Похожие презентации:
Матрицы и действия над ними. Слайд-лекция №1
1.
СЛАЙД-ЛЕКЦИЯ № 1ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД
НИМИ»
2. ПЛАН ЛЕКЦИИ
1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
3. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯПРЯМО-УГОЛЬНАЯ ИЛИ
КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ
ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.
5. ВИДЫ МАТРИЦ
412
17 29 Прямоугольная
матрица
30 36
3
22
Матрица-столбец
0
5
3 1 2
4 2 0 Квадратная
матрица
5 6 1
1 3 2
0
Матрица-строка
6. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ
7. ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ СТРОК И СТОЛБЦОВ
СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.
8. СТРОКА И СТОЛБЕЦ
412
17
29
30 36 3-я строка
4
12
17
29
30 36 2-й столбец
9. РАЗМЕР МАТРИЦЫ
МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И nСТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.
4
12
17 29 Матрица размера 3 на 2
(3 строки, 2 столбца)
30 36
10. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n
a11 a12a21 a22
A
...
...
a
m1 am2
a1n
... a2n
... ...
... amn
...
11. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ
4 Элемент a31 a-три-один 3012
17 29
(3-я строка,1-й столбец)
30 36
12. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
3 1 24 2 0 Главная диагональ
5 6 1
3 1 2
4 2 0 Побочная диагональ
5 6 1
13. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Верхняя треугольная матрица3 1 2
0 2 0 (под главной диагональю стоят нули)
0 0 1
Нижняя треугольная матрица
3 0 0
1 2 0 (над главной диагональю стоят нули)
2 0 1
14. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
15. ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО
3 1 2 15 5 105 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5
16. МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ
3 1 2 8 5 54 2 0 7 3 14
3 8 1 5 2 5
2 3
0 14
4 7
17. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ
412
Исходная
A 17
29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T
18. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)
72
5
3
0
2 7 5 0 3 4 2
4
19. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ
3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 214 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4
20. ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ
МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B
21. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ
С A BA левая матрица, B правая матрица
22. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
3 1 2 8 14 2 0 7 2
5 6 1 2 3
3 8 1 7 2 2 3 1 1 2 2 3 21 5
4 8 2 7 0 2
4 1 2 2 0 3 46 8
5 8 6 7 1 2 5 1 6 2 1 3 4 4
23. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ
7 57 2
7
0 2 5 3 0 2
0
5
4
4 2 4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3
24. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
1 0 0Единичная матрица
E 0 1 0
(размер 3 на 3)
0 0 1
0 0 0
Нулевая матрица
0 0 0 0
(размер 3 на 3)
0 0 0
25. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A
5 7 4 1 0 0 5 7 43 6 8 0 1 0 3 6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 6 8 3 6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0
26. § 1. Матрицы и действия над ними
1. Определение и некоторые виды матрицОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Матрицей размера m n называется
таблица, образованная из элементов некоторого
множества (например, чисел или функций) и имеющая m
строк и n столбцов.
Если m n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n.
Элементы, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы.
Например, a24 –
a13 –
27.
a11a
A 21
am1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n
,
amn
a11 a12
a21 a22
A
a
m1 am 2
a1n
a2 n
amn
A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
A ( aij ) , ( i, j 1, n )
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового
размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых
местах, равны между собой, т.е. aij bij.
28. Некоторые частные случаи матриц
a11a
1) Матрицу A 21 ( ai1 ) , размера m 1 называют
am1
матрицей-столбцом длины m
2) Матрицу A a11 a12 a1n ( a1i ) , размера 1 n
называют матрицей-строкой длиныn
3) Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы
которой равны нулю:
0 0 0
0 0 0
O
0 0 0
29.
4) Пусть A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )Элементы a11, a22, …, akk (где k min{m,n}) будем называть
элементами главной диагонали матрицы.
Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
a11 0
0 a
22
A
0 0
0
0
ann
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1,
называется единичной:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Обозначают: E или En.
30.
5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементыa1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами
побочной диагонали матрицы.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше)
главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
b11 b1, n 2 b1, n 1 b1n
a11 a12 a13 a1n
0 a a a
b
b
b
0
2, n 2
2, n 1
22
23
2n
21
A 0 0 a33 a3 n , B b31 b3, n 2
0
0 ,
0 0 0 a
b 0
0
0
nn
n1
0
0
d1n
0
c11 0 0 0
0
c c
0
d
d
0
0
2, n 1
2n
21 22
C c31 c32 c33 0 , D 0 d3, n 2 d3, n 1 d3n
d d
d
d
cn1 cn2 cn3 cnn
n, n 2
n, n 1
nn
n1
31.
6) Прямоугольную матрицу размера m n будем называтьтрапециевидной, если все ее элементы ниже главной
диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:
a11 a12
0 a
22
A 0 0
0 0
a13
a23
a33
0
a1m
a2 m
a3 m
amm
a1n
a2 n
a3 n
amn
32. 2. Линейные операции над матрицами
1) Умножение матрицы на число;2) Сложение матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число
называется такая матрица B=(bij), элементы которой
равны произведениям соответствующих элементов
матрицы A на число , т.е.
bij= ·aij.
Обозначают: ·A, A.
Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,
Обозначают –A.
33.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij)одинакового размера, называется такая матрица C=(cij),
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .
Обозначают: A+B
Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.
Обозначают: A–B
34. Свойства линейных операции над матрицами
1) A B B A (коммутативность сложения матриц)2) ( A B ) C A ( B C ) (ассоциативность сложения
матриц)
3) A O A
4) A ( A ) O
5) ( A ) ( )A (ассоциативность относительно умножения
чисел)
6) ( )A A A (дистрибутивность умножения на
матрицу относительно сложения чисел)
7) ( A B ) A B (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения матриц)
8) 1A A
35. 3. Нелинейные операции над матрицами
1) Умножение двух матриц;2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка
и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением
матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется
число c, равное сумме произведений их соответствующих
элементов, т.е.
c a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .
36.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m n,B=(bij) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов
в матрице A совпадает с количеством строк матрицы
B). Произведением матрицы A на матрицу B
называется матрица C =(cij) размера m k такая, что
каждый ее элемент cij является произведением i-й
строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.
cij ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .
Обозначают: A ·B, AB.
37. Свойства операции умножения матриц
1) AE EA A , AO OA O2) ( AB )C A( BC ) (ассоциативность умножения матриц)
3) ( A B)C AC BC
дистрибутивность умножения
4) C( A B) CA CB
матриц относительно сложения матриц.
38.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m n.Матрица размера n m, полученная из A заменой
каждой ее строки столбцом с тем же номером,
называется транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется
транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ;
3) (αA)T = αAT ;
4) (A · B)T = BT · AT .
39.
ПримерОтвет
2
À 0
4
3
5
4 , B 7
2
9
6
0
1
A B ?
A B ?
B A ?
назад
40.
Матрица, полученная из данной заменой каждой еестроки столбцом с тем же номером, называется
матрицей, транспонированной относительно
данной.
Например:
Свойства
à11 à12 à13
À
,
à21 à22 à23
à11 à21
T
A à12 à22
à
13 à23
назад
41.
В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называютперестановочными или коммутативными.
Пример 1. Найти все перестановочные матрицы к матрице
1 2
À
0 3
Пример 2. Найти все перестановочные матрицы к матрице
2 4
À
1 0
назад
42.
Ответ:3 9
A B 7 4
6 10
7 3
A B 7 4
2 8
7 3
B A 7 4
2 8
назад
43.
ПримерОтвет
2
À 0
4
3
5
4 , B 7
2
9
6
0
1
2A ?
3B ?
4B 7 A ?
назад
44.
Ответ:4 6
2A 0 8
8 18
15 18
3B 21 0
6
3
34 3
4 B 7 A 28 28
20 59
назад
45.
Пример2
À 0
4
A B ?
3
1 2
4 , B
0 3
9
A B ?
B A ?
A B ?
B AT ?
T
T
Ответ
T
B A ?
T
T
назад
46.
Ответ:2 3
1 2
À 0 4 , B
0
3
4 9
2 5
A B 0 12
4 35
B A,
AT B,
2
B A
5
T
T
0
12
BT A,
4
35
AT BT í åâî çì î æí î
назад
47.
Ответ:4c
a
B
c 2c a
или
d 2c 4c
d
c
или B
a
2 d 2a
B
0,5
d
0,5
a
d
назад