (x) в точке xo называется предельное
положение секущей
M
yo
0
Mo
xo
х

3. Производная функции (2)

Геометрический смысл производной.
y f ( xo x)
l
M
M
y f (x)
y
Mo
tg tg
yo
x
0
xo x
x xo x
Значение производной функции f (x) в точке xo
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке M ( x , y )
где
M M o x 0
yo f ( xo )
o
o
o
kсек.
y
kкас.
x
y
kкас.
x 0 x
f ( x0 ). lim

4. Производная функции (3)

l
y
Уравнение касательной
к графику функции.
kl f ( xo )
N
yo
M o ( xo , yo )
y yo f ( xo ) ( x x0 )
0
y f ( xo ) f ( xo ) ( x x0 )
Определение 3.
Нормалью к графику функции y f (x) в точке xo
называется прямая N, проходящая через точку M o ( xo , yo )
перпендикулярно касательной прямой l
Уравнение нормали к графику функции.
y f ( xo )
xo
y yo k ( x xo )
1
1
kN kN
kl
f ( xo )
y f (x)
1
( x x0 )
f ( xo )
x

5. Производная функции (4)

Связь между существованием производной
– и непрерывностью функции.
–
Теорема.
f ( x) f ( x) непрерывнав т. x
–
Доказательство.
f ( x)
x 0 x
f ( x) lim
f ( x )
f ( x) ( x)
x
где 0 при х 0
f ( x) f ( x) x ( x) x
f ( x) 0 при x 0
f ( x) непрерывна в т. х

6. Производная функции (5)

Правила дифференцирования.
Пусть
Тогда
1. ( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
f ( x) и g ( x)
2. ( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
3.
4. f ( x )
(C f ( x)) C f ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
, если g ( x) 0
2
g ( x)
(
g
(
x
))
Доказательство 1 правила (для суммы).
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.
( f g ) f g
( f g ) f g
x
x x
( f g )
f
g
lim
lim
x 0
x 0 x
x 0 x
x
т о ест ь
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
lim

7. Производная функции (6)

–
Таблица производных основных
элементарных функций.
–
1. (C ) 0
–
2. ( x ) n x
–
n
3. (a ) a
x
x
n 1
ln a
–
4. (e ) e
–
5.
–
6.
–
7. (sin x) cos x
x
x
( x 2 ) 2 x
x 2 1 x
1
(loga x)
1 x ln a
(ln x)
x
–
8. (cos x) sin x
–
9.
–
( x) 1
1
cos2 x
1
(
ctg
x
)
10.
sin 2 x
(tg x)
11.
12.
(arcsin x)
(arccosx)
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
14. (arcctgx)
1 x2
13.
(arctgx)

8. Производная функции (7)

Вывод формулы 7: (sin x) cos x
1. sin x sin(x x) sin x
x
2 x x
2 cos
sin
2
2
x
x
2. sin x
2
cos x
x
x
2
2
x
sin
sin x
x
2
3. lim
lim cos x
lim
x 0
x 0
x
2 x 0 x
2
(sin x) cos x
sin
1

9. Производная функции (8)

Производная сложной функции.
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y f (u ) , u ( x)
y ( x) f ( ((x))
2. ( x) в т. х
3. f (u ) в т. u , причем
значение u ( x)
Доказательство.
1..Возьмем x 0 u y
(предполагаем, что u 0 )
y u
2. y
u x
y
y
u
lim
lim
3. lim
x 0 x
x 0 u x 0 x
y
u
lim
lim
u 0 u x 0 x
x
y ( x) f (u ) ( x)
где u ( x)
(ч.т.д.)

10. Производная функции (9)

Примеры.
1. y ln sin x
y ln u , u sin x
1
1
y cos x
cos x ctgx
u
sin x
2. y ln
2
sin x
y u 2 , u ln t , t sin x
1
1
y 2u cos x 2 ln sin x
cos x
t
sin x
2ctgx ln sin x

11. Производная функции (10)

Обратная функция.
Определение.
Пусть y f ( x) : X Y
y
x ( y) : Y X
Функции y f ( x) и x ( y)
y
называются взаимно обратными,
если
f ( ( y)) y всюду в Y
или
( f ( x)) x всюду в X
Y
y f (x)
0
x
х
X
x ( y)
y
y
0
Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.
y f (x)
x ( y)
x
х
Функция x ( y ) называется
обратной к
y f (x )
Функция y f (x ) называется
обратной к x (y )

12. Производная функции (11)

Примеры.
1. Показательная функция
y a x и логарифмическая функция x loga y.
a 1
y
0 a 1
y
y
1
y ax
1
0
0
x
x loga y
x
y
x
x loga y
a 1
Обычно
x – аргумент
y - функция
x loga y
Д.з. Построить график
логарифмической
функции при 0 a 1
y loga x
y loga x
0
x

13. Производная функции (12)

2. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
y
y sin x x arcsin y
y cos x x arccosy
y tgx x arctg y
y ctgx x arcctg y
2
1
2
y arcsin x
x arcsin y
y sin x
2
1
0 1
1
x
2
Д.З. Построить графики других
обратных тригонометрических
функций.

14. Производная функции (13)

Производная обратной функции.
Теорема.
1. y f ( x) непрерывна я на a, b ;
2. y f ( x) монотонная на a, b ;
3. f ( x) при x a, b и f ( x) 0
Пример.
Вывод формулы 11 :
arcsin x
1. x ( y ) обрат ная
к y f ( x) ;
2. x ( y ) непрерывная
и монот онная;
1
3. ( y )
f ( x)
1
1 x2
1. y arcsin x x sin y
2. x cos y y
3.
1
1
x cos y
cos y 1 sin y 1 x
2
2
y
1
1 x2
( y )
2
1
1
f ( x)
f ( x)
( y )
y
2
cos y 0

15. Производная функции (14)

Функции, заданные параметрически.
Определение 1.
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана пара функций
x x(t ),
y y (t ), t t1 , t 2 ,
t называется параметром.
Пример.
x t 1,
y t 2 , t ( , )
y
y ( x 1) 2
1. Функция y ( x) :
1
t x 1 y ( x 1) 2
-1 0
2. Функция x( y ) :
t 0, t y
x y 1;
t ,0 t y
x y 1.
x
y
1
-1 0
x

16. Производная функции (15)

Определение 2.
Говорят, линия L на плоскости XOY
задана параметрически, если
координаты точек М на линии являются
функциями переменной t :
y
x x(t ),
y y (t ), t t1 , t 2 .
Пример 2. Циклоида
(Галилей,1690. Торричелли, Вивиани)
Пример 1. Окружность
x R cost ,
y R sin t , t 0,2
R
0
M(x,y)
t
x
Пример 3. Астроида
(Мухаммед Насирэддин, 13 в.,
Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.)
3
x R cos t ,
3
y R sin t , t 0,2
x R(t sin t ),
y R(1 cost ), t ,
y
R
y
M(x,y)
t
0
(t=0)
0
Первая арка
x 2 R
(t 2 )
x
x

17. Циклоида

18. Астроида

19. Производная функции (16)

Производная функции, заданной
параметрически.
Теорема.
Пусть
– 1.
x (t ),
y (t ), t t1 , t 2 ;
–
2. (t ) непрерывная ,
–
3. (t0 ) , t0 t1 , t 2
монот онная на t1 , t2 ;
,
(t0 ) 0 ;
–
4.
(t ) непрерывная
–
5.
(t0 )
на t1 , t 2 ;
В т очке x0 (to )
(t0 )
y ( x0 )
(t0 )

20. Производная функции (17)

Производные высших порядков.
Определение 1.
Производная y f (x)
называется производной
первого порядка функции y f (x)
Определение 2.
Производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка
функции
Определение 3.
y a x (ln a ) 2 ;
Производная от производной (n-1) -порядка
y ( n ) a x (ln a ) n
называется производной
функции
y f ( x) : y ( f ( x))
n – порядка
y f ( x) : y(n) ( f (n 1) ( x))
Пример.
y ax
y a x ln a ;

21. Производная функции (18)

Правило Лопиталя.
–
Теорема 1.
–
Теорема 2.
–
Пусть выполнены условия:
–
Пусть выполнены условия:
–
1) функции f ( x) и g ( x)
–
1) функции f ( x) и g ( x)
–
являются бесконечно малыми
–
являются бесконечно большими
–
при x xo ( или при x ) ;
–
при x xo
–
2) f ( x) и g ( x)
–
3) lim
–
f ( x)
или lim
A
x g ( x )
f ( x)
f ( x)
Тогда lim
lim
A
x xo g ( x )
x xo g ( x )
( или при x )
f ( x)
A
x xo g ( x )
( правило раскрытия неопределенности
0
)
0
( или при x
);
f ( x) и g ( x)
–
2)
–
3) lim
–
Тогда
f ( x)
A
x xo g ( x )
f ( x)
или lim
A
x g ( x )
f ( x)
f ( x)
lim
A
x xo g ( x )
x xo g ( x )
( или при x )
lim
( правило раскрытия неопределенности
)

22. Правило Лопиталя

• Примеры.
• 1.
• 2.
lim
x 1
a
x 1
0 lim cos x 0 lim sin x 1
lim
0 x 2
2
x
2
0
x
2
2
(
x
)
2
)
2 (x
2
2
1 sin x
x 1
2x 1
lim
2
lim
x
x 4 x
2
2x 1
2
• 3.
x 1
1 0
a ln a
lim
ln a
x
1
x 1
0
1