Похожие презентации:
Поверхности второго порядка
1. Курс высшей математики
УГТУ-УПИ2004г.
2.
Лекция 9Поверхности второго порядка.
1. Основные понятия.
2. Исследование формы поверхностей второго
порядка по их каноническим уравнениям.
3.
1. Основные понятия.Уравнением поверхности называется уравнение
с тремя переменными
F(x,y,z) = 0,
(1)
которому удовлетворяют координаты каждой
точки, принадлежащей поверхности, и не
удовлетворяют координаты ни одной точки,
не принадлежащей поверхности.
4.
Алгебраической поверхностью второгопорядка называется поверхность , уравнение
которой в декартовой системе координат
имеет вид
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+ 2Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0, (2)
где не все коэффициенты при слагаемых
второго
порядка
(A,B,C,D,E,F)
равны
одновременно нулю.
5.
ТВсякое уравнение (2), задающее невырожденную
поверхность , путем преобразования координат
можно привести к каноническому виду ( при
котором в уравнении поверхности отсутствуют
слагаемые,содержащие смешанные произведения
координат xy, xz, yz ).
6.
2. Исследование формы поверхностей второгопорядка по их каноническим уравнениям.
Основным методом исследования формы
поверхности по её уравнению является метод
сечений, когда о форме поверхности судят по
форме кривых, которые получаются при
пересечении данной поверхности плоскостями,
параллельными координатным плоскостям :
x const ; y const ; z const .
7.
2.1 Эллипсоид.Эллипсоидом называется поверхность второго
порядка с каноническим уравнением:
2
2
2
x
y
z
2 2 1
2
a
b
c
8.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛИПСОИДАМЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ.
I. При z 0 в сечении получим эллипс
с полуосями
aиb :
x
y z
2 2 2 1, или
: a b c
z 0.
2
2
2
x2 y2
2 2 1,
: a
b
z 0.
9.
В случае, когда z h в сечении получаетсятоже эллипс, но с полуосями a1 и b1 :
2
2
x
y
x2 y2 z 2
2 1,
2
2 2 2 1, или :
a1
b1
: a
b
c
z h,
z h.
2
2
h
h
здесь a1 a 1 2 ; b1 b 1 2 .
c
c
10.
Если0 h c , то Г – эллипс с полуосями
h2
h2
a1 a 1 2 a; b1 b 1 2 b
c
c
если
h c , Г – точка с координатами (0,0, c).
Если h c , подкоренное выражение становится
меньше нуля и исследуемая поверхность не имеет
общих точек с рассматриваемой плоскостью.
Переменная z содержится в уравнении во второй
степени , значит плоскость z 0 является
плоскостью симметрии эллипсоида.
11.
Точно также рассматриваются сечения эллипсоидадругими плоскостями:
II.
x const
III. y const
Выполненное исследование завершается построением
чертежа:
12.
13.
2.2 Гиперболоиды.2.2.1 Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом называется
поверхность второго порядка с каноническим
уравнением:
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
14.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ОДНОПОЛОСТНОГОГИПЕРБОЛОИДА МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ.
I. Линия пересечения гиперболоида и плоскости
z 0 задается системой уравнений,
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
: a
b
c
z 0,
определяющей эллипс с полуосями а и b.
15.
В сечении плоскостью z h имеем кривуюx2 y2
2 2 1,
: a
b1
1
z h,
являющуюся также эллипсом с полуосями
h2
h2
a1 a 1 2 ;и b1 b 1 2.
c
c
16.
II. Рассмотрим сечение поверхности плоскостьюx 0.
Уравнение линии пересечения
y2 z2
2 2 1,
: b
c
x 0
задаёт гиперболу, пересекающую ось OY.
y 0 задаёт
III. Сечение плоскостью
гиперболу, пересекающую ось OX.
17.
18.
2.2.2 Двухполостный гиперболоид.Двухполостным гиперболоидом называется
поверхность второго порядка с каноническим
уравнением:
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
19.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ДВУХПОЛОСТНОГОГИПЕРБОЛОИДА МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ.
I. В сечении плоскостью z h имеем кривую
x2 y 2
2 2 1,
: a
b1
1
z h,
где
Если
Если
h2
h2
a1 a 2 1;и b1 b 2 1.
c
c
h c , Г – эллипс с полуосями a1 , b1.
h c , Г – точка (0,0,c).
Если – с < h < c - нет точек пересечения.
20.
II. Сечение плоскостью x 0y2 z2
2 2 1,
: b
c
x 0
задает гиперболу, пересекающую ось OZ.
y 0 также задает
III. Сечение плоскостью
гиперболу, пересекающую ось OZ.
Итоговый чертеж представлен на рисунке:
21.
22.
2.3 Конус.Конусом второго порядка называется
поверхность с каноническим уравнением
2
2
2
x
y
z
2 2 0.
2
a
b
c
23.
24.
ЗамечаниеОсью конуса, заданного рассматриваемым
каноническим уравнением, является ось OZ.
Продольные сечения являются прямыми
линиями, поперечные сечения – эллипсы.
Если a
вращения.
b , конус становится фигурой
25.
2.4 Параболоиды.2.4.1 Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется
поверхность с каноническим уравнением:
x2
y2
z
2
2
a
b
Его форма показана на рисунке:
26.
Эллиптический параболоид1
0.5
0 y
-0.5
-1
1
0.75
z 0.5
0.25
0
-1
-0.5
0
x
0.5
1
27.
2.4.2 Гиперболический параболоид.Гиперболическим параболоидом называется
поверхность с каноническим уравнением:
x2
y2
2 z
2
a
b
28.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГОПАРАБОЛОИДА МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ.
I.
В сечении плоскостями z h, h 0 (h 0)
получаются гиперболы.
II. В сечении плоскостями x h, h 0
параболы.
III. В сечении плоскостями y h, h 0
параболы.
Отсюда и название исследуемой поверхности,
форма которой представлена на рисунке:
29.
Гиперболический параболоидx
2-2
y
1
0
-1
-2
4
2
z
0
-2
-4
-1
0
1
2
30.
Гиперболический параболоид31.
Гиперболический параболоидz xy
1
0.5
y
0
-0.5
-1
1
0.5
0
z
-0.5
-1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
32.
2.5 Цилиндры второго порядка .2.5.1 Эллиптический цилиндр.
Эллиптический цилиндр задается каноническим
уравнением
x2 y 2
2 1
2
a
b
Осью цилиндра является координатная ось OZ,
поперечные сечения – эллипсы.
33.
34.
2.5.2 Гиперболический цилиндр.Гиперболический цилиндр задается
каноническим уравнением:
x2 y 2
2 1
2
a
b
Его форма представлена на рисунке:
35.
Гиперболический цилиндр5
y
2.5
0
-2.5
-5
5
2.5
z
0
-2.5
-5
-5
-2.5
0
x
2.5
5
36.
2.5.2 Параболический цилиндр.Параболический цилиндр задается
каноническим уравнением:
2
y 2 px,
p 0
Его форма представлена на рисунке:
37.
Параболический цилиндрx
0
1
0.25
0.5
0.75
1
1
0.5
y
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
z
38.
Замечание:Признаком рассмотренных цилиндрических
поверхностей является отсутствие одной из
переменных в каноническом уравнении.