Потенциальное, упругое рассеяние частиц

1. Потенциальное (упругое) рассеяние

Частица массы m в поле рассеивающего потенциала U(r):
p2
U
(
r
)
(r ) (r )
2m
Волновая функция (r) вдали от рассеивателя r
(r ) eikr
f ( ) ikr
e
r
k = (2m )1/2 - волновой вектор, = 1, f( ) - амплитуда рассеяния
Поток рассеянных частиц, сечение рассеяния
d dN
,
d jd
d
2
f ( ) ,
d
2
vf 2
2
dN v dS 2 r d
r
f ( ) d
2

2. Фазовая теория рассеяния

Рассеяние на изотропном потенциале
Разложение волновой функции по парциальным волнам
(r ) Alm Rl (r )Ylm ( , )
l ,m
1 d 2 dRl 2 l (l 1)
r
k
2
mU
(
r
)
Rl 0,
Радиальная
2
2
r dr dr
r
часть Rl
1 d dR l (l 1)
l
l 1
r 0 : 2 r2 l
R
0
,
R
r
,
1
/
r
l
l
r dr dr
r2
Асимптотическое поведение
2
i ( kr
l
)
d (rRl )
e
2
( )
( )
( )*
r :
k
rR
,
R
,
R
R
l
l
l
dr 2
r
Rl( ) (r 0) 1 / r l 1 , Rl CRl( ) C * Rl( ) , C iei l ,
l
Rl(-) - сходящаяся,
2 sin( kr l )
(+) расходящаяся,
Rl
2
Rl (r )
,
волна, l - фаза
r
рассеяния.
Rl i (ei l Rl( ) e i l Rl( ) ).
2

3. Разложение плоской волны

eikr 4 i l jl (kr )Ylm* (k )Ylm (r )
l ,m
l (l 1)
dj (kr )
2 l
2
Сферические функции
r
k
jl (kr ) 0,
2
2
dr
r
Бесселя jl, j0(x)=sin(x)/x r dr
jl(x)=( /2x)Jl+1/2(x)
jl (kr ) sin( kr l / 2) / kr ,
1 d
k z Ylm (k )
(2l 1)
m 0 , eikr i l 4 (2l 1) jl (kr )Yl 0 (r )
4
l
Разложение (r)
(r) Alm Rl (r )Ylm ( , ), Alm m0
l ,m
( r )
l
i l e i l
4 (2l 1)
2k
i l e i l
4 (2l 1)
2k
2 sin( kr
r
l
2
l )
Y0 m ( , )

4.

(r ) eikr 4
l
(2l 1) eikr i 2 l
f ( ) ikr
e 1 Ylm ( , ) eikr
e
2k
r
r
e
(2l 1)
1
Pl (cos( ))
Амплитуда рассеяния f ( )
2ik
l
Sl 1
i 2 l
S матрица Sl e
Парциальная амплитуда f l
2ik
i 2 l
Разложение амплитуды рассеяния
f ( ) (2l 1) f l Pl (cos )
l

5.

Сечение рассеяния
f ( ) d 2 f ( ) sin( )d
2
2
0
2 ll '
0 Pl (cos ) Pl ' (cos ) sin( )d 2l 1
l 4 (2l 1) f l
2
l
l
4
k2
(2l 1) sin l
2
l
4
2
4
(
2
l
1
)
f
(
2
l
1
)
sin
l
Парциальное сечение
l
l
2
k
Максимальное парциальное сечение l max 4 2 (2l 1)
k
2
Rl (r ) l

6.

Условие унитарности
l e 2i l( ) l( ) Sl l( ) l( )
Парциальная волна
l
Расходящаяся волна
l( ) Rl( ) (r )Yl 0 (n)
Сходящаяся волна
l( ) Rl( ) (r )Yl 0 (n)
Суперпозиция парциальных волн
Al l Al Sl l( ) Al l( ) Bl l( ) Al l( )
l
l
l
Матрица рассеяния S
l
B S A , Sll ' ll 'e2i
Унитарность S матрицы
Sll 1, SS 1
Сохранение числа частиц
Bl Al ,
jl( ) jl( )
l

7.

Оптическая теорема
Sl 1 2ikf l , Sl S 1,
*
l
f l f l 2if l f l , Im{ f l } k f l
*
*
1
fl
g l ik
Im{1 / f l } k ,
Im{ f (0)} (2l 1) Im{ f l } (2l 1)k f l
2
l
l
k
Im{ f (0)}
4
k
4
2

8.

Закон сохранения числа частиц
f ( ) ikr
ikr
(r ) e
e
r
2
f ( )
Плотность потока частиц j(r ) v v
r jint
3
r
2
f ( )
jdS 0, vdS 0, v r 3 rdS v , jint dS v 0
1
ikr (cos 1) *
ikr (cos 1)
j
d
S
2
v
e
f
(
)
e
f ( ) rd cos
int
0
2 v *
k
f (0) f (0) v, Im{ f (0)}
ik
4

9.

Условие унитарности S матрицы в представлении плоских волн
n (r ) e
ikrnn '
f (n, n' ) ikr
e ,
r
n n' 1, n k , n n' r
ikr
e
F (n) n dn F (n)eikrnn ' dn
F (n) f (n, n' )dn
r
e ikr
eikr eikr
2 iF ( n' )
2 iF (n' )
F (n) f (n, n' )dn
kr
kr
r
2 i eikr
e ikr
SF (n' ) F ( n' )
,
k r
r
1
S 1 2ikf , fF (n' )
F (n) f (n, n' )dn,
4
SS 1. f f 2ikff ,
ik
*
f
(
n
,
n
'
'
)
f
(n' ' , n' )dn' ' ,
2
k
n n' , Im{ f (n, n)}
4
f (n, n' ) f * (n' , n)

10.

Приближение Борна
Условие приближения
mUa 2 1, Ua / v 1 ka 1
k 2 k ' 2 dk '
Вероятность рассеяния dW 2 k ' U k
3
2
2
(
2
)
2
d dW 2
d jd v
k 2 k '2 k '2 dk '
m2
2
k' U k
k' U k ,
3
2
2m 2m (2 ) (2 )
2
k ' U k U (r )ei ( k k ') r dr U (q), q k ' k ,
sin( qr )
d
sin( qr )
2
U (q) 4 U (r )
dr ,
4m U ( r )
dr
q
d
q
0
0
2

11.

Квазиклассическое приближение
Квазиклассический предел
a, h / p,
0,
ka pa / 1,
l p / 1, l 1,
U ( ) / E / p 1 / l
Классические
траектории
движения
Классическое
сечение
рассеяния
f ( ) (2l 1) f l Pl (cos )
l
i 2 l ( l 12 ) 4 i 2 l ( l 12 ) 4
1
l
e
e
,
k l 2 sin
d l
2
0, l k , ( ),
dl
d
l
dl
d
2
d k sin( ) d sin( ) d

12.

Приближение WKB,
Приближение эйконала
E U , ka 1
Квазиклассическая волновая функция
1
2 (l 1 / 2) 2
rRl sin( 2m E U (r )
dr
),
2
r0
r
4
r
1
2 (l 1 / 2) 2
l 2 m E U ( r )
dr
2
r0
r
4
1
2 (l 1 / 2) 2
2 (l 1 / 2) 2
2mE
dr . 2m E U (r0 )
2
2
r0
r
4
r0
Квазиклассическая
фаза рассеяния
2
1 mU (r )dr
l
2
l 2
,
k
2
2
r0
r0
l
2
k 2
r

13.

Квазиклассическая фаза рассеяния
2
1 mU (r )dr
l
2
2
2
2
l 2
, r z z ,
2
l/k 2 l
k
k 2
r
m
l
2
2
l 2 U ( z (l / k ) )dz ,
k0
k
( )
2
1
2
2
U
(
z
)dz ,
2 v
k2
2m
m
U
dz
kdz
Udz.
2
2
k
Эйконал

14.

Квазиклассическая амплитуда рассеяния
f ( ) (2l 1) f l Pl (cos )
l
Pl (cos ) J 0 ( l )
1
2
2
i l cos
e
d , l 1, 1
0
1
(e 2i l 1) i l cos
f ( )
2l
e
d dl
2
2ik
Замена переменных
l , l k , q k , l ( l / k ), S ( ) e 2i ( ) ,
k
f ( )
2 i 0
2
S ( ) 1 e
0
iq
k
i q 2
d d
S
(
)
1
e
d
2 i

15.

Борновский предел
i
2 i ( )
( ) 1, (e
1) 2i ( ) U ( z 2 2 )dz ,
v
m
iqr
f ( )
U
(
r
)
e
dr
2
2
Сечение рассеяния
4
Im{ f (0)} 2 Re{1 S ( )}d 2 4 sin 2 ( ( ))d 2
k

16.

Рассеяние медленных частиц
ka << 1
Волновая функция вне действия потенциала r >> a
Rl (r ) 2 sin( kr
l
l ) / r
2
l
l
2 sin( kr ) cos( l ) / r 2 cos( kr ) sin( l ) / r
2
2
Rl (r a) 2 jl (kr ) cos( l ) 2 yl (kr ) sin( l )
Волновая функция в области действия потенциала r < a
1 d 2 dRl l (l 1)
r
2
mU
(
r
)
2
Rl 0
2
r dr dr r

17.

Сшивание волновых функций a<r<1/k
l
R 'l
j ' (kr ) cos( l ) y 'l (kr ) sin( l )
k l
Rl
jl (kr ) cos( l ) 2 yl (kr ) sin( l )
kj 'l (kr ) l jl (kr )
tg ( l )
,
ky 'l (kr ) l yl (kr )
jl ( x 1) x l , yl ( x 1) 1 / x l 1 ,
tg ( l ) (ka )
2 l 1
,
f ( ) f 0 ,
4 2
e 2 i l 1 l
fl
(ka ) 2l ,
2ik
k

18.

Резонансное рассеяние медленных частиц
резонанс в s - волне, l = 0
k cos( ka ) sin( ka )
tg ( 0 )
,
k sin( ka ) cos( ka )
1
1
f0
,
g 0 ik kctg ( 0 ) ik
k sin( ka ) cos( ka )
g0
k
,
k cos( ka ) sin( ka )
1 a
cos( a )
, 2mU
sin( a )
1 / g 0 a 1 / a tg ( a) /
Условие резонанса,
0, g 0 0, 0
2
k

19.

1 / a
(r a ) e r ,
2
2m
1 / , g 0 (k 0)
1
f0
,
ik
4
2
1
2 2
,
k
m (E )
1
1
f0
g 0 (k ) ik r0 k 2 / 2 ik

20.

резонанс с l 0
1
1
fl
,
1
g l (k ) ik g (0) g ' ' k 2 ik
l
l
2
b
2l
2l
f l k , g l (k ) 1 / k , g l (k ) l ( E ),
E
1
1
/2
fl
, 2kE l / b k 2l 1 ,
b
k E i / 2
(
E
)
ik
El
E i / 2
S
,
E i / 2
(2l 1)
2
l
k2
(E )2 2 / 4

21.

Аналитические свойства S матрицы
kl al (k ) kl( ) (r ) bl (k ) kl( ) (r ),
( )
kl
( r ) e
i ( kr
l
2
)
, kl (0) 0,
bl (k ) kl( ) (r )
Sl (k )
( ) |r 0
al (k ) kl (r )
k -k
kl C kl
( kl) ( 1)l kl( ) ,
Sl ( k ) 1 / Sl (k )

22.

t -t
( )*
kl
kl* C kl
( )
kl
,
k
k * , Sl* (k )
k , Sl (k )
k , 1 / Sl ( k )
k * , 1 / Sl* (k )
Sl (k ) * 1 / Sl (k ),
S l* ( k * ) 1 / Sl (k )
Sl ( k * ) Sl* (k ),
Вещественная ось
Sl (k ) Sl (k )* 1, Im{ l (k )} 0,
g l ik
Sl (k ) 1 2ikf l (k ), f l (k ) 1 /( g l ik ), Sl (k )
,
g l ik
g l ( k ) g l (k ), g l g l (k 2 )
Мнимая ось Sl * ( k * ) Sl (k ), Re{ l ( i | k |)} 0

23.

Особенности S матрицы
Полюса S матрицы, связанные состояния E=E0<0
k k0 i 2mE0 ,
( )
k0 l
(r ) e
( k0 r i
l
2
)
,
k l k( l ) , k( l ) (0) 0, Sl ( k k0 ) , Sl ( k0 ) 0
0
0
0
Пример: Sl ( k ) gl ik , l 0, g 0,
g l ik
резонанс в
s - волне,
ik
2
Sl ( k )
, k 0 i , E 0
,
ka << 1
ik
2m

24.

Положение полюсов k0=k’+ik”:
k” >0, k’=0; k” <0, k’1=- k’2
ik 'r k ''r
Sl 1 ( k0 k ' ik " ) 0, k0l k(0 l ) r
e
,
E0 ( k ' ik " ) 2 / 2m, Im{E0 } 0, k ' k " 0
Условие непрерывности
2
i
*
*
dS
dV
j
d
S
t
2m
R
i * d
d *
2
dr
t 0
2m dr
dr r R
k l k( l) r
e
0
0
ik 'r k ''r
i
( k '2 k "2 2 ik 'k ") t
2m
,

25.

k l k( l) r
e
0
ik 'r k ''r
0
i
( k '2 k "2 2 ik 'k ") t
2m
,
2 2k ' k " 2
,
t
m
R
2k ' k "
k ' 2 k "R
2
dr e
,
m 0
m
k " 0; k " 0, k ' 0.
Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<<k’
( k k0* )( k k0 ) 2 i ( 0 ) ( k )
Sl ( k )
e
,
*
( k k0 )( k k0 )
( k k0 )( k k0* ) ( k ik " ) 2 k '2 k 2 k '2 2ikk " ,
i
E E0
k k"
k '2
2 i ( 0 ) ( k )
2
E0
,
, E0 , Sl ( k )
e
i
2m
m
E E0
2

26.

Свойства вычетов
Полюс на физическом листе k0=i
Связанное состояние с энергией
Sl (k )
E0
2
2m
l (r ) Al e r ,
и волновой функцией
Cl
k i
l dr 1
2
0
Cl ( 1) l 1 i Al
2
Волновая функция задачи рассеяния с импульсом k= i +
r i r ( 1) l r i r
kl (r ) Al e
e
,
Cl
k i ,l l , l dr 1
0
2

27.

Условие непрерывности
2
i
*
*
dS
dV
j
d
S
t
2m
R
i * d
d *
2
dr
t 0
2m dr
dr r R
2 2k ' k " 2 2 2
,
t
m
m
i * d
d *
2m dr
dr r R
2
m
R
2
l
Al 2 R
2 ( 1)
2
i
A
e
l
m
Cl
2
2i ( 1) l 1 2
0 dr m Cl Al .
2

28.

Теорема Левинсона
l ( ) l (0) N b
Sl
2i ( k ), ( k ) ( k ),
Sl
Sl
Sl dk 2i (k )dk 4i 0 (k )dk 4i ( ) (0)
( )
*
( )
Функция Йоста Dl(k) Dl ( k ) kl (0), Dl ( k ) kl (0),
Dl ( k ) ( 1) l Dl* ( k ).
kl( ) (0) Dl* ( k )
Dl * Dl Dl* Dl
Dl* ( k ) Dl ( k ) Dl ( k )
Sl ( )
, Sl
,
2
kl (0) Dl ( k )
Dl
Dl ( k ) Dl ( k ) Dl ( k )
Sl
Dl ( k )
Dl ( k )
1
dk
2
dk
4
iN
,
D
(
k
k
)
B
(
k
k
),
.
b
l
0
0
Sl
Dl (k )
Dl ( k ) ( k k0 )

29.

Квазистационарные состояния
Волновая функция
k l k( l) , k( l) (0) 0.
Энергия состояния
E E0 i / 2, E0 .
0
0
0
Временная зависимость волновой функции
(t ) e iEt e
iE0t t
2
,
2
( t ) e t , N ( t ) N 0 e t .
Пространственная зависимость волновой функции
2m
ikr
(r ) e , k 2m( E0 i / 2) 2mE0 i
,
4 E0
(r ) Ae
ik 'r k " r
2
,
2m
k ' 2mE0 , k "
,
4 E0
2v
2
r
v
( r ) A e 2 k " r A e .

30.

Условие непрерывности
2
i
*
*
dS
dV
j
d
S
t
2m
R
i * d
d *
2
dr
t 0
2m dr
dr r R
k l k( l ) r
Ae
0
ik 'r k ''r
i
( k '2 k "2 2 ik 'k ") t
2m
0
R
,
2 2k ' k " 2 2k ' k "
k ' 2 k "R
2
,
dr A e
,
t
m
m 0
m
2
A 2 k " N (t ),
2
( t , r ) N 0 e t r / v .

31.

Квазистационарное состояние в задаче рассеяния
Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<<k’
( k k0* )(k k0 ) 2 i ( 0 ) ( k )
Sl ( k )
e
,
*
( k k0 )( k k0 )
( k k0 )(k k0* ) ( k ik " ) 2 k '2 k 2 k '2 2ikk " ,
i
k k"
k '2
2 i ( 0 ) ( k )
2
E0
,
, E0 , Sl ( k )
e
,
i
2m
m
E E0
2
l ( k ) ( 0 ) ( k ) arctg
.
2( E E 0 )
E E0

32.

l
(2l 1)
2
2
Sl 1
k
(0)
e i sin ( 0 )
(2l 1)
2
2 (0)
4
Re
4
sin
2
2
i
k
E E 2
E
E
0
0
2
4

33.

Зависимость волновой функции рассеяния от энергии
налетающий частицы в области резонанса
kl 2m(U (r ) E ) kl 0 | k 'l
k 'l 2m(U (r ) E ' ) k 'l 0 | kl
k 'l kl kl k 'l 2m E kl k 'l
k 'l kl kl k 'l 1 kl
1
kl
dr
lim
kl
kl
0 kl
2m
E
2k
k
k
l
kl ( R ) 2 sin( kR l )
2
R
d l 1
l
2
dr
2
R
sin
2
(
kR
)
l
0 kl
dk 2k
2
R
2

34.

R
dr
2
kl
R
2
0
d l 1
l
sin
2
(
kR
)
l ,
dk 2k
2
k
(0)
l ( k ) ( k ) arctg
( k ) arctg
,
k k
2( E E 0 )
R
R
v
2
v
2
kl dr ,
,
2
0 kl dr
0
2
( E E0 )
4
v
T
2
kl
1.
R ( R / v )
Время соударения
(0)
R
kl dr T ( E ) I , I v T ( E )
2
2
0
( E E0 ) 2
4
d l 1
2
l
T ( E ) R
sin 2( kR l )
v
dk 2k
2

35.

Координатная и энергетическая зависимость волновой
функции задачи рассеяния в области резонанса
kl (r )
v
( E E0 )
4
2
2
0 (r ),
R
2
0
dr 1
0
Резонанс в неупругом рассеянии
2
w 2 f V i ( E f Ei ) df ,
i k (r ) 0 (ra ),
k (r )
l
i l e i l
4 (2l 1)
kl (r ),
2k
f k ' (r ) nm (ra ) e nm (ra )
ik ' r
E
V
E’
m
n

36.

kl (r )
v
0 (r ),
( E E0 )
4
i l e i l
v
i 4 (2l 1)
0 (r ) 0 (ra ),
2
2k
2
( E E0 )
4
2
(2l 1)
v
w
2 f V 0 ( E f Ei ) df ,
2
2
k
2
( E E0 )
4
2
2
2
r 2 f V 0 ( E f Ei ) df ,
w (2l 1)
r
v
k2
r
r
, r e
2
( E E0 ) 2
4

37.

Многоканальное рассеяние
X i Yi X j Y j
Волновая функция многоканальной задачи
i k(i l ) (ri ) i k(i l ) (ri ) i , i X i Yi ,
i
i ( ki ri
( )
ki l
1 e
(ri R )
vi
ri
l
2
)
Ylm (ni ),
k i 2 i ( E i ) i , vi
ki
i
, i
mX i mYi
m X i mYi
Если E > i - i канал рассеяния открыт, Im{ki}=0.
Если E < i - i канал рассеяния закрыт, Re{ki}=0, i=0.
S
Размерность S - матрицы m m,
m - число открытых каналов.

38.

Сечения рассеяния, разложение по парциальным волнам
vi
l (l )
( )
( )
(l ) ( )
4 (2l 1)i Sii kil i kil i S ji kil j
2iki l
j i
e
ik iri
vi
l
(l )
( )
(l ) ( )
i
4 (2l 1)i ( Sii 1) kil i S ji kil j .
2iki l
j i
Волновая функция на бесконечности
iki ri
e
(r ) e ik iri i
ri
( Sii( l ) 1)
l (2l 1) Pl (cos i ) 2ik i
i
(l )
S
e
ji
(l )
(l )
(
2
l
1
)
P
(cos
)
,
S
2
i
k
k
f
l
i
j
ji
ij
i j ji
r
2
i
k
k
j i
l
j
i j
ik j rj
f ji( l )
( S (jil ) ij )
2i ki k j
- амплитуда рассеяния

39.

Дифференциальные сечение рассеяния
d ji v j
2
d e d ii
2
f ii ( ) ,
f ji ( ) ,
d i d i
d i vi
f ji ( ) (2l 1) Pl (cos ) f ji( l )
l
Полные сечение рассеяния
ii
(l )
ii
l
ji
ji
(l )
ji
l
k
2
i
(2l 1) S
(l )
ii
1
2
l
vj
(l ) 2
(l ) 2
4 (2l 1) f ji 2 (2l 1) S ji
vi l
ki l
k
2
i
Сечение упругого
рассеяния
e ii ,
l
(l )
ji
l
4 (2l 1) f
(l ) 2
ii
(2l 1) S
(l )
ji
ij
2
l
Сечение неупругого
рассеяния
r ji ,
j i
Полное сечение
t e r

40.

Условие унитарности
i i(, l ) i i(, l ) i - парциальная волна с моментом l
i
I
i , I
2
( )
( )
i
2
j S (jil ) i S (jkl )* S (jil ) i k*
2
j
j
i
i, j
Закон сохранения числа частиц: I ( ) I ( )
( l ) ( l )*
( l ) ( l )
S
S
,
S
S 1
ji jk ik
j
S
(l ) 2
ji
S
(l ) 2
ji
1,
S
(l ) 2
ii
1 S
1 S
(l ) 2
ii
,
(l )
e
j i
1, l l i l ,
j i
j
(l )
r
(l ) 2
ji
(2l 1)(1 S
2
ki
(l ) 2
ii
k
2
i
),
(2l 1) S
(l )
t
(l )
ii
2
1 ,
(l )
(
2
l
1
)(
1
2
Re
S
ii ),
2
ki

41.

Sii( l ) 1, e( l ) r( l ) 0,
Sii( l ) 1, e( l ) 0, r( l ) 0,
S
(l )
ii
0,
(l )
r
(l )
0
(l )
e
k
2
i
(l )
r
(2l 1) S
(l )
0
(l ) 2
ii
k
2
i
(2l 1),
,
1 Sii( l ) Sii( l ) 1 Sii( l ) 1,
0( l ) 0( l ) r( l ) e( l ) 0( l ) 0( l ) r( l ) .

42.

Оптическая теорема
S
(l ) 2
ij
1,
j
( l )*
(l )
(
2
i
k
k
f
)(
2
i
k
k
f
ij
i j ji
ji
i j ji ) 1,
j
Im{ f ii( l ) } k j f
j
(l ) 2
ji
ki t( l )
,
4 (2l 1)
Im{ f e (0)} Im{ (2l 1) f ji( l ) }
l
Im{ f e (0)}
ki
t
4
ki
t ,
4

43.

Обратимость времени, теорема взаимности
t -t
Ψ Ψ*
k( l )* k( l ) , Sl (k ) * 1/ Sl (k ), Sl* (k * ) 1/ Sl (k )
i
i
Условие унитарности Sl ( k ) 1/ Sl ( k )
Симметричность S - матрицы S~l (k ) Sl (k ), Sij( l ) S (jil )
Теорема взаимности
f (p j , p i )
4
2i k j ki
(l )
*
*
l m *
S
Y
(
p
)
Y
(
p
),
Y
(
n
)
(
1
)
Yl m ( n),
ji lm i lm j lm
lm
f (p j , p i ) f ( p i , p j ).
Принцип детального равновесия
d ji
d ij
2
2
p j d j pi d i

44.

Аналитические свойства
Точки ветвления E i , k1 2m1 ( i 1 )
Полюса на физическом листе E < 1, , Re{ki}=0, Im{ki}>0
Связанные состояния E = E0< 1, Ψ (+)
k0 i ri
e
0 Ai i( ) i r
Ai
Ylm (ni ) i ,
R
ri
i
i
k 0 i 2 i ( E0 i ) .
( )
(l ) ( )
Волновая функция задачи рассеяния i kil i S ji k jl j
j
ki ki 0 0 , S
i ( ki ki 0 )
bi
1
(l )
ji
C ji
, C ji v j A j bi ,
k1 k10
0
vj
ki ki 0 i , i j
vi

45.

Условие непрерывности
2
i
*
*
dV
j
d
S
i
k jl
k jl
k jl
k j l dS
t
j 2 j
R
i * d
d *
1
2
dV
,
i
k jl
i
k jl
k jl
k jl
i
t 0
dr
dr
bi
r R
j 2 j
l
2ki ki 2 2 i i
(
1
)
1 iri i iri
2
2
j rj i j rj
i
i
i , k jl A j e
ij
e
t
i
i
bi vi
*
A
A
i * d
d *
l 1 i
i
i
kil kil k jl kil i ( 1)
*
2 i
dr
dr
i ( vi bi )
vi bi
r R
vi
2 1 i Ai
Ai*
l 1 *
i dr i ( 1)
, bi i ( 1) Ai
,
*
i 0
i ( vi bi )
vi bi
v1
v j vi
(l )
l 1 *
C ji i ( 1) Ai A j
v1
2 i i
R
2
l

46.

Формула Брейта - Вигнера
Резонансное рассеяние на квазидискретном уровне
E=E0-i /2 , E0.
i ( 1) l 1 v j vi Ai A j
l 1
i
(
1
)
v j vi Ai A j
(l )
S ji ( k1 k10 )
,
v1 k1 k10
E E0 i
2
i ( i j )
2 i i
ie
j i
(e 1)
2
(l )
f ji ij
, i vi Ai - поток
2iki
2i ki k j E E0 i
частиц сорта i
2
Условие унитарности Im{ f } k j f
(l )
ii
j
(l ) 2
ji
, i
i
i=vi|Ai|2 - парциальная ширина, = i i - полная ширина.
(l )
e
4 2l 1 f
(l ) 2
ii
,
(l )
rj
(2l 1)
i j
ki2
2
( E E0 )
2
2

47.

Рассеяние через образование промежуточного
квазистационарного состояния, прямое рассеяние
e i e sin
e2
(2l 1)
2
e
i
e
4
Re
4 sin e ,
2
2
i
ki
E E 2
E
E
0
0
2
4
r
(2l 1)
k
2
i
e r
E E0 2
2
, r e , e i , e i
4
Сечение образования промежуточного квазистационарного состояния
в пренебрежении каналом прямого потенциального рассеяния
t
(2l 1)
ki2
e
e
ri
, e t , ri t .
2
2
E E0
4

48.

Резонансы формы
Пример: Неупругое резонансное рассеяние с возбуждением мишени
2
w 2 f V i ( E f Ei ) df ,
E
i k (r ) 0 (ra ), f k ' (r ) nm (ra ).
i l e i l
i 4 (2l 1)
2k
w
(2l 1)
k
2
V
v
( E E0 ) 2
v
2
n
2 f V 0 ( E f Ei ) df ,
2
r 2 f V 0 ( E f Ei ) df , r e ,
w (2l 1)
r
v
k2
r
m
0 (r ) 0 (ra ),
2
( E E0 )
4
2
4
2
E’
r
, r e
2
2
( E E0 )
4

49.

Резонансы Фешбаха
Пример: Резонансное рассеяние с образованием автоионизационного
состояния.
E
Ea
V
E
m
Ea
V
E
m
+
Ea
V
Автоионизационная
e a 2
ширина
Неупругая ширина r 2
2
E
0 V a nm ( E Ea Enm ) dE ,
2
a
f V a nm ( E f Ea Enm ) df ,
Сечение резонансного рассеяния e
att
m
n
n
n
Сечение захвата
E
(2l 1)
a2
.
E E0
4
a r
(2l 1)
, a r .
2
2
k
E E0 2
4
k
2
i
2
2

50.

Оптическая модель рассеяния
Большое число плотно расположенных резонансов
Усредненные сечения, l=0 t
opt
e
k
2
i
2
Sii 1 ,
opt
a
t
Усреднение S матрицы, << D.
k
2
i
opt
e
(1 2 Re Sii ),
k
2
i
2
(1 Sii ).
2 i
i e
1 e e 2i e ,
(l )
(l )
e
Sii 1
e
,
S
ii
D
E E0 i
2
2 e
opt
Принцип детального равновесия:
a 2
.
ki D
ji pi2 ij p 2j
4 p
aopt 0 2 , 2 2 2 2 ij v j j I ij , m(2 ) 3 , w v,
ki
2
2
e
2
2
opt
2 e
a 2 wd 2
1
ki
ki D
D

51.

Пороговые явления
E i, Ti= E - i 0
Пример: i=1,2; E , T2 0, k2R << 1
Волновая функция задачи рассеяния частицы 1
(l ) ( )
1 k(1 l ) 1 S11( l ) k(1 l ) 1 S21
k2 l 2
Условие сшивания при r=R
i ( k2r2
k( l) (r2 R)
2
S
(l )
21
(l )
21
(r2 R)
( )
k2l
1 e
v2
r2
2
1
k
(int)
2 ,l
(2l 1) S
l
2
, S
(l ) 2
21
)
Ylm (ni ), k(2 l ) (r2 R)
(l )
21
k
1
k
l 1/ 2
2
1
( )
k 2l 1/ 2 ,
k2l (r2 R)
2 l 1
2
,
l
21 v2 , 12 1 / v2 - закон 1/v
(l )
12
k12 ( l )
2 21 k 22 l 1 ,
k2
, k 2 R 1,

52.

Закон 1/v и теория возмущений
2
21
v1
k2 V k1
2
k2 V k1
v1
2
12
v2
2
2
k 22
k12 dk 23
3
2 1 (2 )
2 2
4 k 2 2
v 2 2 E / 2 ,
3
(2 )
k1 V k2
2
k 22
k12 dk13
1 / v2
3
2 1 (2 )
2 2
t 22 12
Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области r < ρ = l/k
l
1 i ( kr 2 )
1
( )
( )
kl (r )
e
, kl (r )
e r
v
v (r )
1
er
v (r )
( l 1/ 2 ) 2
2 m(
E )dr
2 mr 2
1
v (r ) r
l
1
2
1
k l 1/ 2
k ( r ) dr

53.

Пороговое поведение сечения рождения заряженных частиц.
1. Притяжение, qxqy < 0, отсутствие потенциального барьера
l2 < |qxqy|mR
qx q y
l
i
(
kr
ln( 2 kr ) )
1
v
2
kl( ) (r R)
e
1 / v , kl( ) (r R ) const
v
2
1
k
(l )
(l )
S 21( l ) ( )
const , 21
const , 12( l ) 12 21
v2 2
k2l (r2 R)
k2
2. Отталкивание, qxqy > 0, отсутствие потенциального барьера
l2 < |qxqy|mR
Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области qxqy/r > (E - 2)
l
qx q y
ln( 2 kr ) )
1
( )
v
2
kl (r r0 qx q y / E )
e
1/ v ,
v
r0
qx q y
r0
2
m
(
E )dr
k ( r ) dr
r
1
1
1
kl( ) (r r0 )
er
er
e
v (r )
v (r )
v (r )
i ( kr
S
(l )
21
1
( )
e
k2l (r2 R)
qx q y
v2
,
(l )
21
e
2 qx q y
v2
,
(l )
12
2
1
2
2
q x q y
2E / m
e
k (l )
21 v2 2 e
k
q x q y
v
,
2 qx q y
v2

54.

Поведение упругого сечения вблизи порога E 2
1. E 2
S
(l )
21
(l )
11
S
k
e
l 1/ 2
2
2 i l( 0 )
,
(l )
11
S
1 S
(l ) 2
21
1
1 Ak22 l 1 ,
2
A 0,
1 1 Ak 2 l 1 , Im{ ( 0 ) } 0.
2
l
2
2. E 2
1 2 l 1
(l )
(0)
2 ( l 1)
S e
1
Ak
,
S
1
,
Im{
}
O
(
k
),
2
11
l
2
2
l( 0 ) ( k2 ) l( 0 ) (0) ak 22 ... l( 0 ) (0) l ,
(l )
11
2 i l( 0 )
1
S e 1 Ak2 , S11( l ) e 2i l ,
2
A 2 2 ( E ) 2 i 0
Ak
f11 ( , E ) f11 ( , ) 2 e 2i 0 f11 ( , )
e
4ik1
4ik1
(0)
11
2 i 0

55.

Дифференциальное сечение рассеяния
2
2
A 2 2 ( E )
d e
f11 ( , E ) f11 ( , )
Im{ f11 ( , )e 2 i 0 },E 2,
d
2k1
2
2
A 2 2 ( E )
d e
f11 ( , E ) f11 ( , )
Re{ f11 ( , )e 2 i 0 }, E 2
d
2k1
sin(2 0- ) E 2
A 2 2 E
2
2
d e
f e ( , E ) f e ( , )
f e ( , )
d
2k1
cos(2 0- ) E 2
{
f e ( , ) f e ( , ) e i
Полное сечение рассеяния
e ( E ) e ( ) 2 A 2 2 E
sin2( 0) E 2,
{
cos(2 0)/2 E 2.

56.

Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях
Резонанс при рождении медленных частиц
2
21
v1
k 22
k12 dk 23
k2 V k1 2 2 2 1 (2 )3
ik2r2
2 4 k
2
1
e
ik 2r2
2 2
k2 V k1
,
e
,
k2
3
v1
(2 )
ik2 r
2
k2
E
2
21 2
,
2
k2
E
2 2