Кручение стержней круглого сечения

1.

ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова»
Инженерно-технический институт
Кафедра прикладной механики
Решение задач
по дисциплине «Техническая механика»
270800 - Строительство

2. Кручение стержней круглого сечения

3.

Задача 1
Определить диаметр сплошного вала, передающего крутящий
момент 15 кН м, если допускаемое напряжение вала =70 МПа.
Решение: Из условия прочности вала на кручение определяем полярный
Mк
момент сопротивления сечения вала:
отсюда
W
тр
Mк
15 10
70
3
W
0,214 10 3 м 3 214 см 3 .
Полярный момент сопротивления для сплошного круглого сечения через его
диаметр:
D3
3
3
W
отсюда
D 3
16
0,2 D 214 см ,
214 3
1070 10,23 см.
0,2
Принимаем D =103 мм.

4.

Задача 2
Определить диаметр сплошного вала, передающего крутящий
момент мощностью 450 кВт при 300 об/мин. Угол закручивания не должен
превышать 10 на 2 м длины вала, а наибольшее касательное напряжение
=40 МПа, модуль упругости G=8 104 МПа.
Решение
Если мощность W, передающаяся валом, задана в киловаттах при n
оборотах в минуту, то крутящий момент, воспринимаемый валом,
вычисляется:
1020 60 W
W
450
Мк
Н м 9736 9736
14604 Н м.
2
n
n
300
0
Из условия задачи имеем:
к
1 1
0,0087 рад/м
0
180 2 м
– допускаемый относительный угол закручивания.
Из условия жесткости вала
I
тр
Mк
G к
Mк
к
GI
определяем полярный момент инерции:
14604 10 6
14604 10 8
8
4
4
2092
10
м
2092
см
.
4
6,9813
8 10 0,0087

5.

Полярный момент инерции круглого сплошного сечения вала, выраженный
через диаметр:
I
D4
32
0,1D 4 2092 см 4 ,
Из условия прочности вала
сопротивления сечения:
M
к
W тр
отсюда D=12,03 см.
определяем
полярный
момент
W
M к 14604 10 6
365,1 10 6 м 3 365,1см 3 .
40
Полярный момент сопротивления круглого сплошного сечения вала,
выраженный через диаметр:
W
D3
16
0,2 D 3 365,1см 3 ,
отсюда D=12,22 см.
Окончательно принимаем вал с диаметром D=123 мм.

6.

Задача 3
Стальной вал длиной 2 м и диаметром 7,5 см при нагружении его
крутящим моментом 4000 Н м закручивается на угол 1,80. Предел
пропорциональности для касательных напряжений равен 50 МПа.
Определить модуль упругости материала при сдвиге вала G.
Решение
Определяем максимальные касательные напряжения в вале:
MK
400000
2
4740
Н/см
47,4 МПа .
3
WP
0,2 7,5
Следовательно, вал на кручение работает в пределах упругих
деформаций, т.к.
47,4 МПа 50 МПа.
max
max
Из формулы определения угла закручивания вала определяем
модуль упругости при сдвиге материала вала:
MK l
4000 10 6 2
1,8 0
K
(рад) 0,0314,
4
8
0
GI P
G 0,1 7,5 10
180
отсюда G=8,05 10-4 МПа.

7.

Задача 4
Сплошной вал диаметром 40 см заменяется полым валом, у
которого внутренний диаметр составляет 60% от наружного. Определить
наружный диаметр полого вала при условии, что допускаемое касательное
напряжение у них одинаковое (равнопрочные валы). Сравнить вес
сплошного и полого валов.
Решение
Условие прочности сплошного вала:
max
M кр
WP
M кр
0,2 40
3
.
(1)
Условие прочности полого вала:
max
M кр
WP
M кр
0,2 D (1 )
d
0,6
D
3
4
,
(2)
D 60%
d
0,6 D
100%

8.

.
При равнопрочности сплошного и полого валов, сравнивая (1) и
(2), получаем
M кр
0,2 40
3
M кр
0,2 D (1 )
3
4
,
40 3
D 3
41,89 см.
4
1 0,6
Принимаем D=42 мм, d=25,2 мм.
Сравниваем вес валов:
Qспл Aспл l
40 2 4
1,417 ,
2
2
Qпол Aпол l 4 42 (1 )
т.е. при равной прочности сплошного и полого валов расход материала
сплошного вала в 1,42 раза больше, чем полого.

9.

Задача 5
Цилиндрическая винтовая ; пружина, изготовленная из 6миллиметровой проволоки, имеет 20 витков со средним радиусом 7,5 см.
Определить осевую растягивающую нагрузку, которая может быть
допущена на пружину, если касательное напряжение в ней не должно
превышать 80 МПа. Чему при этом будут равны удлинение пружины и
4
наибольшая удельная работа деформации при G 8 10 МПа.
Решение
Из условия прочности
определяем допускаемую нагрузку:
материала
проволоки
пружины
Рдоп 2 Рдоп R
2
3
r
r
1
2 7,5 10 2
80,
Рдоп
2
6
3
9
3,14 3 10
3,14 3 10
Рдоп 44,44H.

10.

Удлинение пружины определяем по:
4 Р R 3 n 4 44,44 10 6 7 ,53 10 6 20
4
2314
,
6
10
м,
4
4
4
12
G r
8 10 3 10
= 23,15 см.
Удельную работу, совершаемую этой силой при деформации
пружины, определяем по:
P
A
44,44 23,15
Н см
Дж
2
a
1,93
19300 3 .
2
2
3
V 2 R n r
4 3,14 20 7 ,5 0,3
см
м