Матрицы и операции над ними

1. Матрицы и операции над ними.

2.

• Матрицей называется множество чисел,
образующих прямоугольную таблицу, которая
содержит m строк и n столбцов.
a11
a 21
A
...
a
m1
B
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
C

3.

a11
a21
A
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
A aij ,где aij- элемент матрицы
i- номер строки: i=1,2,…,m
j- номер столбца: j=1,2,…,n
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

4.

Если у матрицы m строк и n столбцов, то
она
имеет
размерность
m×n
(прямоугольная матрица)
m n
A R
Am×n
или
Если m=n, то матрица называется
квадратной.
Число строк или стобцов квадратной
матрицы называется её порядком.

5.

Квадратная матрица n-го порядка:
a11 a12
a21 a22
A
... ...
a
n1 an 2
побочная диагональ
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
главная диагональ

6.

• Если у квадратной матрицы отличны от нуля
только элементы, лежащие на главной
диагонали, то такие матрицы называются
диагональными.
a11 0
0 a22
A
... ...
0
0
0
... 0
... ...
... ann
...

7.

• Матрица, у которой все элементы, лежащие
выше (ниже) главной диагонали – нули,
называется треугольной.
a11
a 21
A
a31
a
41
0
0
a 22
0
a32
a33
a 42
a 43
0 a11
0 0
0
0
a 44 0
a12
a13
a 22
a 23
0
a33
0
0
a14
a 24
a34
a 44

8.

• Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой матрицей.
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0

9.

Дана прямоугольная матрица m×n .
• Если m=1, то получаем матрицу-строку:
A a11
a12 ... a1n
• Если n=1, то получаем матрицу-столбец:
b11
b21
B
b
m1

10.

• Две матрицы называются равными, если они
одинаковой размерности и соответствующие
элементы равны.
Т.е, пусть A=(aij) и B=(bij):
A B A, B R
m n
и аij bij

11. Линейные операции над матрицами.

• Суммой матриц A=(aij) и B=(bij)
называется матрица C=(cij) (А+В=С),
элементы
которой
равны
сумме
соответствующих элементов матриц А и
m n
В: cij=aij+bij, причем A, B, C R

12. Найти А + В и А - В:

6
1
A 2 4
3 9
2 4
B 3
7
8 11
6 2 4 1 2
6 4 1 10
1
A B 2 4 3
7 2 3 4 7 5
3
3 9 8 11 3 8 9 11 5 2
6 2 4 1 ( 2 )
6 4 3
2
1
A B 2 4 3
7 2 3
4 7 1 11
3 9 8 11 3 8 9 ( 11) 11 20

13. Свойства сложения матриц:

A, B, C R m n
1) А+В=В+А
закон коммутативности
2) (А+В)+С=А+(В+С)
закон ассоциативности
3)
0 R m n
, что А+0=0+А=А
4) ∀А ∃В: А+В=В+А=0, т.е. В=-А
(матрица, противоположная матрице А).

14.

• Произведением матрицы A=(aij) на число
к∈R, называется матрица кА, каждый
элемент которой равен кaij: кА=(каij)
8 2
2 4 1 4
2 0 3 2 0
6 4
5 1 3 10 2 6

15. Свойства умножения матрицы на число:

A, B R m n
a, b R
1) (а+b)А=аА+bА
закон дистрибутивности относительно сложения чисел
2) a(А+В)=aА+aB
закон дистрибутивности относительно сложения матриц
3) (ab)A=a(bA)
4) 1·A=A
∀А

16.

• Произведением матриц Am×n=(aij) и Bn×p=(bjk)
называется матрица Cm×p=(cik)=A·B, элементы
которой
n
cik aijb jk
где
j 1
a11
.
a
i1
.
a
m1
. . . a1n b11
. . . . .
. . . ain .
. . . . .
. . . a mn bn1
. b1k
.
.
.
.
.
.
. bnk
i=1,2,…,m
k=1,2,…,p
. b1 p c11
. . .
. . .
. . .
. bnp c m1
.
.
.
.
. cik
.
.
.
.
. c1n
. .
. .
. .
. c mn

17. Найти А·В и B·A:

1
4 5 8
B 2 3
A
1 3 1
3
4
1 5
4 5 8
2 3
A B
1 3 1 3
4
5
30 .
. .
c11 a11 b11 a12 b21 a13 b31 4 ( 1) ( 5) ( 2) 8 3
4 10 24 30

18.

1 5
4 5 8
2 3
A B
1 3 1 3
4
30 67
.
.
c12 a11 b21 a12 b22 a13 b32 4 5 ( 5) ( 3) 8 4
20 15 32 67

19.

1 5
30 67
4 5 8
2 3
A B
10 .
1 3 1 3
4
c21 a21 b11 a22 b21 a23 b31 1 ( 1) 3 ( 2) ( 1) 3
1 6 3 10

20.

1 5
30 67
4 5 8
2 3
A B
10 8
1 3 1 3
4
c22 a21 b12 a22 b22 a23 b32 1 5 3 ( 3) ( 1) 4
5 9 4 8

21. Найти А·В и B·A:

1
4 5 8
B 2 3
A
1 3 1
3
4
1 5
30 67
4 5 8
2 3
A B
10 8
1 3 1 3
4
20 13
1 5
1
4 5 8
11 1 13
B A 2 3
1 3 1
3
4
16
3
20
5

22.

умножение матриц имеет смысл только в
том случае, когда число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй.
в результате умножения получается
матрица с количеством строк первой и
количеством столбцов второй.

23. Свойства умножения матриц:

1) АВ≠ВА
2) А(ВС)=(АВ)С
закон ассоциативности
3) (А+В)С=АС+ВС
закон дистрибутивности
4) Если ∃АВ, то а(АВ)=(аА)В=А(аВ), а∈R
5) Произведение двух ненулевых матриц может быть
нулевой матрицей.

24.

• Если АВ=ВА, то матрица А и В
называются
перестановочными
или
коммутирующими.

25.

• Если в диагональной матрице все
элементы главной диагонали 1, то
матрица называется единичной.
1
0
E I
0
0
• Свойство:
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ЕА=АЕ=А

26.

A R m n переставить
• Если в матрице
строки
местами со столбцами, то получим матрицу,
которая называется транспонированной: AT R n m
a11
A a 21
a
31
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
a11
T
A a12
a
13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33

27.

• Матрица называется симметричной, если AT A
3 1
2
A 3
5 4
1 4 7
симметричная

28. Свойства транспонированной матрицы:

1)
A
2)
A B
3)
cA
4)
AB
T T
A
T
A B
cA
T
T
A R
T
T
B T AT
T
m n
A, B R
A R
m n
m n
, c R
A R m n , B R n p

29. Даны матрицы А и В: Вычислить:

2 1
A
0 3
7 4
B
5 3
C A 2B
2
D 3 AT B 2
K 2 AT B T
- 10 3
60 40
28 20
D
K
Ответ : C
10 3
47 20
38 28

30. Каков порядок матриц А и В? Вычислить АВ.

1)
2)
1 2 3
A 3 2 4
2 1 0
6 4
B 2 1
3 3
8 5 2
A
1
2
3
1 2 3
B 3 2 4
2 1 0
1 3
AB 10 2
10 7
27 24 44
AB
6
13
10

31. Каков порядок матриц А и В? Вычислить АВ.

3)
3 2 0 5
A
4 3 5 0
4)
A 1 2 3
5)
7
A 8
5
1 2
2 1
B
3 2
2 3
7
B 8
5
B 1 2 3
3 11
AB
5 5
AB 38
7 14 21
AB 8 16 24
5 10 15