Центральное растяжение-сжатие. Расчет ступенчатого бруса

1.

ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова»
Инженерно-технический институт
Кафедра прикладной механики
Решение задач
по дисциплине «Техническая механика»
270800 - Строительство

2. Центральное растяжение-сжатие Расчет ступенчатого бруса

3.

На ступенчатую конструкцию со
сплошным
круглым
сечением
верхней
и
нижней
частей
диаметрами D1=1м, D3=1,5м и
кольцевым сечением средней части
с размерами D2=2,0м, d2=0,6м
действуют сосредоточенные силы
Р1, Р2 и Р3, а так же собственные
весы от обмуровки по наружным
поверхностям средней и нижней
части q2=2,0 кН/м2, q3=3,0 кН/м2.
Объемный
вес
материала
конструкции об=8 кН/м3, Р1=20 кН,
Р2=15 кН, Р3=6 кН, а=2 м, b=1,5 м,
с=1,2 м, Е=0,8 105 МПа=8 107 кПа.

4.

Требуется:
1.
Определить внутренние усилия в сечениях бруса с
учетом собственного веса конструкции и построить их
эпюры.
2.
Определить напряжения в сечениях бруса и построить их
эпюры.
3.
Определить перемещения сечений бруса и построить
эпюры перемещений.
4.
Определить наибольшее значение относительной
линейной деформации и указать участок возникновения.
5.
Проверить условие прочности бруса по местным
напряжениям, возникающим в стыках отдельных частей
бруса, если [ ]=0,10 МПа=100 кПа.

5.

Решение
Для определения внутренних усилий и перемещений в сечениях бруса
конструкцию делим на три отдельных участка и, применяя метод
сечений, на каждом участке рассматриваем равновесие отсеченных
частей и вычисляем величины продольных сил Ni.
I участок : 0 Z а,
Z N
1
P1 2 P2 2 P3 q2 D2 b q3 D3 a Z
D12
D32
D22 d 22
a Z 0
об
с
b
4
4
4
N 1 P1 2 P2 2 P3 q 2 D2 b q 3 D3 a Z
D12
D32
D22 d 22
об
C
b
a Z ,
4
4
4
при
Z=0,
N1=-155,1848 кН,
Z=2 м, N1=-98,6648 кН.

6.

II участок: 0 Z b,
D12
D22 d 22
0
Z
N
P
2
P
q
D
b
Z
C
b
Z
2
1
2
2
2
об
4
4
2
2
2
D1
D2 d 2
N 2 P1 2 P2 q2 D2 b Z об
C
b Z ,
4
4
при
N2=-110,6648 кН,
N2=-57,536 кН.
Z=0,
Z=1,5 м,
III участок : 0 Z с,
Z N P
3
1
об
D12
4
C Z 0
D12
N 3 P1 об
C Z ,
4
при
Z=0,
Z=1,2 м,
N3=-27,536 кН,
N3=-20 кН.

7.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.б)
155,185

8.

N
Используя формулу , определяем нормальные напряжения
A
в сечениях бруса. Так как в пределах рассматриваемых участков
брус имеет постоянное поперечное сечение Аi, функция
распределения нормальных напряжений будет такой же, как и
функция изменения продольной силы N.
I участок:
D32
N1
; A1
1,76625 м 2 ,
A1
4
155,1848
87,86 кПа,
при
Z=0
1,76625
Z=2 м 98,6648 55,86 кПа.
1,76625

9.

II участок:
при
N2
;
A2
Z=0
Z=1,5 м
III участок:
при
Z=0
Z=1,2
A2
D22 d 22
4
2,8574 м 2
110,6648
38,7292 кПа
2,8574
57,536
20,1358 кПа.
2,8574
N3
D 21
;
A3
0,785 м 2
A3
4
27,536
35,0777 кПа
0,785
20,0
25,4777 кПа.
0,785

10.

По этим значениям строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.в).

11.

Для получения уравнений перемещения сечений бруса
используем формулу:
i
Pi Z qi Z 2 об Z 2
N dZ
i i 1
i 1
.
EAi
EAi 2 EAi
2E
0
На рассматриваемом участке продольная сила, действующая на
стыке со следующим участком, принимается как сосредоточенная
сила.
I участок
q I q3 D3 14,13 кН/м
PI N1 Z 2 м 98,6648 кН
Z=0
Z=1
Z=2 м
98,6648 Z
14,13 Z 2
8 Z 2
I
;
7
7
7
8 10 1,76625 2 8 10 1,76625 2 8 10
I 0,
I 7,9826 10 7 м,
I 17,9826 10 7 м.

12.

II участок
PII N 2 Z 1,5 м 57,536 кН
II 17,9826 10
Z=0
Z=0,75 м
Z=1,5 м
III участок
7
57,536 Z
8 Z 2
12,56 Z 2
;
7
7
7
8 10 2,8574 2 8 10
2 8 10 2,8574
II 17,9826 10 7 м,
II 22,044 10 7 м,
II 26,6874 10 7 м.
РIII=-20 кН;
III 26,6874 10
Z=0
Z=0,6 м
Z=1,2 м
qII q2 D2 12,56 кН/м
7
20 Z
8 Z 2
;
7
7
8 10 0,785 2 8 10
III 26,6874 10 7 м,
III 28,7782 10 7 м,
III 31,229 10 7 м.

13.

По этим значениям строим эпюру перемещений сечений бруса (рис.г).

14.

Наибольшая относительная деформация возникает в том месте бруса,
где действует наибольшее нормальное напряжение, т.е. на первом
участке при Z=0.
87 ,86
7
E
8 10
10,9825 10 .
7
На стыке первого и второго участков площадь соприкосновения равна:
AI II
D32 d 22
и местное напряжение в стыке будет 4
1,48365 м 2
98,6648
66,50 кПа 100 кПа.
1,48365
На стыке второго и третьего участков площадь соприкосновения равна:
AII III
D12 d 22
и местное напряжение в стыке будет 4
0,5024 м 2
27,536
54,8089 кПа 100 кПа .
0,5024
Следовательно, на стыках отдельных частей бруса условие прочности
удовлетворяется.